中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題14 將軍飲馬問題（解析版）

專題14將軍飲馬問題模型的概述：唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點宿營。問如何行走才能使總的路程最短。模型一（兩點在河的異側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點宿營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離。方法：如右圖，連接AB，與線段L交于點M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長。模型二（兩點在河的同側(cè)）：將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，需先走到河邊讓戰(zhàn)馬飲水后再到B點宿營，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離。方法：如右圖，作點B關(guān)于直線L的對稱點B’，連接AB’,與直線L的交點即為所求的渡河點，最短距離為線段AB’的長。模型三：如圖，將軍同部隊行駛至P處，準(zhǔn)備在此駐扎，但有哨兵發(fā)現(xiàn)前方為兩河AB、BC的交匯處，為防止敵軍在對岸埋伏需派偵察兵到河邊觀察，再返回P處向?qū)④妳R報情況，問偵察兵在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離。數(shù)學(xué)描述：如圖在直線AB、BC上分別找點M、N，使得?PMN周長最小。方法：如右圖，分別作點P關(guān)于直線AB、BC的對稱點P’、P’’，連接P’P’’，與兩直線的交點即為所求點M、N，最短距離為線段P’P’’的長。模型四如圖，深夜為防止敵軍在對岸埋伏，將軍又派一隊偵察兵到河邊觀察，并叮囑觀察之后先去存糧位置點Q處查看再返回P處向?qū)④妳R報情況，問偵察在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離。數(shù)學(xué)描述：如圖在直線AB、BC上分別找點M、N，使得四邊形PQNM周長最小。方法：如右圖，分別作點P、點Q關(guān)于直線AB、BC的對稱點P’、Q’，連接P’Q’，與兩直線的交點即為所求點M、N，最短距離為線段(PQ+P’Q’)的長。模型一-模型四的理論依據(jù)：兩點之間線段最短。模型五：已知點P在直線AB、BC的外側(cè)，在直線AB和BC上分別取一點M、N，求PM+PN的最小值方法：如右圖，過點P作PN⊥BC，垂足為點N，PN與AB相交于點M，與兩直線的交點即為所求點M、N，最短距離為線段PN的長。模型六：已知點P在直線AB、BC的內(nèi)側(cè)，在直線AB和BC上分別取一點M、N，求PM+PN的最小值方法：如右圖，作點P關(guān)于直線AB的對稱點P’，過點P’作P’N⊥BC，垂足為點N，P’N與AB相交于點M，與兩直線的交點即為所求點M、N，最短距離為線段P’N的長。模型五、模型六的理論依據(jù)：垂線段最短。模型七（兩點在同側(cè)）：在直線L上求一點P,求|PA-PB|的最大值方法：如右圖，延長射線AB，與直線L交于點P，|PA-PB|最大值為AB模型八（兩點在異側(cè)）：在直線L上求一點P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右圖，作點B關(guān)于直線L的對稱點B’，延長射線AB’，與直線L交于點P，|PA-PB|最大值為AB’模型七、模型八的理論依據(jù)：在三角形中兩邊之差小于第三邊。模型九在直線L上求一點P，求|PA-PB|的最小值。方法：如右圖，作線段AB的垂直平分線與直線L相交于點P，|PA-PB|最小值為0。模型九的理論依據(jù)：線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等。模型十：如圖，一條寬度相同的河流兩側(cè)有A、B兩個營地，將軍令下屬在河流間搭建一座垂直于河岸的橋梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何處搭建橋梁才能完成任務(wù)呢？方法：如右圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A’，連接A’B，交n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為點M，點M和點N即為所求，最短距離為A’B+MN模型十一：線段MN在直線L上可移動，且MN=a，當(dāng)MN移動到什么位置時，求AM+MN+NB最小值。方法：如右圖，將點A向右平移a個單位長度得點A’，作B關(guān)于直線L的對稱點B’，連接A’B’，交直線L于點N，將點N向左平移a個單位長度得點M，點M和點N即為所求，最短距離為A’B’+MN模型十、十一的理論依據(jù)：平行四邊形的性質(zhì)+兩點之間線段最短?！九鄡?yōu)訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東韶關(guān)·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為_________．【答案】6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BE，與AD交于點M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)—“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點的位置．2．（2022·廣東·九年級專題練習(xí)）已知點，，在x軸上的點C，使得最小，則點C的橫坐標(biāo)為_______．