中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿(mǎn)分突破（全國(guó)通用）：專(zhuān)題14 將軍飲馬問(wèn)題（解析版）

專(zhuān)題14將軍飲馬問(wèn)題模型的概述：唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：將軍在觀(guān)望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng)。問(wèn)如何行走才能使總的路程最短。模型一（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：將軍在觀(guān)望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離。方法：如右圖，連接AB，與線(xiàn)段L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線(xiàn)段AB的長(zhǎng)。模型二（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：將軍在觀(guān)望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，需先走到河邊讓?xiě)?zhàn)馬飲水后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，將在何處渡河使行走距離最短并求最短距離。方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接AB’,與直線(xiàn)L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線(xiàn)段AB’的長(zhǎng)。模型三：如圖，將軍同部隊(duì)行駛至P處，準(zhǔn)備在此駐扎，但有哨兵發(fā)現(xiàn)前方為兩河AB、BC的交匯處，為防止敵軍在對(duì)岸埋伏需派偵察兵到河邊觀(guān)察，再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問(wèn)偵察兵在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離。數(shù)學(xué)描述：如圖在直線(xiàn)AB、BC上分別找點(diǎn)M、N，使得?PMN周長(zhǎng)最小。方法：如右圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P’、P’’，連接P’P’’，與兩直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線(xiàn)段P’P’’的長(zhǎng)。模型四如圖，深夜為防止敵軍在對(duì)岸埋伏，將軍又派一隊(duì)偵察兵到河邊觀(guān)察，并叮囑觀(guān)察之后先去存糧位置點(diǎn)Q處查看再返回P處向?qū)④妳R報(bào)情況，問(wèn)偵察在AB、BC何處偵查才能最快完成任務(wù)并求最短距離。數(shù)學(xué)描述：如圖在直線(xiàn)AB、BC上分別找點(diǎn)M、N，使得四邊形PQNM周長(zhǎng)最小。方法：如右圖，分別作點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)AB、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P’、Q’，連接P’Q’，與兩直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線(xiàn)段(PQ+P’Q’)的長(zhǎng)。模型一-模型四的理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。模型五：已知點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、BC的外側(cè)，在直線(xiàn)AB和BC上分別取一點(diǎn)M、N，求PM+PN的最小值方法：如右圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N，PN與AB相交于點(diǎn)M，與兩直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線(xiàn)段PN的長(zhǎng)。模型六：已知點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、BC的內(nèi)側(cè)，在直線(xiàn)AB和BC上分別取一點(diǎn)M、N，求PM+PN的最小值方法：如右圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P’，過(guò)點(diǎn)P’作P’N⊥BC，垂足為點(diǎn)N，P’N與AB相交于點(diǎn)M，與兩直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，最短距離為線(xiàn)段P’N的長(zhǎng)。模型五、模型六的理論依據(jù)：垂線(xiàn)段最短。模型七（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線(xiàn)L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值方法：如右圖，延長(zhǎng)射線(xiàn)AB，與直線(xiàn)L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB模型八（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線(xiàn)L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，延長(zhǎng)射線(xiàn)AB’，與直線(xiàn)L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB’模型七、模型八的理論依據(jù)：在三角形中兩邊之差小于第三邊。模型九在直線(xiàn)L上求一點(diǎn)P，求|PA-PB|的最小值。方法：如右圖，作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)L相交于點(diǎn)P，|PA-PB|最小值為0。模型九的理論依據(jù)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等。模型十：如圖，一條寬度相同的河流兩側(cè)有A、B兩個(gè)營(yíng)地，將軍令下屬在河流間搭建一座垂直于河岸的橋梁MN，使得AM+MN+NB之和最短，在何處搭建橋梁才能完成任務(wù)呢？方法：如右圖，將點(diǎn)A向下平移MN的單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A’，連接A’B，交n于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥m，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，最短距離為A’B+MN模型十一：線(xiàn)段MN在直線(xiàn)L上可移動(dòng)，且MN=a，當(dāng)MN移動(dòng)到什么位置時(shí)，求AM+MN+NB最小值。方法：如右圖，將點(diǎn)A向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)A’，作B關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接A’B’，交直線(xiàn)L于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)M，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，最短距離為A’B’+MN模型十、十一的理論依據(jù)：平行四邊形的性質(zhì)+兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短?！九鄡?yōu)訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)校考期中）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線(xiàn)，M是線(xiàn)段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________．【答案】6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過(guò)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線(xiàn)∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)—“三線(xiàn)合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點(diǎn)的位置．2．（2022·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，在x軸上的點(diǎn)C，使得最小，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為_(kāi)______．