北京市石景山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)文試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2013年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科)參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．(5分)（2013?石景山區(qū)一模）設(shè)集合M={x｜x2≤4），N=｛x|log2x≥1｝，則M∩N等于（)A．［﹣2，2］B．｛2｝C．[2,+∞)D．［﹣2，+∞）考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析:求解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合M，N，然后直接利用交集的運(yùn)算求解．解答：解:由M=｛x｜x2≤4}={x｜﹣2≤x≤2｝，N={x|log2x≥1｝={x|x≥2｝，則M∩N=｛x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≥2｝={2}．故選B．點(diǎn)評(píng):本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式及對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．2．（5分)（2013?石景山區(qū)一模）若復(fù)數(shù)（a﹣i)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．1B．﹣1C．D．﹣考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．3794729專題：計(jì)算題．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化為復(fù)數(shù)（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai．再根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的特點(diǎn)即可得出．解答：解：∵a∈R，∴復(fù)數(shù)（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai．∵復(fù)數(shù)（a﹣i）2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a2﹣1，﹣2a）在y軸負(fù)半軸上，∴，解得a=1．故選A．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義、在y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．(5分）（2013?石景山區(qū)一模）將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n,向量=（m,n）,=(3，6），則向量與共線的概率為(）A．B．C．D．考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式．3794729專題：平面向量及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：利用古典概型的概率計(jì)算公式和向量共線定理即可得出．解答：解：由題意可得:基本事件（m，n）（m，n=1,2,…,6）的個(gè)數(shù)=6×6=36．若,則6m﹣3n=0，得到n=2m．滿足此條件的共有（1，2),（2，4），（3，6）三個(gè)基本事件．因此向量與共線的概率P==．故選D．點(diǎn)評(píng):熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式和向量共線定理是解題的關(guān)鍵．4．(5分)（2013?石景山區(qū)一模)執(zhí)行右面的框圖，輸出的結(jié)果s的值為(）A．﹣3B．2C．D．考點(diǎn)：程序框圖．3794729專題:圖表型．分析：根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句，一旦不滿足條件就退出循環(huán)，從而到結(jié)論．解答：解：第1次循環(huán)，S=﹣3，i=2，第2次循環(huán)，S=﹣,i=3,第3次循環(huán)，S=,i=4，第4次循環(huán),S=2，i=5，第5次循環(huán)，S=﹣3，i=6，…框圖的作用是求周期為4的數(shù)列，輸出S的值，不滿足2014≤2013，退出循環(huán)，循環(huán)次數(shù)是2013次，即輸出的結(jié)果為﹣3，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，是當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)滿足條件，執(zhí)行循環(huán),屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）（2013?石景山區(qū)一模）設(shè)a∈R，則“a=1”是“直線l1：ax+2y=0與直線l2：x+（a+1)y+4=0平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．3794729專題:直線與圓．分析：利用a=1判斷兩條直線是否平行；通過(guò)兩條直線平行是否推出a=1,即可得到答案．解答:解：因?yàn)椤癮=1”時(shí)，“直線l1：ax+2y=0與l2：x+（a+1)y+4=0”化為l1:x+2y=0與l2：x+2y+4=0,顯然兩條直線平行；如果“直線l1：ax+2y=0與l2：x+（a+1)y+4=0平行”必有a(a+1）=2,解得a=1或a=﹣2,所以“a=1”是“直線l1:ax+2y=0與l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要條件．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷，能夠正確判斷兩個(gè)命題之間的條件與結(jié)論的推出關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．(5分）(2013?石景山區(qū)一模)函數(shù)y=2sin()(0≤x≤π）的最大值與最小值之和為（)A．0B．2C．﹣1D．﹣l考點(diǎn)：正弦函數(shù)的定義域和值域．3794729專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由給出的x的范圍求出的范圍，則函數(shù)的最值可求，最大值與最小值的和可求．解答：解:由0≤x≤π，得，所以當(dāng)時(shí),函數(shù)y=2sin（）有最小值為．當(dāng)時(shí),函數(shù)y=2sin（）有最大值為．所以函數(shù)y=2sin（）(0≤x≤π)的最大值與最小值之和為2﹣．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦函數(shù)定義域和值域的求法,考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，此題是易錯(cuò)題，往往誤認(rèn)為時(shí)取最大值．是基礎(chǔ)題．7．(5分)（2013?石景山區(qū)一模）某四棱錐的三視圖如圖所示,則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱長(zhǎng)度是（）A．B．C．5D．考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．3794729專題:計(jì)算題．分析：由三視圖可知幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，通過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)，求出最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)度即可．