農作物施肥效果分析講義

農作物施肥效果分析（1992年A題）某研究所為了研究N、P、K三種肥料對于土豆和生菜的作用，分別對每種作物進行了三組實驗，實驗中將每種肥料的施用量分為10個水平，在考察其中一種肥料的施用量與產量關系時，總是將另二種肥料固定在第7個水平上，實驗數(shù)據(jù)如下列表格所示，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示千克，試建立反映施肥量與產量關系的模型，并從應用價值和如何改進等方面作出評價．施肥量與產量關系的實驗數(shù)據(jù)土豆：NPK施肥量(kg/ha)產量(t/ha)施肥量(kg/ha)產量(t/ha)施肥量(kg/ha)產量(t/ha)015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614038.5213534.039841.0418638.4420239.4514740.0927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22生菜NPK施肥量(kg/ha)產量(t/ha)施肥量(kg/ha)產量(t/ha)施肥量(kg/ha)產量(t/ha)011.0206.39015.752812.70499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3814016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.40一、符號說明：W：農作物產量.x：施肥量.N、P、K：氮、磷、鉀肥的施用量.CW：農產品價格.CN,CP,CK：氮、磷、鉀肥的價格.a,b,b0,b1,b2,c,c0,c1,c’0,c’1：常數(shù)（對特定肥料，特定農作物而言）二、模型假設1.研究所的實驗是在相同的正常實驗條件（如充足的水分供應，正確的耕作程序）下進行的，產量的變化是由施肥量的改變引起的，產量與施肥量之間滿足一定的規(guī)律。在實驗中，除施肥量，其它影響因子（如環(huán)境條件、種植密度等）均處于同等水平。2.土壤本身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀肥，即具有一定的天然肥力（從數(shù)據(jù)可以看出，當各種養(yǎng)分的施肥量都為0時，產量并不為0）。3.每次實驗是獨立進行的，且對于N、P、K施用量來說無系統(tǒng)誤差，模型的誤差項均服從同分布的正態(tài)分布。歸，得到磷肥對土豆的回歸方程：（9）磷肥對生菜的回歸方程：（10）從鉀肥對土豆的實驗數(shù)據(jù)可以看出，當施用量超過一定限度后，產量的增加很不明顯，因此用（5）式來描述其施肥效果是合理的，用指數(shù)回歸分析得到鉀肥對土豆的回歸方程：W=42.17(1-exp(-0.01K-0.641))(11)對生菜來說，鉀肥的施用對產量的影響很小.通過線性回歸得到鉀肥對生菜的回歸方程：W=16.2269+0.00395K(12)可以得到每種肥料的最佳施用量，這無疑為生產提供了極為重要的信息.此外，模型的建立并不依賴于任何特殊條件，這種方法可以適用于任何地區(qū)，考察任意一種肥料對于作物產量的效應，具有一定的推廣價值五、多元回歸模型和交互效應的討論從實驗設計的角度來看，該研究所采用的設計方案是因素輪換法，即在考察每一種肥料的效應時，總將另二種肥料的施用量固定在第7個水平上.而此問題中三種肥料用量共同作用于農作物產量，因此僅僅建立一元回歸模型是不行的，必須通過多元回歸模型來反映慮農作物產量和施肥量之間的關系。從上述分析可知，農作物產量和各種施肥量之間一般都不能用線性模型來描述，因此有必要考慮非線性回歸模型。此外因為任何光滑的函數(shù)都可用足夠高階的多項式來近似，所以針對這個問題，我們可以建立三元多次多項式模型。又由農業(yè)學的經驗知，可以采用三元二次多項式來描述.下面以土豆為例進行說明。（一）全回歸模型的形式為為了對參數(shù)進行估計，對數(shù)據(jù)進行重新整理后，觀測方程為其中，，序號產量NPK序號產量NPK115.1801963721640.09259147372221.36341963721741.26259196372325.72671963721842.17259245372432.291011963721940.36259294372534.031351963722042.73259342372639.452021963722118.982591960743.152591963722227.3525919647843.463361963722334.8625919693940.834041963722438.522591961401030.754711963722538.442591961861133.4625903722637.732591962791232.47259243722738.432591963721336.06259493722843.872591964651437.96259733722942.772591965581541.04259983723046.22259196651可以用回歸的方法，求出回歸系數(shù)，但對本題而言，下列處理表明，交互系數(shù)是無法確定的.由于所給出的實驗全都分布于三條平行于坐標軸的直線上，并且這三條直線交于公共點（n0,p0,k0），以n=N-n0,p=P-p0,k=K-k0作為現(xiàn)的變量，稱為相對施肥量，則相對產量W()可表示為：w(n,p,k)=b0+bnn+bpp+bkk+bnnn2+bppp2+bkkk2+bnpnp+bnknk+bkpkp在新的坐標系中，所有的試驗點都在坐標軸上，至少有兩個坐標為0，這樣所有的交叉項全消失了(資料矩陣后三列全為0)，即不可能由實驗結果來確定交互系數(shù)，因而試驗方法本身注定了交互效應是無法求出的（也可從直觀的角度看出交互效應是無法從數(shù)據(jù)計算的。若bnp=0，當n變?yōu)閚+δ，則響應變量w(n,p,k)的改變只依賴于n，而不依賴于其它自變量；反之，若bnp0，當n變?yōu)閚+δ，則響應變量w(n,p,k)的改變依賴于n和其它自變量）因此我們只能建立不包含交互效應的模型多元回歸分析理論（18-22頁）及其實現(xiàn)（30-47頁）(13)從輸出的相關統(tǒng)計量可知，模型擬合得很好，而且各個參數(shù)在顯著性水平0.05下都是現(xiàn)在顯著的.為了消除量綱對模型的影響，在建立模型之前，我們最好先對數(shù)據(jù)進行標準化，即這樣新的模型為(14)（二）逐步回歸在回歸模型里面，并不是所有的自變量對模型都有顯著的影響，這個時候我們就需要通過一些方法來篩選變量，最常用的方法是逐步回歸法逐步回歸理論及其實現(xiàn)（逐步回歸講義）六、實驗方法的建議（響應曲面法與設計）響應曲面法（或RSM法），是數(shù)學方法和統(tǒng)計方法相結合的產物，是用來對所感興趣的相應受多個變量影響的問題進行建模和分析的，其目的是優(yōu)化這個響應。響應和自變量之間是一種函數(shù)關系，它們所描繪出來的曲面就叫做響應曲面。如果曲面有彎曲，一般這種函數(shù)關系多采用二階多項式模型。RSM的最終目的是確定系統(tǒng)的最優(yōu)運行條件或確定因素空間中滿足運行規(guī)范的區(qū)域。本題中為了估計肥料的交互效應，我們通過響應曲面法設計了一個正交試驗表，將氮、磷、鉀肥的用量以第7個水平為中心等問題分為五個水平，作一個五水平三因子的正交表，總共需進行15次實驗，將所得數(shù)據(jù)運用直觀分析和方差分析，可以方便地得到氮、磷、鉀肥對作物的總效應.試驗安排如下表正交設計表因素試驗號NPK