【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，連接AC，則AC＋BC的最小值等于A'B的長(zhǎng)，利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)A'B的解析式，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，連接AC，則AC＋BC的最小值等于A'B的長(zhǎng)，∵A（1，1），∴A'（1，?1），設(shè)直線(xiàn)A'B的解析式為y＝kx＋b（k≠0），把A'（1，?1），B（3，5）代入得，解得，∴y＝3x?4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線(xiàn)問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線(xiàn)段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．3．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是射線(xiàn)和射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】3【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”可找到周長(zhǎng)的最小的位置，作出圖示，充分利用對(duì)稱(chēng)性以及，對(duì)線(xiàn)段長(zhǎng)度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別作P點(diǎn)關(guān)于OB、OA邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點(diǎn)N、M，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”可知，此時(shí)點(diǎn)M、N的位置是使得周長(zhǎng)的最小的位置．由對(duì)稱(chēng)性可知：，，為等邊三角形的周長(zhǎng)===3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題是典型的的最短路徑問(wèn)題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵．4．（2021秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．【答案】【分析】當(dāng)連接BE，交AD于點(diǎn)P時(shí)，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【詳解】解：連接BE∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線(xiàn)，∴點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，∴BE是△ABC的中線(xiàn)，∴CE＝AC＝2，∴即EP+CP的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，D為線(xiàn)段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_____．【答案】4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，證明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4．【詳解】解：如圖，連接D，∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，∴∠CB=60°，∴∠CB=∠B，∵BD=BD，∴△CBD≌△BD，∴CD=D，∴AD+CD=D+CD，∴當(dāng)A、D、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=B+AB=4，故答案為：4．．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、A2，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，連接AM、AN，則此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的最短路徑問(wèn)題，利用軸對(duì)稱(chēng)將三角形周長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，∠AOB＝45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO＝10，在角兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），則△PQR的周長(zhǎng)最小值是____；當(dāng)△PQR周長(zhǎng)最小時(shí)，∠QPR的度數(shù)＝__．【答案】

10

90°【詳解】思路引領(lǐng)：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，作出P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M、N，連接AB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得到最小值線(xiàn)段，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度數(shù)．答案詳解：分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M、N．連接MN交OA、OB交于Q、R，則△PQR符合條件．連接OM、ON，則OM＝ON＝OP＝10，∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，故△MON為等腰直角三角形．∴MN10．根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，∵△MON為等腰直角三角形，∴∠OMN+∠ONM＝90°，∴∠OPQ+∠OPR＝90°，即∠QPR＝90°．故答案為10，90°．8．（2019·黑龍江伊春·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)____．【答案】【分析】由于S△PAB=S△PCD，這兩個(gè)三角形等底同高，可得點(diǎn)P在線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)上，根據(jù)最短路徑問(wèn)題，可得PC+PD=AC此時(shí)最小，有勾股定理可求結(jié)果．【詳解】為矩形，又點(diǎn)到的距離與到的距離相等，即點(diǎn)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上，連接，交與點(diǎn)，此時(shí)的值最小，且故答案為【點(diǎn)睛】此題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線(xiàn)9．（2022春·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，的面積為12，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，若為邊上的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】8【分析】連接，，的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以取最小值時(shí)，周長(zhǎng)取最小值，求出的最小值即可．【詳解】如圖，連接，．的周長(zhǎng)為，為定值，取最小值時(shí)，周長(zhǎng)取最小值．，是邊的中點(diǎn)，是邊的中線(xiàn)，．，．是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)．．當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，的長(zhǎng)即為的最小值．周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、中線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是_________．【答案】【詳解】解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N',連接兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M'N'，交OB、OA于P、Q.此時(shí)MP＋PQ＋QN有最小值，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，MP＋PQ＋QN=M'P+PQ＋QN'=M'N'，M'N'的長(zhǎng)度就是所求的MP＋PQ＋QN的最小值.分別連接OM',ON',∠N'OA＝∠AOB＝30°，∠M'OB＝∠AOB＝30°，所以∠M'ON'=90o，所以三角形M'ON'是直角三角形,OM'=OM＝1，ON'=ON＝3，由勾股定理得M'N'為.所以MP＋PQ＋QN的最小值是.故答案是：．11．（2021秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別是AB、AC的中點(diǎn)，在CD上找一點(diǎn)P，連接AP、EP，當(dāng)AP+EP最小時(shí)，這個(gè)最小值是_____．【答案】【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考慮通過(guò)作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化PA，PE的值，從而找出其最小值求解．