概率論與數(shù)理統(tǒng)計謝壽才課后習題第二章

(完好版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計謝壽才版課后習題第二章答案(完好版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計謝壽才版課后習題第二章答案/(完好版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計謝壽才版課后習題第二章答案習題二1.設隨機變量X的分布函數(shù)為0,x0,14,0x1,F(x)13,1x3,12,3x6,1,x6.試求X的概率分布列及P(X1)，P(X1)，P(X3)，P(X3).解:隨機變量X的分布列為X0136p141121612則P(X1)P(0)1；P(X1)P(0)P(1)F(1)1；43P(X3)P(6)1；P(X3)P(3)P(6)112262.32.設失散型隨機變量X的分布函數(shù)為0,x1,F(x)a,1x1,2a,1x2,3b,x2.a且P(X2)12，試求a，b和X的分布列.解：由分布函數(shù)的定義可知ab1又因為P(X2)12，則P(X2)P(X2)P(X2)F(2)F(20)a2a17b2ab326故a16，b56.3.設隨機變量X的分布函數(shù)為0,x1,F(x)lnx,1xe,1,xe.試求P(X2.5)，P(0X3.5)，P(1.5X2.5).解:依據(jù)題意X為連續(xù)型隨機變量，則P(X2.5)F(2.50)F(2.5)ln5ln2，P(0X3.5)F(3.5)F(00)F(3.5)F(0)1，P(1.5X2.5)F(2.50)F(1.50)F(2.5)F(1.5)ln5ln3。4.若P(Xx1)1，P(Xx2)1，此中x1x2，試求P(x1Xx2).解:P(x1Xx2)P(Xx2)P(Xx1)P(Xx2)[1P(Xx1)]1[1(1)]1.5.一只口袋中有5個球，編號分別為1，2，3，4，5.從中任意取3個，以X表示拿出的3個球中的最大號碼.求X的分布列；寫出X的分布函數(shù)，并作圖.解：(1)依據(jù)題意X表示拿出球中最大的號碼，則其可能取值為3，4，5，故其分布列為pkP(Xk)Ck21C11，k3,4,5.C53即X345p110310610(2)由分布函數(shù)的定義可知0,x3,1,3x4,F(x)102,4x5,51,x5.作圖略.6.有三個盒子，第一個盒子裝有1個白球、4個黑球；第二個盒子裝有2個白球、3個黑球；第三個盒子裝有3個白球和2個黑球.現(xiàn)任取一個盒子，從中任取3個球,以X表示所取到的白球數(shù).試求X的概率分布列；取到的白球數(shù)許多于2個的概率為多少？解：(1)依據(jù)題意X表示所取到的白球數(shù)，則其可能取值為0,1,2,3，故其分布列為pkP(Xk)1C1kC43k1C2kC33k1C3kC23kk0,1,2,3.3C533C533C53，即X0123p1612310130(2)依據(jù)題意，所求概率為P(X2)P(X2)P(X13).3擲一顆骰子4次，求點數(shù)6出現(xiàn)的次數(shù)的概率分布.解：以X表示骰子點數(shù)出現(xiàn)6的次數(shù)，則X~B(4,1)6故其分布列為k4kpkP(Xk)C4k111，k0,1,2,3,4.66即X01234p0.48230.38580.11570.01540.0008一批產品共有100件，此中10件是不合格品.依據(jù)查收規(guī)則，從中任取5件產品進行質量檢驗，假如5件中無不合格品，則這批產品被接受，不然就要重新對這批產品逐一檢驗.(1)試求5件中不合格品數(shù)X的分布列；(2)需要對這批產品進行逐一檢驗的概率為多少？解：(1)以X表示件產品中的不合格品數(shù)，則其可能取值為0，1，2，4，5.故其分布列為pkC10kC905k，k0,1,2,3,4,5.P(Xk)C1005依據(jù)題意，所求概率為P(X0)1P(X0)1P(0)0.4162.9.設某人射擊命中率為0.8，現(xiàn)向一目標射擊20次，試寫出目標被擊中次數(shù)X的分布列.解：以X表示目標被擊中的次數(shù)，則X~B(20,0.8)故其分布列為pkP(Xk)C20k(0.8)k(0.2)20k，k0,1,2,,20.10.某車間有5臺車床，每臺車床使用電力是間歇的，均勻每小時有10分鐘使用電力.假定每臺車床的工作是互相獨立的，試求同一時刻最罕有3臺車床用電的概率；同一時刻至多有3臺車床用電的概率.解：以X表示同一時刻用電車床的臺數(shù)，則X~B(5,1)6故其分布列為1k5kk5k0,1,2,,5.pkP(Xk)C566，(1)依據(jù)題意所求概率為P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)0.0355；依據(jù)題意所求概率為P(X3)1P(X3)1P(X4)P(X5)0.9967.