解答：解：由題意可知幾何體是底面為直角梯形,直角邊長(zhǎng)為：4,2，高為3的梯形,棱錐的高為2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角頂點(diǎn)，所以側(cè)棱最長(zhǎng)為，底面梯形下底邊銳角頂點(diǎn)與棱錐頂點(diǎn)連線,所以長(zhǎng)度為：=．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關(guān)系，判斷出側(cè)棱的最長(zhǎng)棱是解題大公雞，考查計(jì)算能力．8．（5分）（2013?石景山區(qū)一模）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)P、Q滿足條件:①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上;②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[P,Q]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)［P,Q]與[Q,P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”），已知函數(shù)f（x）=，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（）A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)考點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．3794729專題:壓軸題；新定義．分析：根據(jù)題意：“友好點(diǎn)對(duì)”，可知，欲求f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”,只須作出函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log2x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．解答：解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，則f（﹣x)=﹣（﹣x)2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x,可知，若函數(shù)為奇函數(shù)，可有f（x）=x2﹣4x，則函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=x2﹣4x由題意知，作出函數(shù)y=x2﹣4x（x＞0）的圖象，看它與函數(shù)f(x)=log2x（x＞0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到友好點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)．如圖，觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2．即f（x）的“友好點(diǎn)對(duì)”有:2個(gè)．故答案選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”的正確理解，合理地利用圖象法解決．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分)（2013?石景山區(qū)一模)函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x+2）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=2．考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷．3794729專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意可得f(﹣x）=f（x）,即x2+（a﹣2)x﹣2a=x2﹣(a﹣2）x﹣2a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立,由此可得實(shí)數(shù)a的值．解答：解：函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x+2）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x)，即（﹣x﹣a）（﹣x+2）=（x﹣a）(x+2），即x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣(a﹣2）x﹣2a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，∴a=2，故答案為2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）（2013?石景山區(qū)一模）在△ABC中，若,則∠C=．考點(diǎn)：正弦定理．3794729專題：計(jì)算題；壓軸題．分析:利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根據(jù)大邊對(duì)大角，得到A小于B，即A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出C的度數(shù)．解答:解：∵b=a，∴根據(jù)正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=,則∠C=．故答案為:點(diǎn)評(píng):此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，三角形的邊角關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．11．（5分）（2013?石景山區(qū)一模）在等差數(shù)列{an}中，a1=﹣2013,其前n項(xiàng)和為Sn，若=2，則S2013的值等于﹣2013．考點(diǎn):等差數(shù)列的性質(zhì)．3794729專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn，則=An+B．若=2，則可得{｝是以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得S2013的值．解答：解：設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn，則=An+B，∴｛}成等差數(shù)列．若=2，則=a1=﹣2013，∴｛｝是以1為公差的等差數(shù)列．∴=﹣2013+2012×1=﹣1,∴S2013的值等于﹣2013，故答案為﹣2013．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及構(gòu)造法的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．12．（5分）（2013?石景山區(qū)一模）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若∠AQB=90°,則直線l的方程為x=1．考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．3794729專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)A(x1，y1），B(x2,y2)，由∠AQB=90°得kAQ?kBQ=﹣1，建立關(guān)系式并化簡(jiǎn)得y1y2=x1x2+(x1+x2）+1，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)將x1x2=1和y1y2=4代入計(jì)算，可得x1=x2=1，即可得到直線l的方程．解答：解：設(shè)A（x1，y1)，B（x2，y2)∵∠AQB=90°，∴kAQ?kBQ=﹣1,可得?