【詳解】如圖，∵AC＝BC＝4，點(diǎn)D，是AB的中點(diǎn)，∴A、B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，連接BE，則BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=4，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴CE=2cm，∴BE=，∴PA+PE的最小值是12．（2021秋·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，若有一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，________．【答案】##【分析】因?yàn)榈淖鴺?biāo)滿(mǎn)足關(guān)系：與的和為，即點(diǎn)在直線(xiàn)上，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上取一點(diǎn)，使得這點(diǎn)到點(diǎn)的距離和最小即可．【詳解】如下圖所示：因?yàn)榈淖鴺?biāo)滿(mǎn)足關(guān)系：與的和為，即點(diǎn)在直線(xiàn)上，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，得出點(diǎn)坐標(biāo)為，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)，此時(shí)最小，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將代入，得：，解得，即直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程得：，解得：，即點(diǎn)坐標(biāo)為，即，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題利用平面直角坐標(biāo)系考查了線(xiàn)段和最小問(wèn)題，關(guān)鍵要將此題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型，即直線(xiàn)上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和最小問(wèn)題．13．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在一條東西向的馬路上有廣場(chǎng)A和醫(yī)院C，在各自正北方向上分別有汽車(chē)站B和汽車(chē)站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在馬路AC段之間建造一個(gè)加油站P．（1）若要使得加油站P到兩汽車(chē)站的距離之和最小，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站P的位置，并直接寫(xiě)出此時(shí)的最小值．（作圖請(qǐng)保留痕跡，結(jié)果可以保留根號(hào)）（2）若要使得加油站到兩汽車(chē)站的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站P的位置，并求出此時(shí)PA的距離．（作圖請(qǐng)保留痕跡）【答案】（1）圖見(jiàn)解析，km；（2）圖見(jiàn)解析，km．【分析】（1）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接DB′交AC于點(diǎn)P，連接PB，此時(shí)PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；（2）連接BD，作線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)P，連接PB，PD，點(diǎn)P即為所求，設(shè)PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，點(diǎn)P即為所求．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．則四邊形ACDE是矩形，∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），∵AB＝AB′＝4km，∴EB′＝AE+AB′＝12（km），∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．（2）如圖2中，點(diǎn)P即為所求，設(shè)PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，∴42+x2＝82+（14﹣x）2，解得x＝∴AP＝（km）．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最短距離，作軸對(duì)稱(chēng)和作垂直平分線(xiàn)，勾股定理解直角三角形，掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，牧童在離河邊3km的A處牧馬，小屋位于他南6km東9km的B處，他想把他的馬牽到河邊飲水，然后回小屋．他要完成此過(guò)程所走的最短路程是多少？并在圖中畫(huà)出飲水C所在在位置（保留作圖痕跡）．【答案】最短路程是；畫(huà)圖見(jiàn)解析．【分析】先作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)是馬飲水的位置，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，,則，∴，由已知得，，，在中，由勾股定理求得，即，答：他要完成這件事情所走的最短路程是，飲水所在位置．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理和軸對(duì)稱(chēng)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，需要同學(xué)們聯(lián)系實(shí)際，題目是一道比較典型的題目，難度適中．15．（2021秋·陜西商洛·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A是將軍和馬居住的營(yíng)帳，點(diǎn)B是一塊兒指定的草地，一條小河L潺潺流過(guò)，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，P點(diǎn)在何處時(shí)，將軍和馬兒走過(guò)的路的值最?。?1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出最短路徑，標(biāo)出點(diǎn)P的位置；(2)證明這時(shí)最小．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交L于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求；（2）在L上另取一點(diǎn)，連接、，在中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，有：，即：，即問(wèn)題得證．【詳解】（1）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交L于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求．（2）在L上另取一點(diǎn)，連接、，在中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，有：，即：，∴當(dāng)位于點(diǎn)P時(shí)，最?。军c(diǎn)睛】本題屬于一類(lèi)將軍飲馬的問(wèn)題，掌握P點(diǎn)的作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．16．（2020秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)的．（2）若B為坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出、、的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．．（3）如圖2，A，C是直線(xiàn)同側(cè)固定的點(diǎn)，D是直線(xiàn)MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線(xiàn)MN上畫(huà)出點(diǎn)D，使最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2），；（3）畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】（1）分別確定關(guān)于對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再順次連接從而可得答案；（2）根據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)的位置直接寫(xiě)其坐標(biāo)與的長(zhǎng)度即可；（3）先確定關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再連接交于則從而可得答案.【詳解】解：（1）如圖1，是所求作的三角形，（2）如圖1，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