某優(yōu)秀的射擊手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3.試求該射手三次射擊所得的環(huán)數(shù)許多于29環(huán)的概率？解：以X表示射擊手命中環(huán)10的次數(shù)，則X~B(3,0.7)故其分布列為C3k(0.7)k(0.3)3k，kpkP(Xk)0,1,2,3.依據(jù)題意所求概率為P(X2)1P(X2)1P(X0)P(X1)0.784.12.設隨機變量X和Y均遵從二項分布，即X~B(2,p)，Y~B(4,p).若P(X1)89，試求P(Y1)?解：依據(jù)題意隨機變量X~B(2,p)，則P(Xk)C2kpk(1p)2k，k0,1,2.又因為P(X1)89，則P(X1)1P(X1)1P(X0)1C20p0(1p)28p2.93則Y~B(4,2).304故P(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1C402180.338113.已知一電話交換臺每分鐘的呼叫次數(shù)遵從參數(shù)為4的泊松分布，求：(1)每分鐘恰有8次呼叫的概率；(2)每分鐘呼叫次數(shù)大于8的概率.解：以X表示交換臺每分鐘的呼叫次數(shù)，則X~P(4)故其分布列為pkP(Xk)4ke4，k0,1,2,.k!(1)依據(jù)題意所求概率為p8P(X8)48e40.0298；8!依據(jù)題意所求概率為P(X8)1P(X8)10.9790.021.14.某公司生產的一種產品，依據(jù)歷史生產記錄可知，該產品的次品率為0.01，問該種產品300件中次品數(shù)大于5的概率為多少？解：以X表示300件產品中的次品數(shù)，則X~B(300,0.01)用參數(shù)為np3000.013的泊松分布作近似計算，得所求概率為P(X5)1P(X5)53k310.9161.k0k!保險公司在一天內承保了5000份同年齡段，為期一年的壽險保單，在合同有效期內若投保人死亡，則公司需賠付3萬元.設在一年內，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人能否死亡互相獨立.求該公司對于這批投保人的賠付總數(shù)不超出30萬元的概率.解：以X表示該年齡段投保人在一年內的死亡人數(shù)，則X~B(5000,0.0015)用參數(shù)為np50000.00157.5的泊松分布作近似計算，得所求概率為P(X10)10C5000k(0.0015)k(0.9985)10k107.5ke7.50.8622.k0k0k!有一繁忙的汽車站，每天有大批汽車經(jīng)過，設一輛汽車在一天的某段時間內失事故的概率為0.0001.在某天的該段時間內有1000輛汽車經(jīng)過,問失事故的車輛數(shù)不小于2的概率是多少？解：以X表示該汽車站每天失事故的車輛數(shù)，則X~B(1000,0.0001)用參數(shù)為np10000.00010.1的泊松分布作近似計算，得所求概率為P(X2)1P(X2)20.1ke0.10.10k!k17.進行重復獨立試驗，設每次試驗成功的概率為p，則失敗的概率為q1p(0p1).(1)將試驗進行到第一次成功為止，求所需試驗次數(shù)X的分布列.(2)將試驗進行到第r次成功為止，求所需試驗次數(shù)Y的分布列.（此分布被稱為負二項分布）解：(1)依據(jù)題意，以X表示試驗第一次成功為止所需試驗次數(shù)，則X遵從參數(shù)為p的幾何分布，其分布列為pkP(Xk)p(1p)k1，k1,2,,(0p1)(2)依據(jù)題意，以Y表示試驗第r次成功為止所需試驗次數(shù)，則Y的可能取值為r,r1,,rm,，（即在k次伯努利試驗中，最后已此必定是成功，而前面k1次中一定有r次是成功的，由二項分布得其概率為r1pr1(1p)kr，再乘以最后一次成功的1Ck1概率p），則其分布列為pkP(Xk)Ckr11pr(1p)kr，kr,r1,,(0p1).18.一籃球運動員的投籃命中率為0.45，求他初次投中時累計已投籃次數(shù)X的分布列，并計算X為偶數(shù)的概率.解：依據(jù)題意，以X表示籃球運動員初次投籃命中的投籃次數(shù)，則其分布列為pkP(Xk)0.45(10.45)k1，k1,2,故籃球運動員初次投籃命中的投籃次數(shù)為偶數(shù)次的狀況是互不相容的，即所求概率為pP(X2k)0.45(10.45)2k10.3548.k1k119.設隨機變量X的概率密度為x,0x1,f(x)2x,1x2,0,其他.試求P(X1.5).