【答案】【分析】作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B，與x軸的交點即為點C，連接AC，則AC＋BC的最小值等于A'B的長，利用待定系數(shù)法求得直線A'B的解析式，即可得到點C的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B，與x軸的交點即為點C，連接AC，則AC＋BC的最小值等于A'B的長，∵A（1，1），∴A'（1，?1），設(shè)直線A'B的解析式為y＝kx＋b（k≠0），把A'（1，?1），B（3，5）代入得，解得，∴y＝3x?4，當(dāng)y＝0時，x＝，∴點C的橫坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．3．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，點是內(nèi)任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．【答案】3【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識“兩點之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及，對線段長度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：如圖所示，過點P分別作P點關(guān)于OB、OA邊的對稱點、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點N、M，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點M、N的位置是使得周長的最小的位置．由對稱性可知：，，為等邊三角形的周長===3故答案為：3【點睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵．4．（2021秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，等邊的邊長為4，點是邊的中點，點是的中線上的動點，則的最小值是_____．【答案】【分析】當(dāng)連接BE，交AD于點P時，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【詳解】解：連接BE∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點C關(guān)于AD的對應(yīng)點為點B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴BE是△ABC的中線，∴CE＝AC＝2，∴即EP+CP的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·浙江臺州·八年級校考開學(xué)考試）如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD+CD的最小值是_____．【答案】4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，證明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4．【詳解】解：如圖，連接D，∵正△ABC的邊長為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對稱，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴當(dāng)A、D、三點共線時，AD+CD最小，此時AD+CD=B+AB=4，故答案為：4．．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點A關(guān)于BC、CD的對稱點為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，∠AOB＝45°，角內(nèi)有一點P，PO＝10，在角兩邊上有兩點Q、R（均不同于點O），則△PQR的周長最小值是____；當(dāng)△PQR周長最小時，∠QPR的度數(shù)＝__．【答案】

10

90°【詳解】思路引領(lǐng)：根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，作出P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接AB，根據(jù)兩點之間線段最短得到最小值線段，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．根據(jù)對稱的性質(zhì)求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度數(shù)．答案詳解：分別作P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N．連接MN交OA、OB交于Q、R，則△PQR符合條件．連接OM、ON，則OM＝ON＝OP＝10，∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，故△MON為等腰直角三角形．∴MN10．根據(jù)對稱的性質(zhì)得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，∵△MON為等腰直角三角形，∴∠OMN+∠ONM＝90°，∴∠OPQ+∠OPR＝90°，即∠QPR＝90°．故答案為10，90°．8．（2019·黑龍江伊春·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，，點是矩形內(nèi)一動點，且，則的最小值為_____．【答案】【分析】由于S△PAB=S△PCD，這兩個三角形等底同高，可得點P在線段AD的垂直平分線上，根據(jù)最短路徑問題，可得PC+PD=AC此時最小，有勾股定理可求結(jié)果．【詳解】為矩形，又點到的距離與到的距離相等，即點線段垂直平分線上，連接，交與點，此時的值最小，且故答案為【點睛】此題考查垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線9．