（3）如圖2，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查的是畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形，建立坐標(biāo)系，用根據(jù)點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的坐標(biāo)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，掌握“利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到兩條線(xiàn)段和取最小值時(shí)點(diǎn)的位置”是解本題的關(guān)鍵.本題考查軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃虇?wèn)題、兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．17．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底邊BC上的中線(xiàn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)．（1）在AD上找一點(diǎn)E，使得PE+EB的值最?。唬?）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)∠BPE滿(mǎn)足什么條件時(shí)，△ABC是等邊三角形，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠BPE=90°，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC，再根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短的性質(zhì)，連接CP交AD于點(diǎn)E，并連接BE，即可得解；（2）因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，要使△ABC是等邊三角形，則需BC=AB，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，所以CP⊥AB，即∠BPE=90°．【詳解】解：（1）如圖，連接CP交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求；（2）∠BPE=90°，理由如下：∵∠BPE=90°∴CP⊥AB，∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∴CP垂直平分AB∴CA=CB∵AB=AC∴AB=AC=BC∴△ABC是等邊三角形【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)以及對(duì)稱(chēng)、兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短、線(xiàn)段中垂線(xiàn)定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．18．（2021春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．（1）在圖中作出關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖形；（2）寫(xiě)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，并求出的面積；（3）若在軸上存在點(diǎn)使最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），，，4.5；（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，描點(diǎn)即可；（2）根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算的面積；（3）連接交軸于點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可判斷此時(shí)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，利用一次函數(shù)求出直線(xiàn)AB1與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)P即可．【詳解】解：（1）如圖，△為所作；（2），，；的面積，（3）如圖，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為所作．∵設(shè)直線(xiàn)AB1解析式為，把、代入解析式得：；解得：，即直線(xiàn)AB1解析式為∴當(dāng)時(shí)，，P坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題，難點(diǎn)是利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)找出P點(diǎn)位置并利用一次函數(shù)求出點(diǎn)P坐標(biāo)．19．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)校考期中）如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于兩點(diǎn)．(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；(2)觀(guān)察函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出當(dāng)x取何值時(shí)，？(3)設(shè)（1）題中的拋物線(xiàn)交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線(xiàn)的解析式為；(2)當(dāng)或時(shí)，；(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】（1）已知了拋物線(xiàn)過(guò)A、B兩點(diǎn)，而拋物線(xiàn)的解析式中也只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此可將A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式；（2）觀(guān)察圖象即可解決問(wèn)題；（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，已知了B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，因此只需連接，直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)．可根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線(xiàn)的解析式，然后聯(lián)立拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，∴，解得，∴所求拋物線(xiàn)的解析式為；（2）解：觀(guān)察函數(shù)圖象，當(dāng)或時(shí)，，故答案為或；（3）解：在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最?。唛L(zhǎng)為定值，∴要使的周長(zhǎng)最小，只需最小，∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，∴Q是直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)的交點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)B，C的直線(xiàn)的解析式，把代入，∴，∴，∴直線(xiàn)的解析式為，把代入上式，∴，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．20．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為軸正半軸和拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接、、，求四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)．【答案】當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．求出直線(xiàn)的解析為，進(jìn)一步可得出結(jié)論．【詳解】如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．由對(duì)稱(chēng)知，，此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)為．此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為．，，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．．為的中點(diǎn)，．．設(shè)直線(xiàn)的解析式為．將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入可得解得直線(xiàn)的解析為．令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．令，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，四邊形與二次函數(shù)的結(jié)合，線(xiàn)段的和差最值與二次函數(shù)的結(jié)合，將不共線(xiàn)的線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為共線(xiàn)為解題關(guān)鍵．