解：由概率密度函數(shù)的定義可知P(X1.5)1.511.5x)dx0.875.f(x)dxxdx(20120.設隨機變量X的概率密度為Acosx,x,f(x)20,x.2試求：(1)常數(shù)A;(2)X落在區(qū)間(0,)內的概率.4解：(1)由概率密度函數(shù)的正則性可知1f(x)dx21；Acosxdx2AA22依據(jù)題意，所求概率為P(0X)4412f(x)dx0cosxdx.4024設隨機變量X的分布函數(shù)為0,x0,F(x)Ax2,0x1,1,x1.試求：(1)常數(shù)A；(2)X落在區(qū)間(0.3,0.7)內的概率；(3)X的概率密度.解：(1)由分布函數(shù)的連續(xù)性可知F(10)limF(x)limAx2AF(1)1A1；x1x1(2)依據(jù)題意，所求概率為P(0.3X0.7)F(0.7)F(0.3)0.4；由分布函數(shù)和密度函數(shù)的關系可知2x,0x1,f(x)F(x)0,其他.某加油站每周補給一次油，假如這個加油站每周的銷售量（單位：千升）為一隨機變量，其概率密度為x4f(x)0.051,0x100,1000,其他.試問該加油站的儲油罐需要多大，才能把一周內斷油的概率控制在5%以下？解：設該油站的儲油罐容量為a升(a0)，以X表示該加油站每周油品銷售量，則依據(jù)題意100xa5P(Xa)0.05f(x)dxdx10.05a0.051a100100a10050.05a46.23.在區(qū)間[0,a]上任意扔擲一個質點，以X表示這個質點的坐標.設該質點落在區(qū)間[0,a]中任意小區(qū)間的概率與這個小區(qū)間的長度成正，試求X的分布函數(shù)和概率密度.解：設X的分布函數(shù)為F(x)，則當x0時，因為{Xx}是不行能事件，因此F(x)P(Xx)0；當xa時，因為{Xx}是必然事件，因此F(x)P(Xx)1；當0xa時，有F(x)P(Xx)P(0Xx)kx，此中k為比率系數(shù)，由分布函數(shù)的右連續(xù)性可知，1F(a)F(a0)limF(x)kak1a則X的分布函數(shù)為xa0,x0,F(x)x,0xa,axa.1,由分布函數(shù)和密度函數(shù)的關系可得其概率密度函數(shù)為f(x)1,0xa,a0,其他.24.設隨機變量X遵從區(qū)間(0,10)上的均勻分布，求對X進行4次獨立觀察中，最罕有3次的觀察值大于5的概率？解：依據(jù)題意，隨機變量X~U(0,10)，則其概率密度函數(shù)為10x10,f(x),10其他.0,故對X進行獨立觀察中觀察值大于5的概率為pP(X5)f(x)dx100.5550.1dx以Y表示對X進行獨立觀察中觀察值大于5的次數(shù)，則Y~B(4,p)故所求概率為P(X3)P(X3)P(X4)C43(0.5)3(0.5)1C44(0.5)40.3125.25.設隨機變量K~U(0,5)，求方程4x24KxK20無實根的概率和有實根的概率.解：依據(jù)題意，隨機變量K~U(0,5)，則其密度函數(shù)為10x5,f(x),5其他.0,依據(jù)韋達定理可得，當16K216K3201K2時，方程無實根，其概率為P(1X2)220.6；f(x)dx0.2dx11當16K216K320K1或K2時，方程有實根，其概率為P({X1}{X2})1P(1X2)0.4.26.設顧客在某銀行的窗口等候服務的時間X（以分計）遵從指數(shù)分布，其概率密度為f(x)0.2e0.2x,x0,0,x0.某顧客在窗口等候服務，若超出10分鐘他便走開，他每個月要到銀行5次，以Y表示他未等到服務而走開窗口的次數(shù)，試求他最罕有一次沒有等到服務而走開的概率.解：依據(jù)題意，顧客在銀行窗口等候服務的時間X遵從指數(shù)分布，則等候時間超出10分鐘的概率為pP(X10)10f(x)dx0.2e0.2xdxe210以Y表示他未等到服務而走開窗口的次數(shù)，則Y~B(5,e2)故所求概率為C50(e2)0(1e2)5P(X1)1P(X1)1P(X0)10.5167。27.某儀器裝了3個獨立工作的同型號電子元件，其壽命X（以小時計）都遵從同一指數(shù)分布11,x0,xf(x)6000,x0試求：此儀器在最先使用的300小時內，最罕有一個該種電子元件損壞的概率.解：依據(jù)題意，以X表示該型號電子元件的壽命，則該型號電子元件壽命小于300小時的概率為pP(X300)30030011xdx1f(x)dxe6001e20600e0.5)以Y表示該型號電子元件損壞數(shù)，則Y~B(3,1故所求概率為P(X1)1P(X1)1P(X0)1C30(1e0.5)0(e0.5)30.3101.設隨機變量X~N(3,22)，求(1)P(1X5)；(2)P(X5)；(3)確立a，使得P(Xa)P(Xa)？