（2022春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，的面積為12，的垂直平分線交于點，若為邊上的中點，為線段上的一動點，則周長的最小值為______．【答案】8【分析】連接，，的周長為，因為為定值，所以取最小值時，周長取最小值，求出的最小值即可．【詳解】如圖，連接，．的周長為，為定值，取最小值時，周長取最小值．，是邊的中點，是邊的中線，．，．是線段的垂直平分線，點、關(guān)于直線EF對稱．．當(dāng)點為與的交點時，取最小值，的長即為的最小值．周長的最小值為．故答案為：8．【點睛】本題考查了三角形的動點問題，掌握垂直平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是_________．【答案】【詳解】解：作M關(guān)于OB的對稱點M'，N關(guān)于OA的對稱點N',連接兩對稱點M'N'，交OB、OA于P、Q.此時MP＋PQ＋QN有最小值，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)和兩點之間線段最短，MP＋PQ＋QN=M'P+PQ＋QN'=M'N'，M'N'的長度就是所求的MP＋PQ＋QN的最小值.分別連接OM',ON',∠N'OA＝∠AOB＝30°，∠M'OB＝∠AOB＝30°，所以∠M'ON'=90o，所以三角形M'ON'是直角三角形,OM'=OM＝1，ON'=ON＝3，由勾股定理得M'N'為.所以MP＋PQ＋QN的最小值是.故答案是：．11．（2021秋·山東濟(jì)南·八年級濟(jì)南市章丘區(qū)實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D，E分別是AB、AC的中點，在CD上找一點P，連接AP、EP，當(dāng)AP+EP最小時，這個最小值是_____．【答案】【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PA，PE的值，從而找出其最小值求解．【詳解】如圖，∵AC＝BC＝4，點D，是AB的中點，∴A、B關(guān)于CD對稱，連接BE，則BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=4，點E是AC的中點，∴CE=2cm，∴BE=，∴PA+PE的最小值是12．（2021秋·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，若有一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，________．【答案】##【分析】因為的坐標(biāo)滿足關(guān)系：與的和為，即點在直線上，故問題轉(zhuǎn)化為在上取一點，使得這點到點的距離和最小即可．【詳解】如下圖所示：因為的坐標(biāo)滿足關(guān)系：與的和為，即點在直線上，作點關(guān)于直線對稱的點，得出點坐標(biāo)為，連接交直線于點，此時最小，設(shè)直線的解析式為，將代入，得：，解得，即直線的解析式為，聯(lián)立兩直線方程得：，解得：，即點坐標(biāo)為，即，，解得，故答案為：．【點睛】本題利用平面直角坐標(biāo)系考查了線段和最小問題，關(guān)鍵要將此題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型，即直線上一點到兩定點的距離和最小問題．13．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在一條東西向的馬路上有廣場A和醫(yī)院C，在各自正北方向上分別有汽車站B和汽車站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在馬路AC段之間建造一個加油站P．（1）若要使得加油站P到兩汽車站的距離之和最小，請用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站P的位置，并直接寫出此時的最小值．（作圖請保留痕跡，結(jié)果可以保留根號）（2）若要使得加油站到兩汽車站的距離相等，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站P的位置，并求出此時PA的距離．（作圖請保留痕跡）【答案】（1）圖見解析，km；（2）圖見解析，km．【分析】（1）作點B關(guān)于AC的對稱點B′，連接DB′交AC于點P，連接PB，此時PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；（2）連接BD，作線段BD的垂直平分線交AC于點P，連接PB，PD，點P即為所求，設(shè)PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，點P即為所求．過點D作DE⊥AB交AB的延長線于點E．則四邊形ACDE是矩形，∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），∵AB＝AB′＝4km，∴EB′＝AE+AB′＝12（km），∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．（2）如圖2中，點P即為所求，設(shè)PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，∴42+x2＝82+（14﹣x）2，解得x＝∴AP＝（km）．【點睛】本題考查了根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求最短距離，作軸對稱和作垂直平分線，勾股定理解直角三角形，掌握垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，牧童在離河邊3km的A處牧馬，小屋位于他南6km東9km的B處，他想把他的馬牽到河邊飲水，然后回小屋．他要完成此過程所走的最短路程是多少？