北京市海淀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)理試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2013年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1．（5分）（2013?甘肅三模）集合A=｛x∈N｜x≤6}，B={x∈R｜x2﹣3x＞0}，則A∩B（）A．｛3，4，5｝B．｛4，5，6｝C．｛x｜3＜x≤6D．｛x｜3≤x＜6｝考點(diǎn):交集及其運(yùn)算．專題：計算題．分析：根據(jù)所給的兩個集合，整理兩個集合，寫出兩個集合的最簡形式，再求出兩個集合的交集．解答：解：∵集合A={x∈N｜x≤6｝={0,1，2,3，4，5，6｝,B=｛x∈R｜x2﹣3x＞0｝={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B=｛4，5，6｝．故選B．點(diǎn)評：本題考查集合的表示方法，兩個集合的交集的定義和求法．化簡A、B兩個集合，是解題的關(guān)鍵．2．（5分）（2013?海淀區(qū)一模)在極坐標(biāo)系中，曲線ρ=4cosθ圍成的圖形面積為（)A．πB．4C．4πD．16考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．343780專題：計算題．分析:先將原極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ后化成直角坐標(biāo)方程,再利用直角坐標(biāo)方程進(jìn)行求解圓的面積即可．解答：解：將原極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,化成：ρ2=4ρcosθ,其直角坐標(biāo)方程為：∴x2+y2=4x，是一個半徑為2的圓，其面積為4π．故選C．點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得．3．（5分）(2013?海淀區(qū)一模）某程序的框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的x值為5，則輸出的y值（）A．﹣2B．﹣1C．D．2考點(diǎn)：程序框圖．343780專題：圖表型．分析：按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，并判斷每次得到的結(jié)果是否滿足判斷框中的條件，直到滿足，執(zhí)行輸出y，可得答案．解答：解:經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=3，不滿足判斷框中的條件；經(jīng)過第二次循環(huán)得到x=1,不滿足判斷框中的條件；經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=﹣1,滿足判斷框中的條件；執(zhí)行“是"，y=2﹣1=，輸出y值為．故選C．點(diǎn)評：本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時,常采用的方法是：寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．4．（5分)（2013?海淀區(qū)一模)不等式組表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則k的值為（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．343780專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析:先作出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)已知條件可表示出平面區(qū)域的面積，然后結(jié)合已知可求k．解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意可得A（1，3），B（，）,C(1,k）∴S△ABC=AC?d(d為B到AC的距離)=×（3﹣k）×(﹣1)=1，∴k=1．故選D．點(diǎn)評：本題主要考查了二元一次不等式組表示平面區(qū)域，屬于基礎(chǔ)試題．5．（5分）（2013?甘肅三模）若向量,滿足｜｜=｜｜=|+｜=1，則?的值為(）A．﹣B．C．﹣1D．1考點(diǎn)：向量的模．343780專題：平面向量及應(yīng)用．分析：利用即可得到．解答：解：∵，∴,∴，∴．∴．故選A．點(diǎn)評:熟練掌握向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（5分)（2013?海淀區(qū)一模)一個盒子里有3個分別標(biāo)有號碼為1，2，3的小球,每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號最大值是3的取法有（）A．12種B．15種C．17種D．19種考點(diǎn):排列、組合及簡單計數(shù)問題．343780專題：計算題．分析：由分步計數(shù)原理可得總的取法由27種，列舉可得不合題意得有8種，進(jìn)而可得符合題意得方法種數(shù)．解答：解：由題意結(jié)合分部計數(shù)原理可得，總的取球方式共3×3×3=27種，其中，(1，1，1），（1，1，2），（1，2，1),（2，1，1）,（1，2,2),（2，1,2)，（2，2,1），（2，2,2）共8種不符合題意，故取得小球標(biāo)號最大值是3的取法有27﹣8=19種,故選D點(diǎn)評：本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用,采用間接的方式結(jié)合列舉法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．7．（5分)（2013?海淀區(qū)一模）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動點(diǎn)，又點(diǎn)A(﹣1，0），則的最小值是（）A．B．C．D．考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)．