21．（2021春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形紙片AOBC按如圖方法放置，點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上，已知OA=2，OB=4，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=1．解答下列問(wèn)題．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______；（2）在x軸上有一點(diǎn)E，使得△CDE的周長(zhǎng)最短，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及直線(xiàn)CE的解析式．（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以C、D、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（4，2）；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）；直線(xiàn)的解析式為；（3）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)P1(，0)或P2(?，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【分析】（1）由OB及OA長(zhǎng)度可寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接FD交OB于E，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分別以CD為平行四邊形的邊，CD為對(duì)角線(xiàn)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）∵OA=2，OB=4，且點(diǎn)C在第一象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）；故答案為：（4，2）；（2）過(guò)點(diǎn)D(1，2)作關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D1(1，?2)，連接D1C交x軸于點(diǎn)E，由軸對(duì)稱(chēng)性知D1E=DE，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周長(zhǎng)最短．設(shè)直線(xiàn)D1C的解析式為y=kx+b，把D1(1，?2)和C(4，2)分別代入得：，解得，∴直線(xiàn)CE的解析式為．∵點(diǎn)E在x軸上，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）；（3）設(shè)P(x，0)，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC=OB=4．∵AD=1，∴DC=AC?AD=4?1=3．分情況討論：①當(dāng)CD為平行四邊形的邊時(shí)，∵以點(diǎn)C、D、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PE//CD且PE=CD．∴=3，∴x?=3或x?=?3，∴x1=，x2=?，∴P1(，0)或P2(?，0)；②當(dāng)CD為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∵四邊形是以點(diǎn)C、D、P、E為頂點(diǎn)的平行四邊形，并且點(diǎn)E在x軸上，∵OE=，∴點(diǎn)P在AC的上方，且EP⊥DC．∴P3(，4)．綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)P1(，0)或P2(?，0)或P3(，4)，使得以C、D、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)的解析式和平行四邊形的判定和分類(lèi)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉“將軍飲馬”模型和平行四邊形分類(lèi)的方法．22．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、，點(diǎn)、分別是直線(xiàn)和軸上的動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】周長(zhǎng)的最小值為．【分析】分別作點(diǎn)關(guān)于軸、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接，分別交軸、直線(xiàn)于點(diǎn)、，由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，，此時(shí)的周長(zhǎng)為．【詳解】如圖，分別作點(diǎn)關(guān)于軸、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接，分別交軸、直線(xiàn)于點(diǎn)、，由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，，此時(shí)的周長(zhǎng)為．此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)．、，，．，，．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，．．周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)正確找到點(diǎn)的位置．23．（2022·江蘇泰州·?？寄M預(yù)測(cè)）直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)，．(1)求，，的值；(2)在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)，使的值最小，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可解出m、n的值；（2）線(xiàn)段和的最短距離問(wèn)題，首先想到的是利用“將軍飲馬”模型進(jìn)行解決，做A點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在之后再進(jìn)行計(jì)算，需要注意的是，本題需要進(jìn)行分情況進(jìn)行討論，最終確定最短距離下的M坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點(diǎn)，在直線(xiàn)上，，，，，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，；（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸與，則，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，，直線(xiàn)的解析式為，；；如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸與，則，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，，直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形變化-軸對(duì)稱(chēng)、最短路線(xiàn)問(wèn)題，注意待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式的運(yùn)用．24．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，、為對(duì)角線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】周長(zhǎng)的最小值為．【分析】要使周長(zhǎng)的最小，只需EC+CF最小，過(guò)點(diǎn)作，使得，連接交于點(diǎn)，構(gòu)造出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和正方形的對(duì)稱(chēng)性知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),EC+CF=FH+AF=AH=，且最小，從而得到周長(zhǎng)的最小值．【詳解】如解圖，過(guò)點(diǎn)作，使得，連接交于點(diǎn)，連接．，，四邊形是平行四邊形，．四邊形是正方形，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)．．此時(shí)的周長(zhǎng)為．當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為．四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為4．，．．在中，．周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題，正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．25．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）【問(wèn)題解決】已知點(diǎn)在內(nèi)，過(guò)點(diǎn)分別作關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、.