并在圖中畫出飲水C所在在位置（保留作圖痕跡）．【答案】最短路程是；畫圖見解析．【分析】先作關(guān)于的對稱點，連接，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，作出點關(guān)于的對稱點，連接交于點，則點是馬飲水的位置，根據(jù)對稱性可得，,則，∴，由已知得，，，在中，由勾股定理求得，即，答：他要完成這件事情所走的最短路程是，飲水所在位置．【點睛】本題考查的是勾股定理和軸對稱在實際生活中的運用，需要同學(xué)們聯(lián)系實際，題目是一道比較典型的題目，難度適中．15．（2021秋·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A是將軍和馬居住的營帳，點B是一塊兒指定的草地，一條小河L潺潺流過，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，P點在何處時，將軍和馬兒走過的路的值最?。?1)請在圖中畫出最短路徑，標(biāo)出點P的位置；(2)證明這時最小．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作點A關(guān)于L的對稱點，連接交L于點P，P點即為所求；（2）在L上另取一點，連接、，在中，當(dāng)點與點P重合時，有：，即：，即問題得證．【詳解】（1）如圖，作點A關(guān)于L的對稱點，連接交L于點P，P點即為所求．（2）在L上另取一點，連接、，在中，當(dāng)點與點P重合時，有：，即：，∴當(dāng)位于點P時，最?。军c睛】本題屬于一類將軍飲馬的問題，掌握P點的作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．16．（2020秋·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A，B，C都是格點．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的．（2）若B為坐標(biāo)原點，請寫出、、的坐標(biāo)，并直接寫出的長度．．（3）如圖2，A，C是直線同側(cè)固定的點，D是直線MN上的一個動點，在直線MN上畫出點D，使最小．（保留作圖痕跡）【答案】（1）畫圖見解析；（2），；（3）畫圖見解析【分析】（1）分別確定關(guān)于對稱的對稱點再順次連接從而可得答案；（2）根據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)的位置直接寫其坐標(biāo)與的長度即可；（3）先確定關(guān)于的對稱點，再連接交于則從而可得答案.【詳解】解：（1）如圖1，是所求作的三角形，（2）如圖1，為坐標(biāo)原點，則

（3）如圖2，點即為所求作的點.【點睛】本題考查的是畫軸對稱圖形，建立坐標(biāo)系，用根據(jù)點的位置確定點的坐標(biāo)，軸對稱的性質(zhì)，掌握“利用軸對稱的性質(zhì)得到兩條線段和取最小值時點的位置”是解本題的關(guān)鍵.本題考查軸對稱﹣最短問題、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．17．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底邊BC上的中線，點P為線段AB上一點．（1）在AD上找一點E，使得PE+EB的值最??；（2）若點P為AB的中點，當(dāng)∠BPE滿足什么條件時，△ABC是等邊三角形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）∠BPE=90°，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC，再根據(jù)兩點間線段最短的性質(zhì)，連接CP交AD于點E，并連接BE，即可得解；（2）因為P為AB的中點，要使△ABC是等邊三角形，則需BC=AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，所以CP⊥AB，即∠BPE=90°．【詳解】解：（1）如圖，連接CP交AB于點E，則點E為所求；（2）∠BPE=90°，理由如下：∵∠BPE=90°∴CP⊥AB，∵點P為AB的中點，∴CP垂直平分AB∴CA=CB∵AB=AC∴AB=AC=BC∴△ABC是等邊三角形【點睛】本題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及對稱、兩點間線段最短、線段中垂線定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．18．（2021春·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．（1）在圖中作出關(guān)于軸的對稱圖形；（2）寫出點，，的坐標(biāo)，并求出的面積；（3）若在軸上存在點使最小，則點的坐標(biāo)為______．【答案】（1）見解析；（2），，，4.5；（3）【分析】（1）根據(jù)對稱圖形的性質(zhì)：對稱點的連線被對稱軸垂直平分，描點即可；（2）根據(jù)點的位置寫出點，，的坐標(biāo)，用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算的面積；（3）連接交軸于點，根據(jù)兩點之間線段最短可判斷此時點滿足條件，利用一次函數(shù)求出直線AB1與x軸交點坐標(biāo)P即可．【詳解】解：（1）如圖，△為所作；（2），，；的面積，（3）如圖，連接交軸于點，點為所作．∵設(shè)直線AB1解析式為，把、代入解析式得：；解得：，即直線AB1解析式為∴當(dāng)時，，P坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)及最短路徑問題，難點是利用對稱性質(zhì)找出P點位置并利用一次函數(shù)求出點P坐標(biāo)．19．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線與x軸交于兩點．