343780專題：計算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析:通過拋物線的定義，轉(zhuǎn)化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切線方程即可求出比值的最小值．解答：解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=﹣1,A（﹣1，0）,過P作PN垂直直線x=﹣1于N，由拋物線的定義可知PF=PN，連結(jié)PA，當(dāng)PA是拋物線的切線時，有最小值，則∠APN最大,即∠PAF最大，就是直線PA的斜率最大，設(shè)在PA的方程為:y=k（x+1），所以，解得：k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故選B．點(diǎn)評：本題考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，題目新穎．8．(5分）（2013?海淀區(qū)一模）設(shè)l1,l2，l3為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線．給出下列三個結(jié)論：①?Ai∈li（i=1，2，3),使得△A1A2②①?Ai∈li（i=1，2,3），使得△A1A2③三條直線上存在四點(diǎn)Ai（i=1，2，3，4），使得四面體A1A2其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①B．①②C．①③D．②③考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用．343780專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：本題利用畫圖結(jié)合運(yùn)動變化的思想進(jìn)行分析．我們不妨先將A、B、C按如圖所示放置，容易看出此時BC＜AB=AC．現(xiàn)在，我們將A和B往上移,并且總保持AB=AC（這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系)，而當(dāng)A、B移得很高很高時，就得到①和②都是正確的．至于③，結(jié)合條件利用反證法的思想方法進(jìn)行說明即可．解答:解：我們不妨先將A、B、C按如圖所示放置．容易看出此時BC＜AB=AC．現(xiàn)在，我們將A和B往上移,并且總保持AB=AC（這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B移得很高很高時，不難想象△ABC將會變得很扁，也就是會變成頂角A“非常鈍”的一個等腰鈍角三角形．于是，在移動過程中,總有一刻，使△ABC成為等邊三角形,亦總有另一刻，使△ABC成為直角三角形（而且還是等腰的）．這樣，就得到①和②都是正確的．至于③，如圖所示．為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所共的頂點(diǎn)為?．假設(shè)A是?，那么由AD⊥AB，AD⊥AC知L3⊥△ABC，從而△ABC三邊的長就是三條直線的距離4、5、6,這就與AB⊥AC矛盾．同理可知D是?時也矛盾；假設(shè)C是?,那么由BC⊥CA，BC⊥CD知BC⊥△CAD，而l1∥△CAD，故BC⊥l1，從而BC為l1與l2的距離,于是EF∥BC，EF=BC，這樣就得到EF⊥FG，矛盾．同理可知B是?時也矛盾．綜上,不存在四點(diǎn)Ai（i=1，2，3,4)，使得四面體A1A2故選B．點(diǎn)評:本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9．（5分)（2013?海淀區(qū)一模）在復(fù)平面上，若復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R)對應(yīng)的點(diǎn)恰好在實(shí)軸上,則b=0．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．343780專題：計算題．分析：利用復(fù)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)在實(shí)軸上的特點(diǎn)即可得出．解答：解:由復(fù)數(shù)的幾何意義可知:復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）對應(yīng)的點(diǎn)為（a,b),∵此點(diǎn)恰好在實(shí)軸上,∴b=0．故答案為0．點(diǎn)評：正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．10．（5分)（2013?海淀區(qū)一模)等差數(shù)列{an｝中，a3+a4=9，a2a5=18，則a1a6=考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．343780專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得得a2+a5=a3+a4=9,結(jié)合a2a5=18，可解得a2，a5的值，可得公差，進(jìn)而可得a1，a6解答：解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a5=a3+a4=9，又a2a5=18，解得，或，故可得數(shù)列的公差d==﹣1，或1故可得，或，故a1a6故答案為:14點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．11．（5分）（2013?海淀區(qū)一模）如圖，AP⊙O切于點(diǎn)A，交弦DB的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作圓O的切線交AP于點(diǎn)C．若∠ACB=90°,BC=3，CP=4，則弦DB的長為．考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)定理的證明；與圓有關(guān)的比例線段．343780專題:選作題．