=﹣1,即y1y2=（x1+1)（x2+1）整理可得y1y2=x1x2+（x1+x2）+1…（＊)∵直線AB經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0）∴根據(jù)拋物線的性質(zhì)，可得x1x2=p2=1，y1y2=p2=4代入（＊）得:4=1+（x1+x2)+1，可得x1+x2=2結(jié)合x1x2=1，可得x1=x2=1，即A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，∴直線AB的方程為x=1，即直線l的方程為x=1故答案為：x=1點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)對(duì)點(diǎn)Q（﹣1，0)的張角等于90度，求直線AB的方程，著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．13．(5分）（2012?江蘇）如圖,在矩形ABCD中,AB=，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若=，則的值是．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．3794729專題:計(jì)算題．分析:根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來(lái)表示,做出要用的向量的模長(zhǎng),表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應(yīng)用垂直的向量數(shù)量積等于0，得到結(jié)果．解答：解:∵，====｜|=，∴|｜=1，｜｜=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案為:點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算．本題解題的關(guān)鍵是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本題是一個(gè)中檔題目．14．（5分）（2013?甘肅三模)觀察下列算式：l3=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若某數(shù)n3按上述規(guī)律展開(kāi)后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2013”這個(gè)數(shù)，則n=45．考點(diǎn)：類比推理．3794729專題：計(jì)算題．分析:可得規(guī)律：第n行的左邊是n3，右邊是n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，設(shè)第n行的第一個(gè)數(shù)為an,累加可得an，計(jì)算可得a45=1981，a46=2071，可知2013在第45行．解答：解:由題意可得第n行的左邊是n3，右邊是n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，設(shè)第n行的第一個(gè)數(shù)為an，則有a2﹣a1=3﹣1=2,a3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）個(gè)式子相加可得an﹣a1=，故an=n2﹣n+1，可得a45=1981,a46=2071，故可知2013在第45行，故答案為：45點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理，涉及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．三、解答題共6小題,共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程．15．（13分)(2013?石景山區(qū)一模)已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2,,求△ABC的面積．考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性;正弦定理．3794729專題：解三角形．分析:（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為sin（2x+)，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ)由已知,可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形內(nèi)角和公式求得C的值,再由S=ab?sinC,運(yùn)算求得結(jié)果．解答：解:（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+,函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因?yàn)锳為△ABC內(nèi)角，由題意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此,2A+=，解得A=．由正弦定理,得b=，…（10分）由A=，由B=，可得sinC=，…（12分）∴S=ab?sinC==．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理以及根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．16．（13分）（2013?石景山區(qū)一模）PM2。5指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物．PM2。5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)：在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．石景山古城地區(qū)2013年2月6日至I5日每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．（Ⅰ）計(jì)算這10天PM2.5數(shù)據(jù)的平均值并判斷其是否超標(biāo)：（Ⅱ）小陳在此期間的某天曾經(jīng)來(lái)此地旅游，求當(dāng)天PM2。5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率:（III）小王在此期間也有兩天經(jīng)過(guò)此地，這兩天此地PM2。5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)．請(qǐng)計(jì)算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的概率．考點(diǎn)：莖葉圖;古典概型及其概率計(jì)算公式．3794729專題:圖表型；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（I）由莖葉圖知：這10天PM2。5數(shù)據(jù):21，26，37，59，60，63，85,86,104，107．計(jì)算出平均數(shù)為64.8．由于64.8介于35和平力量5之間，屬于二級(jí)指標(biāo)，未超標(biāo)．（II)記“他剛好趕上PM2。5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A,利用古典概型及其概率計(jì)算公式計(jì)算當(dāng)天PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率；（III）由莖葉圖知：PM2.5數(shù)據(jù)在0~35之間的有21，26．PM2.5數(shù)據(jù)在35～75之間的有37,59，60,63．從6個(gè)數(shù)據(jù)中抽取2個(gè)的情況有：C=15,而這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)有：2×4=8個(gè)，最后利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可得到結(jié)論．解答：解：（I)由莖葉圖知：這10天PM2.5數(shù)據(jù)：21,26，37，59，60，63，85，86，104，107．平均數(shù)為==64。8．64。8介于35和平力量5之間，屬于二級(jí)指標(biāo)，未超標(biāo)．