(1)求該拋物線的解析式；(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)x取何值時，？(3)設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得的周長最小？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)當(dāng)或時，；(3)Q點坐標(biāo)為．【分析】（1）已知了拋物線過A、B兩點，而拋物線的解析式中也只有兩個待定系數(shù)，因此可將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象即可解決問題；（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點的位置，已知了B與A點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此只需連接，直線與對稱軸的交點即為Q點．可根據(jù)B、C兩點的坐標(biāo)先求出直線的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求出Q點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸的兩個交點分別為，∴，解得，∴所求拋物線的解析式為；（2）解：觀察函數(shù)圖象，當(dāng)或時，，故答案為或；（3）解：在拋物線對稱軸上存在點Q，使的周長最?。唛L為定值，∴要使的周長最小，只需最小，∵點A關(guān)于對稱軸直線的對稱點是，∴Q是直線與對稱軸直線的交點，設(shè)過點B，C的直線的解析式，把代入，∴，∴，∴直線的解析式為，把代入上式，∴，∴Q點坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象的交點等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．20．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于點，點為的中點，點、分別為軸正半軸和拋物線對稱軸上的動點，連接、、，求四邊形周長最小時點、的坐標(biāo)．【答案】當(dāng)四邊形周長最小時，點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)為．【分析】作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接，交對稱軸于點，交軸于點．求出直線的解析為，進(jìn)一步可得出結(jié)論．【詳解】如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，作點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接，交對稱軸于點，交軸于點．由對稱知，，此時四邊形的周長為．此時四邊形的周長最小，最小值為．，，拋物線對稱軸為直線．．為的中點，．．設(shè)直線的解析式為．將點、的坐標(biāo)代入可得解得直線的解析為．令，則，點的坐標(biāo)為．令，則，點的坐標(biāo)為．當(dāng)四邊形周長最小時，點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)為．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，四邊形與二次函數(shù)的結(jié)合，線段的和差最值與二次函數(shù)的結(jié)合，將不共線的線段轉(zhuǎn)化為共線為解題關(guān)鍵．21．（2021春·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形紙片AOBC按如圖方法放置，點A、B分別在y軸和x軸上，已知OA=2，OB=4，點D在邊AC上，且AD=1．解答下列問題．（1）點C的坐標(biāo)為_______；（2）在x軸上有一點E，使得△CDE的周長最短，求出點E的坐標(biāo)及直線CE的解析式．（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點P，使得以C、D、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）（4，2）；（2）點E的坐標(biāo)為（，0）；直線的解析式為；（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點P1(，0)或P2(?，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形．【分析】（1）由OB及OA長度可寫出C點的坐標(biāo)；（2）作C點關(guān)于x軸的對稱點F，連接FD交OB于E，進(jìn)而求出E點坐標(biāo)；（3）分別以CD為平行四邊形的邊，CD為對角線求出P點的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）∵OA=2，OB=4，且點C在第一象限，∴點C的坐標(biāo)為（4，2）；故答案為：（4，2）；（2）過點D(1，2)作關(guān)于x軸的對稱點D1(1，?2)，連接D1C交x軸于點E，由軸對稱性知D1E=DE，由兩點之間線段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周長最短．設(shè)直線D1C的解析式為y=kx+b，把D1(1，?2)和C(4，2)分別代入得：，解得，∴直線CE的解析式為．∵點E在x軸上，∴當(dāng)y=0時，x=，點E的坐標(biāo)為（，0）；（3）設(shè)P(x，0)，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC=OB=4．∵AD=1，∴DC=AC?AD=4?1=3．分情況討論：①當(dāng)CD為平行四邊形的邊時，∵以點C、D、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，∴PE//CD且PE=CD．