分析：在Rt△BCP中，由勾股定理可得BP，由切線長定理可得AC=BC，再利用切割線定理可得DB．解答：解：∵BC⊥AP，∴BP2=BC2+CP2=32+42=25，∴BP=5．又AC與BC都是⊙O的切線，∴AC=BC=3,由切割線定理可得PA2=PB?PD,∴72=5×（5+DB）,解得．∴弦DB的長為．故答案為．點(diǎn)評：熟練掌握勾股定理、切線長定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．12．（5分）（2013?海淀區(qū)一模)在△ABC中，若a=4，b=2,cosA=﹣,則c=3，sinC=．考點(diǎn)：正弦定理;同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．343780專題：計算題;解三角形．分析:由余弦定理可得,cosA==可求c，然后由cosA可求sinA,然后由正弦定理可得，可求sinC解答：解：由余弦定理可得，cosA==∴即c2+c﹣12=0∴c=3∵cosA=﹣∴sinA=由正弦定理可得，∴sinC==故答案為：3，點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理及正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用．13．（5分）（2013?海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f（x）=有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是＜a≤1．考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷．343780專題:數(shù)形結(jié)合．分析：由題意可得需使指數(shù)函數(shù)部分與x軸有一個交點(diǎn)，拋物線部分與x軸有兩個交點(diǎn)，由函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的頂點(diǎn)可得關(guān)于a的不等式，解之可得答案．解答：解：由題意可知：函數(shù)圖象的左半部分為單調(diào)遞增指數(shù)函數(shù)的部分，函數(shù)圖象的右半部分為開口向上的拋物線，對稱軸為x=，最多兩個零點(diǎn),如上圖,要滿足題意,必須指數(shù)函數(shù)的部分向下平移到與x軸相交,由指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)(0,1)，故需下移至少1個單位，故a≤1,還需保證拋物線與x軸由兩個交點(diǎn),故最低點(diǎn)＜0，解得a＜0或a＞,綜合可得＜a≤1，故答案為：＜a≤1點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)的判斷,數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．14．(5分）(2013?海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=sinx,任取t∈R,定義集合:At={y｜y=f（x），點(diǎn)P(t，f(t）），Q（x，f(x））滿足｜PQ|≤｝．設(shè)Mt，mt分別表示集合At中元素的最大值和最小值，記h(t）=Mt﹣mt．則(1）函數(shù)h（t)的最大值是2;(2）函數(shù)h(t）的單調(diào)遞增區(qū)間為(2k﹣1,2k),k∈Z．考點(diǎn)：函數(shù)的值域．343780專題:綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1)理清At=｛y|y=f（x），點(diǎn)P（t，f（t）)，Q（x，f（x）)滿足|PQ|≤}的含義為：表示以P點(diǎn)為圓心,為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin的圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的集合,再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值可求得Mt，mt，從而可求得函數(shù)h（t））=Mt﹣mt的最大值；(1）由(1）結(jié)合正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得函數(shù)h(t）的單調(diào)遞增區(qū)間．解答:解：At={y｜y=f（x)，點(diǎn)P（t，f（t）），Q（x，f(x））滿足｜PQ｜≤｝表示以P點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin的圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的集合，∵f(﹣2）=f（0)=f（2）=0,f（1）=1，f(﹣1)=﹣1，設(shè)O（0，0)，A（1,1），B（2，0），則AO=AB=,∴Mt=,其中x0是最高點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，同理,mt=；其中x1是最低點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．∴函數(shù)h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2時取得），單調(diào)增區(qū)間是（2k﹣1，2k）．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的值域,著重考查抽象函數(shù)的理解與應(yīng)用，明確At={y｜y=f（x）,點(diǎn)P（t,f（t)），Q（x，f（x）)滿足|PQ|≤√2}的含義是難點(diǎn)，也是解決問題的關(guān)鍵，考查抽象思維能力與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．三、解答題：本大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.15．(13分）（2013?