（II）記“他剛好趕上PM2。5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A，∴P(A）=；（III）由莖葉圖知：PM2.5數(shù)據(jù)在0～35之間的有21，26．PM2。5數(shù)據(jù)在35～75之間的有37，59,60，63．從6個(gè)數(shù)據(jù)中抽取2個(gè)的情況有：C=15，∴這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)情況有：2×4=8個(gè);∴這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的概率P=．點(diǎn)評(píng)：本題考查莖葉圖，等可能事件概率的求法,考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．17．(14分）(2013?石景山區(qū)一模）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=,BC=4．（I)求證：BD⊥PC；（II）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,在棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得OE∥平面PAB？若存在，確定點(diǎn)E位置．考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定;直線與平面平行的判定．3794729專題:空間位置關(guān)系與距離．分析：(I）利用勾股定理可得DB,利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°,即BD⊥DC，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PD⊥BD，利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（II）存在點(diǎn)E，使得OE∥平面PAB，此時(shí)．在PC上取點(diǎn)E使得，連接OE．利用平行線分線段成比例定理可得,而，即可得到OE∥PA．利用線面平行的判定定理即可證明．解答：證明：（Ⅰ）在Rt△ABD中，∵AD=1，AB==4，∴BD=2．∴∠ABD=30°，∴∠DBC=60°．在△BCD中,由余弦定理得DC2=22+42﹣2×2×4cos60°=12，∴DB2+DC2=BC2,∴∠BDC=90°．∴BD⊥DC．∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．又PD∩DC=D,∴BD⊥平面PDC．∴BD⊥PC．（II）存在點(diǎn)E,使得OE∥平面PAB，此時(shí)．證明如下：在PC上取點(diǎn)E使得,連接OE．由AD∥BC，，∴，可得OE∥PA．又∵PA?平面PAB，OE?平面PAB，∴OE∥平面PAB．點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了余弦定理和勾股定理的逆定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力和推理能力及計(jì)算能力．18．（14分)（2013?石景山區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值,對(duì)?x∈（0,+∞）,f（x)≥bx﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問(wèn)題．3794729專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：①對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；②由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求出a的值,再依據(jù)不等式恒成立時(shí)所取的條件,求出實(shí)數(shù)b的取值范圍即可．解答：解：（Ⅰ）在區(qū)間（0，+∞）上，．…(1分）①若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù);…（3分)②若a＞0，令f′（x)=0得x=．在區(qū)間(0，)上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x)是減函數(shù)；在區(qū)間上,f′（x）＞0,函數(shù)f（x)是增函數(shù)；綜上所述，①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞）,無(wú)遞增區(qū)間；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是．…（6分)（II)因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1處取得極值，所以f′(1）=0解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．…（7分）由已知f（x）≥bx﹣2，則…（8分）令，則…（10分)易得g（x）在(0，e2］上遞減，在[e2，+∞）上遞增，…（12分)所以g（x）min=，即．…（13分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．19．（13分）（2013?石景山區(qū)一模）設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，左焦點(diǎn)F1到直線l：的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．（I）求橢圓C的方程;（II)過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中垂線與x軸相交于點(diǎn)P（m，O），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3794729專題：綜合題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（I)由離心率為得，所以F1（﹣a，0)，由F1到直線l的距離為a，所以解得a,從而得c，由b2=a2﹣c2得b；(II）由（I)知F2（1，0），設(shè)直線l的方程為：y=k（x﹣1)，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，易知恒有△＞0,設(shè)M(x1,y1），N（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得MN中點(diǎn)的坐標(biāo)，分情況討論:當(dāng)k=0時(shí)易求m值；當(dāng)k≠0時(shí)寫出MN中垂線方程，令y=0得m，變形后用基本函數(shù)的范圍即可求得m的范圍，綜合兩種情況即可求得m的取值范圍；解答：解：（I)由已知，可得F1（﹣a，0），由F1到直線l的距離為a，所以，解得a=2，所以c=1，b2=a2﹣c2=3，得b=，所以所求橢圓C的方程為；（II）由（I）知F2（1，0），設(shè)直線l的方程為:y=k（x﹣1),由消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因?yàn)閘過(guò)點(diǎn)F2，所以△＞0恒成立,設(shè)M（x1,y1)，N（x2，y2），則，y1+y2=k(x1+x2﹣2）=，所以MN中點(diǎn)（，），當(dāng)k=0時(shí)，MN為長(zhǎng)軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則m=0，當(dāng)k≠0時(shí)MN中垂線方程為y+=﹣，令y=0，得m==，因?yàn)?所以，可得0＜m＜，綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是［0，）．點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分析解決問(wèn)題的能力，解決該類題目常用的知識(shí)為韋達(dá)定理、判別式等，應(yīng)熟練掌握．20．（13分