數(shù)學(xué)物理方程第一章答案

第一章§1方程的導(dǎo)出。定解條件1．細(xì)桿（或彈簧）受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動(dòng)，以u(píng)(x,t)表示靜止時(shí)在x點(diǎn)處的點(diǎn)在時(shí)刻t離開(kāi)原來(lái)位置的偏移，假設(shè)振動(dòng)過(guò)程發(fā)生的張力服從虎克定律，試證明滿(mǎn)足方程其中為桿的密度，為楊氏模量。證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時(shí)的坐標(biāo)分別為與。現(xiàn)在計(jì)算這段桿在時(shí)刻的相對(duì)伸長(zhǎng)。在時(shí)刻這段桿兩端的坐標(biāo)分別為：其相對(duì)伸長(zhǎng)等于令，取極限得在點(diǎn)的相對(duì)伸長(zhǎng)為。由虎克定律，張力等于其中是在點(diǎn)的楊氏模量。設(shè)桿的橫截面面積為則作用在桿段兩端的力分別為于是得運(yùn)動(dòng)方程利用微分中值定理，消去，再令得若常量，則得=即得所證。2．在桿縱向振動(dòng)時(shí)，假設(shè)(1)端點(diǎn)固定，(2)端點(diǎn)自由，(3)端點(diǎn)固定在彈性支承上，試分別導(dǎo)出這三種情況下所對(duì)應(yīng)的邊界條件。解：(1)桿的兩端被固定在兩點(diǎn)則相應(yīng)的邊界條件為(2)若為自由端，則桿在的張力|等于零，因此相應(yīng)的邊界條件為|=0同理，若為自由端，則相應(yīng)的邊界條件為∣(3)若端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某點(diǎn)，且該點(diǎn)離開(kāi)原來(lái)位置的偏移由函數(shù)給出，則在端支承的伸長(zhǎng)為。由虎克定律有∣其中為支承的剛度系數(shù)。由此得邊界條件∣其中特別地，若支承固定于一定點(diǎn)上，則得邊界條件∣。同理，若端固定在彈性支承上，則得邊界條件∣即∣3.試證：圓錐形樞軸的縱振動(dòng)方程為其中為圓錐的高(如圖1)證：如圖，不妨設(shè)樞軸底面的半徑為1，則點(diǎn)處截面的半徑為：所以截面積。利用第1題，得若為常量，則得4.絕對(duì)柔軟逐條而均勻的弦線(xiàn)有一端固定，在它本身重力作用下，此線(xiàn)處于鉛垂平衡位置，試導(dǎo)出此線(xiàn)的微小橫振動(dòng)方程。解：如圖2，設(shè)弦長(zhǎng)為，弦的線(xiàn)密度為，則點(diǎn)處的張力為且的方向總是沿著弦在點(diǎn)處的切線(xiàn)方向。仍以表示弦上各點(diǎn)在時(shí)刻沿垂直于軸方向的位移，取弦段則弦段兩端張力在軸方向的投影分別為其中表示方向與軸的夾角又于是得運(yùn)動(dòng)方程∣∣利用微分中值定理，消去，再令得。5.驗(yàn)證在錐>0中都滿(mǎn)足波動(dòng)方程證：函數(shù)在錐>0內(nèi)對(duì)變量有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。且同理所以即得所證。6.在單性桿縱振動(dòng)時(shí),若考慮摩阻的影響,并設(shè)摩阻力密度涵數(shù)(即單位質(zhì)量所受的摩阻力)與桿件在該點(diǎn)的速度大小成正比(比例系數(shù)設(shè)為b),但方向相反,試導(dǎo)出這時(shí)位移函數(shù)所滿(mǎn)足的微分方程.解:利用第1題的推導(dǎo),由題意知此時(shí)尚須考慮桿段所以2。設(shè)彈簧一端固定，一端在外力作用下作周期振動(dòng)，此時(shí)定解問(wèn)題歸結(jié)為求解此問(wèn)題。解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，取，則滿(mǎn)足，令代入原定解問(wèn)題，則滿(mǎn)足滿(mǎn)足第一類(lèi)齊次邊界條件，其相應(yīng)固有函數(shù)為，故設(shè)將方程中非齊次項(xiàng)及初始條件中按展成級(jí)數(shù)，得其中其中將(2)代入問(wèn)題(1)，得滿(mǎn)足解方程，得通解由始值，得所以因此所求解為3．用分離變量法求下面問(wèn)題的解解：邊界條件是齊次的，相應(yīng)的固有函數(shù)為設(shè)將非次項(xiàng)按展開(kāi)級(jí)數(shù)，得其中將代入原定解問(wèn)題，得滿(mǎn)足方程的通解為由，得：由，得所以所求解為4．用分離變量法求下面問(wèn)題的解：解：方程和邊界條件都是齊次的。令代入方程及邊界條件，得由此得邊值問(wèn)題因此得固有值，相應(yīng)的固有函數(shù)為又滿(mǎn)足方程將代入，相應(yīng)的記作，得滿(mǎn)足