海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x）=2﹣(sinx﹣cosx）2．(Ⅰ）求f（)的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ)求函數(shù)f（x）在區(qū)間［﹣，］上的最大值和最小值．考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性．343780專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（I）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+）,由此求得f(x)的周期．（II）當(dāng)x∈［﹣,]時，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．解答：解:（I）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2﹣（sinx﹣cosx）2=2﹣(3sin2x+cos2x﹣2sinxcosx）=2﹣（1+2sin2x﹣sin2x)=1﹣2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）．所以，f(）=2sin(2×+）=2sin=,所以，f（x)的周期為T==π．（II）當(dāng)x∈［﹣，]時，2x∈[﹣，]，2x+∈［﹣，］,所以，當(dāng)2x+=，即當(dāng)x=﹣時，函數(shù)取得最小值f（﹣）=﹣1，當(dāng)2x+=，即當(dāng)x=時，函數(shù)取得最大值f（）=2．點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,三角函數(shù)的周期性和求法,正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．16．（13分）（2013?海淀區(qū)一模）在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯"和“閱讀與表達(dá)”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D,E五個等級．某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯"科目的成績?yōu)锽的考生有10人．（I）求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；（II)若等級A,B,C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．（i）求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯"科目的平均分；（ii)若該考場共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分，6人8分．從這10人中隨機(jī)抽取兩人,求兩人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．343780專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：（I）由數(shù)學(xué)與邏輯中成績等級為B的考生有10人，頻率為，可求考場中的人數(shù)，然后結(jié)合其頻率可求（II)結(jié)合頻率分布直方圖可求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為（Ⅲ）設(shè)兩人成績之和為ξ,則ξ的值可以為16，17，18，19，20，然后求出ξ去每個值對應(yīng)的概率，即可求解出ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望解答：解：（I）因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有=40人…（1分)所以該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績等級為A的人數(shù)為40×(1﹣0。375﹣0。375﹣0。15﹣0。025）=3…（3分）(II)求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為=2。9(7分）（Ⅲ)設(shè)兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19,20…（8分）P(ξ=16)=，P（ξ=17）==P（ξ=18）==P(ξ=19）=P(ξ=20）==所以ξ的分布列為X1617181920P…（11分)所以Eξ=16×=所以ξ的數(shù)學(xué)期望為…（13分）點(diǎn)評:本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望值的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式的應(yīng)用．17．（14分）（2013?海淀區(qū)一模）在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點(diǎn)N在線段PB上,且PN=．(Ⅰ)求證:BD⊥PC;（Ⅱ）求證：MN∥平面PDC；（Ⅲ)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．考點(diǎn)：二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．343780專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）由正三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，利用線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證明BD⊥PC；（Ⅱ）利用已知條件分別求出BM、MD、PB，得到，即可得到MN∥PD,再利用線面平行的判定定理即可證明;（Ⅲ）通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角的平面角．