∴=3，∴x?=3或x?=?3，∴x1=，x2=?，∴P1(，0)或P2(?，0)；②當(dāng)CD為平行四邊形的對角線時，∵四邊形是以點C、D、P、E為頂點的平行四邊形，并且點E在x軸上，∵OE=，∴點P在AC的上方，且EP⊥DC．∴P3(，4)．綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點P1(，0)或P2(?，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形．．【點睛】本題考查了求一次函數(shù)的解析式和平行四邊形的判定和分類，解決問題的關(guān)鍵是熟悉“將軍飲馬”模型和平行四邊形分類的方法．22．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、，點、分別是直線和軸上的動點，求周長的最小值．【答案】周長的最小值為．【分析】分別作點關(guān)于軸、直線的對稱點、，連接，分別交軸、直線于點、，由對稱性質(zhì)可得，，此時的周長為．【詳解】如圖，分別作點關(guān)于軸、直線的對稱點、，連接，分別交軸、直線于點、，由對稱性質(zhì)可得，，此時的周長為．此時的周長最小，最小值為的長．、，，．，，．過點作軸于點，，．．周長的最小值為．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱正確找到點的位置．23．（2022·江蘇泰州·校考模擬預(yù)測）直線和雙曲線交于點，．(1)求，，的值；(2)在坐標(biāo)軸上有一點，使的值最小，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）將A、B兩點坐標(biāo)分別代入，即可解出m、n的值；（2）線段和的最短距離問題，首先想到的是利用“將軍飲馬”模型進(jìn)行解決，做A點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點，在之后再進(jìn)行計算，需要注意的是，本題需要進(jìn)行分情況進(jìn)行討論，最終確定最短距離下的M坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點，在直線上，，，，，，點在雙曲線上，；（2）如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸與，則，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為，；；如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸與，則，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為，當(dāng)時，，．，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，坐標(biāo)與圖形變化-軸對稱、最短路線問題，注意待定系數(shù)法求直線解析式的運用．24．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，、為對角線上的動點，且，連接、，求周長的最小值．【答案】周長的最小值為．【分析】要使周長的最小，只需EC+CF最小，過點作，使得，連接交于點，構(gòu)造出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正方形的對稱性知，當(dāng)、、三點共線時,EC+CF=FH+AF=AH=，且最小，從而得到周長的最小值．【詳解】如解圖，過點作，使得，連接交于點，連接．，，四邊形是平行四邊形，．四邊形是正方形，點，關(guān)于對稱．．此時的周長為．當(dāng)、、三點共線時，的周長最小，最小值為．四邊形是正方形，且邊長為4．，．．在中，．周長的最小值為．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，凡是涉及最短距離的問題，一般要結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．25．（2022秋·八年級課時練習(xí)）（1）【問題解決】已知點在內(nèi)，過點分別作關(guān)于、的對稱點、.①如圖1，若，請直接寫出______；②如圖2，連接分別交、于、，若，求的度數(shù)；③在②的條件下，若度（），請直接寫出______度（用含的代數(shù)式表示）.（2）【拓展延伸】利用“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”這個結(jié)論，解答問題：如圖3，在中，，點是內(nèi)部一定點，，點、分別在邊、上，請你在圖3中畫出使周長最小的點、的位置（不寫畫法），并直接寫出周長的最小值.【答案】（1）【問題解決】①；②；③；（2）【拓展延伸】如圖，見解析；周長最小值為8．【分析】（1）①連接OP，由點P關(guān)于直線OA的對稱點，點P關(guān)于直線OB的對稱點，可得，，再由+=2（+）=2,即可求得∠AOB的度數(shù)；②由，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得；由軸對稱的性質(zhì)得，，，再由三角形外角的性質(zhì)可得，，所以，即可求得；由軸對稱的性質(zhì)可得，由四邊形的內(nèi)角和為360°即可求得；③類比②的方法即可解答；（2）作點P關(guān)于邊AB的對稱點，再作點P關(guān)于邊AC的對稱點，連結(jié)，分別交AB、AC于點E、F，此時的周長最小，最小為的長，由①的方法求得∠A=60°，A=A，再由“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可判定△A是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得=AP=8，由此即可得周長最小值為8．