解：由正態(tài)分布標準化UXX3可得2(1)P(3X5)P13U53P(2U1)22(1)(2)(1)(2)10.8185；(2)P(X1)P13U13P(2U1)22(1)(2)(2)(1)0.1359；(3)依據(jù)題意P(Xa)P(Xa)，則a3a3PUa3a3PUPU21PU222a3a3a31(0)0.5)122(22故a3。設隨機變量X~N(4,32)，求P(2X5)(2)P(X3)(3)設a為參數(shù)，使得P(Xa)0.9，問a最多取為多少？解：由正態(tài)分布標準化UXX4可得3(1)P(2X5)P24U54P2U1333(13)(2)(13)(2)10.6065；(2)P(X3)1P(X3)1P34U3417U133P331[(73)(13)]0.6392；(3)依據(jù)題意P(Xa)0.9，則PUa41PUa40.9PUa43330.1即a40.1((1.28)0.8997，(1.29)0.9015)3故由標準正態(tài)分位數(shù)定義可得a41.285a0.1453即參數(shù)a最大取為0.145.X(以m計)擁有概率密度30.丈量到某一目標的距離時，發(fā)生的隨機偏差1(x20)2f(x)e3200，x40230m的概率.試求在三次丈量中，最罕有一次偏差的絕對值不超出解：依據(jù)題意，以X表示丈量中隨機產生的偏差，由其密度函數(shù)的定義可知X~N(20,402)，則偏差絕對值超出30m的概率為P(X30)1P(X30)1P(30X30)P3020U3020P(1.25U0.25)4040(0.25)(1.25)(0.25)(1.25)10.4931,以Y表示丈量中偏差絕對值超出30m的次數(shù)，則Y~B(3,4931)故全部概率為C30(10.4931)0(0.5069)3P(X1)1P(X1)1P(X0)10.8698.31.某單位招聘員工，共有10000人報考.假設考試成績遵從正態(tài)分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，現(xiàn)按考試成績從高分到低分一次錄取2500人，試問被錄用者中最低分數(shù)是多少？解：依據(jù)題意，以X表示報考人的成績分數(shù)，則X~N(,2)故P(X90)1P(X90)1PU90903590.03591100009090（查表得）0.96411.8P(X60)60601151PU0.115110000601.2（查表得）由、可得72，10，即X~N(72,102)，設錄取者中最低分數(shù)為a，則P(Xa)25000.251P(Xa)，100000.251a721a72PU1010a720.75，((0.67)0.7486，(0.68)0.7517)10故a72a78.75100.675已知失散型隨機變量X的分布列為X21013p1516151151130試求YX2與ZX的分布列.解：依據(jù)題意可得X21013YX241019ZX21013p1516151151130故合并整理得YX2的分布列Y0149X的分布列Z0123p1573015113033.設隨機變量X的概率密度為f(x)0.5cos(0.5x),0x,0,其他.對X獨立重復觀察4次，Y表示觀察值大于3的次數(shù)，求Z2Y1分布列.解：依據(jù)題意，由概率密度函數(shù)定義可知，對X進行獨立觀察中觀察值大于3的概率為pP(X)f(x)dx0.5cos(0.5x)dx0.5.333以Y表示對X進行4次獨立觀察中觀察值大于3的次數(shù)，則Y~B(4,0.5)故其分布列為k)C4k(0.5)k(10.5)4k，kpkP(X0,1,2,3,4.即Y01234Z2Y111357p0.06250.250.3750.250.0625故Z11357p0.06250.250.3750.250.0625設隨機變量X~U(0,1)，試求以下隨機變量函數(shù)的概率密度：(1)Y1X；(2)YeX；(3)Y2lnX；(4)YlnX.解：依據(jù)題意，隨機變量X~U(0,1)，則其密度函數(shù)為fX(x)1,0x1,0,其他.(1)由y1xxh(y)1y，且有h(y)10，則Y1X的密度函數(shù)為fY(y)fX(1y)(1y),01y1,0,其他.1,0y1,0,其他.(2)由yex0xh(y)lny，且有h(y)10，則YeX的密度函數(shù)為yfX(lny)(lny),0lny1,fY(y)其他.0,1y,1ye,0,其他.(3)由y2lnx0xh(y)e0.5y，且有h(y)0.5e0.5y0，則YeX的密度函數(shù)為fY(y)fX(e0.5y)(e0.5y),0e0.5y1,0,其他.0.5e0.5y,y0,0,其他.(4)由ylnx0，故當y0時，有FY(y)0，從而fY(y)0當y0時，yl