解答：證明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（Ⅱ)在正△ABC中,BM=．在△ACD中，∵M(jìn)為AC中點(diǎn),DM⊥AC,∴AD=CD．∠ADC=120°，∴,∴．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=，∴,∴，∴MN∥PD．又MN?平面PDC，PD?平面PDC，∴MN∥平面PDC．(Ⅲ)∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,∴AB⊥AD,分別以AB，AD，AP為x軸,y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，∴B（4，0，0），C,,P（0，0,4）．由(Ⅱ）可知，為平面PAC的法向量．，．設(shè)平面PBC的一個法向量為，則,即,令z=3，得x=3，，則平面PBC的一個法向量為，設(shè)二面角A﹣PC﹣B的大小為θ,則．所以二面角A﹣PC﹣B余弦值為．點(diǎn)評：熟練掌握正三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例在三角形中的逆定理應(yīng)用、通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角的平面角是解題的關(guān)鍵．18．（13分）（2013?海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x)=lnx+ax2+bx（其中a,b)為常數(shù)且a≠0)在x=1處取得極值．(I)當(dāng)a=1時,求f(x）的單調(diào)區(qū)間；（II)若f（x）在(0，e］上的最大值為1，求a的值．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．343780專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（I）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)x=1是f（x）的一個極值點(diǎn)f′（1)=0，可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，根據(jù)a=1求出b值；可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式,分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（II）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于a的方程求得結(jié)果．解答:解:(I）因?yàn)閒（x）=lnx+ax2+bx所以f′(x）=+2ax+b,…（2分)因?yàn)楹瘮?shù)f（x)=lnx+ax2+bx在x=1處取得極值f′(1）=1+2a+b=0…(3分）當(dāng)a=1時，b=﹣3，f′(x)=，f′(x），f（x）隨x的變化情況如下表:x（0，)（，1）1(1，+∞)f′（x）+0﹣0+f(x）增極大值減極小值增…(5分）所以f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），（1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（，1）…（6分）（II）因?yàn)閒′（x）=令f′（x）=0,x1=1，x2=…（7分）因?yàn)閒（x)在x=1處取得極值，所以x2=≠x1=1，當(dāng)＜0時，f（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減所以f（x)在區(qū)間（0，e］上的最大值為f（1)，令f(1）=1，解得a=﹣2…（9分)當(dāng)a＞0，x2=＞0當(dāng)＜1時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增,（，1）上單調(diào)遞減，（1，e)上單調(diào)遞增所以最大值1可能在x=或x=e處取得而f（)=ln+a(）2﹣（2a+1）=ln﹣＜0所以f(e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=…（11分)當(dāng)1≤＜e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，（1,)上單調(diào)遞減,（,e)上單調(diào)遞增所以最大值1可能在x=1或x=e處取得而f（1)=ln1+a﹣（2a+1)＜0所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=,與1＜x2=＜e矛盾…（12分)當(dāng)x2=≥e時，f（X）在區(qū)間(0,1）上單調(diào)遞增，在（1，e）單調(diào)遞減，所以最大值1可能在x=1處取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，矛盾綜上所述，a=或a=﹣2．…(13分）點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,其中根據(jù)已知條件確定a，b值，得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對其符號進(jìn)行分析，是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題．19．（14分)(2013?海淀區(qū)一模）已知圓M：（x﹣)2+y2=r2=r2（r＞0）．若橢圓C：+=1(a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為．（I）求橢圓C的方程；（II)若存在直線l:y=kx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn),與圓M分別交于G,H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且｜AG｜=｜BH|，求圓M半徑r的取值范圍．