【詳解】（1）①連接OP，∵點P關(guān)于直線OA的對稱點，點P關(guān)于直線OB的對稱點，∴，，∴+=2（+）=2,故答案為50°；②如圖2，∵，∴，由軸對稱的性質(zhì)得，，，∵，，∴，∴，由軸對稱的性質(zhì)得，，∴；③.如圖2，∵，∴，由軸對稱的性質(zhì)得，，，∵，，∴，∴，由軸對稱的性質(zhì)得，，∴=；故答案為；（2）如圖所示，的周長最小，周長最小值為8．①畫點P關(guān)于邊AB的對稱點，②畫點P關(guān)于邊AC的對稱點，③連結(jié)，分別交AB、AC于點E、F，此時的周長最小，周長最小值為8．【點睛】本題考查了軸對稱作圖及最短路徑問題，熟練線段垂直平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．26．（2021·四川南充·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點A（4，0）、B（0，4）、C．其對稱軸l交x軸于點D，交直線AB于點F，交拋物線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為直線l上的動點，求△PBC周長的最小值；(3)點N為直線AB上的一點（點N不與點F重合），在拋物線上是否存在一點M，使以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，（，）或（，-）或（，-）【分析】（1）把點A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作點B關(guān)于直線l的對稱軸B′，連接B′C交l于一點P，點P即為使△PBC周長最小的點，由對稱可知，PB′=PB，即△PBC周長的最小值為：BC+CB′；（3）設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時，則EF∥MN，則N（m，-m+4），所以NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，求出m的值，代入即可；②當(dāng)EF為對角線時，EF的中點為（，），由中點坐標(biāo)公式可求得點N的坐標(biāo)，再由點N是直線AB上一點，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可．（1）解：把點A（4，0）、B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c中，得，，解得，∴拋物線的解析式為：y=-x2+3x+4；（2）解：由拋物線解析式可知，對稱軸直線l：x=，∵點A（4，0），∴點C（-1，0），如圖，作點B關(guān)于直線l的對稱軸B′，連接B′C交l于一點P，點P即為使△PBC周長最小的點，此時B′（3，4），設(shè)直線B′C的解析式為y=kx+b1，∴，解得：，∴直線B′C的解析式為：y=x+1，把x=代入得：y=+1=，∴P（，），∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），∴BC=，CB′==4，∴△PBC周長的最小值為：；（3）解：存在，以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標(biāo)為（，）或（，-）或（，-）．理由如下：由拋物線解析式可知，E（，），∵A（4，0）、B（0，4），∴直線AB的解析式為：y=-x+4，∴F（，）．∴EF=．設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時，則EF∥MN，∴N（m，-m+4），∴NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，解得m=（舍）或或或，∴M（，）或（，-）或（，-）．②當(dāng)EF為對角線時，EF的中點為（，），∴點N的坐標(biāo)為（3-m，m2-3m+），∴-3+m+4=m2-3m+，解得m=（舍），m=，∴M（，）．綜上，滿足以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標(biāo)為（，）或（，-）或（，-）．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形存在性問題，解題過程中注意需要分類討論．27．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊中，，點E為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________．【答案】

##30度

【分析】①與為等邊三角形，得到，，，從而證，最后得到答案．②過點D作定直線CF的對稱點G，連CG，證出為等邊三角形，為的中垂線，得到，，再證為直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：①∵為等邊三角形，∴，，∴，∵是等邊三角形，∵，，∴，，∴，在和中∴，得；故答案為：．②（將軍飲馬問題）過點D作定直線CF的對稱點G，連CG，∴為等邊三角形，為的中垂線，，∴，連接，∴，又，∴為直角三角形，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練運用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強(qiáng)的綜合性．28．（2021秋·廣東中山·九年級廣東省中山市黃圃鎮(zhèn)馬新初級中學(xué)?？计谥校┮阎?，拋物線，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，拋物線的頂點為點D．（1）求的長度和點D的坐標(biāo)；（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，求出的值最小時P點的坐標(biāo)；（3）點M是第三象限拋物線上一點，當(dāng)最大時，求點M的坐標(biāo)，并求出的最大值．【答案】（1）AB=4，D坐標(biāo)為