考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．343780專題:綜合題；分類討論；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點(diǎn)為圓心可得a值,進(jìn)而由離心率可得c值，根據(jù)平方關(guān)系可得b值；（II）由點(diǎn)G在線段AB上，且｜AG｜=|BH｜及對稱性知點(diǎn)H不在線段AB上，所以要使|AG｜=|BH|，只要｜AB｜=｜GH｜，設(shè)A(x1，y1）,B（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可得｜AB｜，在圓中利用弦心距及勾股定理可得｜GH|，根據(jù)｜AB｜=|GH｜得r,k的方程,分離出r后按k是否為0進(jìn)行討論，借助基本函數(shù)的范圍即可求得r范圍;解答：解：(I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點(diǎn)為圓M的圓心（，0），得a=，又，所以c=1,b=1．所以橢圓C的方程為：．（II）設(shè)A(x1，y1)，B（x2，y2）,由直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，則，所以（1+2k2）x2﹣2=0,則x1+x2=0，，所以=，點(diǎn)M（,0）到直線l的距離d=，則|GH｜=2，顯然,若點(diǎn)H也在線段AB上,則由對稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾,所以要使｜AG｜=｜BH|,只要|AB｜=|GH｜，所以=4，==2，當(dāng)k=0時，r=，當(dāng)k≠0時,＜2（1+）=3，又顯然＞2，所以，綜上,．點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類問題的基礎(chǔ)知識，要熟練掌握．20．(13分）（2013?海淀區(qū)一模)設(shè)A（xA，yA），B=(xB，yB）為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中xA，yA，xB，yB∈Z．令△x=xB﹣xA，△y=yB﹣yA，若｜△x｜+|△Y|=3,且｜△x|?｜△y｜≠0，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A的“相關(guān)點(diǎn)”，記作：B=i（A）．已知0(x0，y0）（x0y0∈Z）為平面上一個定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列｛Pi｝滿足:Pi=i(Pi﹣1），且點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（xiyi)，其中i=1，2，3，…n．(Ⅰ）請問：點(diǎn)p0的“相關(guān)點(diǎn)”有幾個？判斷這些“相關(guān)點(diǎn)”是否在同一個圓上，若在同一個圓上,寫出圓的方程;若不在同一個圓上,說明理由；（Ⅱ）求證：若P0與Pn重合，n一定為偶數(shù)；(Ⅲ）若p0(1，0），且yn=100，記T=,求T的最大值．考點(diǎn)：數(shù)列的求和;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．343780專題：計算題；證明題；綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列；直線與圓．分析:(I)根據(jù)絕對值的意義，可得整數(shù)△x與△Y在{±1,±2}中取值，滿足絕對值的和等于3，由此可得點(diǎn)P0的相關(guān)點(diǎn)有8個,再根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得這些可能值對應(yīng)的點(diǎn)在以P0(x0,y0）為圓心,為半徑的圓上；（II)因?yàn)镻n(xn，yn)與P0（x0，y0)重合,用逐項(xiàng)作差再累加的方法得到等式，再將所得等式相加證出[(xi﹣xi﹣1)+(yi﹣yi﹣1）]=0,結(jié)合題意（xi﹣xi﹣1）+（yi﹣yi﹣1)（i=1,2，3，…，n）為奇數(shù)，可得左邊是n個奇數(shù)的和,根據(jù)整數(shù)加減法的奇偶性質(zhì)即可得到n一定為偶數(shù)；(II）令△xi=xi﹣xi﹣1,△yi=yi﹣yi﹣1(i=1,2，3，…,n），依題意可得（yi﹣yi﹣1）=100．由｜△xi｜+｜△yi|=3且|△xi｜的|△yi|都是非零整數(shù)，可得當(dāng)△xi=2的個數(shù)越多，且在△x1，△x2,△x3，…，△xn﹣1,△xn這個序列中，數(shù)字2的位置越靠前，應(yīng)的T值越大，從而得到當(dāng)△yi取值為1或﹣1的次數(shù)最多時，相應(yīng)地△xi取2的次數(shù)最多，可使T的值最大．然后分n=100、n＞100和50≤n≤100時三種情況加以討論，分別根據(jù)式子中1、2的個數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列求和公式算出T關(guān)于n的表達(dá)式，即可得到T達(dá)到最大值時，T關(guān)于n的分段函數(shù)的表達(dá)式，得到本題答案．解答:解:（Ⅰ）∵|△x|+｜△Y|=3,（|△x|?｜△y|≠0)∴｜△x｜=1且|△Y|=2，或|△x|=2且|△Y|=1，所以點(diǎn)P0的相關(guān)點(diǎn)有8個…（2分）又∵（△x）2+（△Y）2=3，即（x1﹣x0）2+（y1﹣y0）2=5∴這些可能值對應(yīng)的點(diǎn)在以P0（x0，y0）為圓心,為半徑的圓上…（4分）(Ⅱ）依題意Pn(xn,yn)與P0（x0，y0)重合則xn=（xn﹣xn﹣1）+(xn﹣1﹣xn﹣2）+（xn﹣2﹣xn﹣3）+…+（x3﹣x2）+（x2﹣x1）+（x1﹣x0）+x0,yn=（yn﹣yn﹣1）+（yn﹣1﹣yn﹣2）+（yn﹣2﹣yn﹣3）+…+（y3﹣y2）+(y2﹣y1）+（y1﹣y0）+y0，因此，可得（xn﹣xn﹣1)+（xn