①如圖1，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出______；②如圖2，連接分別交、于、，若，求的度數(shù)；③在②的條件下，若度（），請(qǐng)直接寫(xiě)出______度（用含的代數(shù)式表示）.（2）【拓展延伸】利用“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”這個(gè)結(jié)論，解答問(wèn)題：如圖3，在中，，點(diǎn)是內(nèi)部一定點(diǎn)，，點(diǎn)、分別在邊、上，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出使周長(zhǎng)最小的點(diǎn)、的位置（不寫(xiě)畫(huà)法），并直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值.【答案】（1）【問(wèn)題解決】①；②；③；（2）【拓展延伸】如圖，見(jiàn)解析；周長(zhǎng)最小值為8．【分析】（1）①連接OP，由點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可得，，再由+=2（+）=2,即可求得∠AOB的度數(shù)；②由，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得；由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，，再由三角形外角的性質(zhì)可得，，所以，即可求得；由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，由四邊形的內(nèi)角和為360°即可求得；③類(lèi)比②的方法即可解答；（2）作點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再作點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小為的長(zhǎng)，由①的方法求得∠A=60°，A=A，再由“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”即可判定△A是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得=AP=8，由此即可得周長(zhǎng)最小值為8．【詳解】（1）①連接OP，∵點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，，∴+=2（+）=2,故答案為50°；②如圖2，∵，∴，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，，∵，，∴，∴，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，∴；③.如圖2，∵，∴，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，，∵，，∴，∴，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，∴=；故答案為；（2）如圖所示，的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)最小值為8．①畫(huà)點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，②畫(huà)點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，③連結(jié)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)最小值為8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)作圖及最短路徑問(wèn)題，熟練線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．26．（2021·四川南充·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)P為直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；(3)點(diǎn)N為直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)N不與點(diǎn)F重合），在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，（，）或（，-）或（，-）【分析】（1）把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)可知，PB′=PB，即△PBC周長(zhǎng)的最小值為：BC+CB′；（3）設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥MN，則N（m，-m+4），所以NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，求出m的值，代入即可；②當(dāng)EF為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，EF的中點(diǎn)為（，），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由點(diǎn)N是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，可知-3+m+4=m2-3m+，解得m的值即可．（1）解：把點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）代入拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c中，得，，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2+3x+4；（2）解：由拋物線(xiàn)解析式可知，對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)l：x=，∵點(diǎn)A（4，0），∴點(diǎn)C（-1，0），如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)軸B′，連接B′C交l于一點(diǎn)P，點(diǎn)P即為使△PBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，此時(shí)B′（3，4），設(shè)直線(xiàn)B′C的解析式為y=kx+b1，∴，解得：，∴直線(xiàn)B′C的解析式為：y=x+1，把x=代入得：y=+1=，∴P（，），∵B（0，4），C（-1，0），B′（3，4），∴BC=，CB′==4，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值為：；（3）解：存在，以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，-）或（，-）．理由如下：由拋物線(xiàn)解析式可知，E（，），∵A（4，0）、B（0，4），∴直線(xiàn)AB的解析式為：y=-x+4，∴F（，）．∴EF=．設(shè)M（m，-m2+3m+4），①當(dāng)EF為邊時(shí)，則EF∥MN，∴N（m，-m+4），∴NM=EF=，即|-m2+3m+4-（-m+4）|=，解得m=（舍）或或或，∴M（，）或（，-）或（，-）．②當(dāng)EF為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，EF的中點(diǎn)為（，），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3-m，m2-3m+），∴-3+m+4=m2-3m+，解得m=（舍），m=，∴M（，）．綜上，滿(mǎn)足以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，-）或（，-）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形存在性問(wèn)題，解題過(guò)程中注意需要分類(lèi)討論．27．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊中，，點(diǎn)E為高上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為_(kāi)_____________．【答案】

##30度

【分析】①與為等邊三角形，得到，，，從而證，最后得到答案．②過(guò)點(diǎn)D作定直線(xiàn)CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連CG，證出為等邊三角形，為的中垂線(xiàn)，得到，，再證為直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：①∵為等邊三角形，∴，，∴，∵是等邊三角形，∵，，∴，，∴，在和中∴，得；故答案為：．②（將軍飲馬問(wèn)題）過(guò)點(diǎn)D作定直線(xiàn)CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連CG，∴為等邊三角形，為的中垂線(xiàn)，，∴，連接，∴，又，∴為直角三角形，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定及性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練運(yùn)用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強(qiáng)的綜合性．28．（2021秋·廣東中山·九年級(jí)廣東省中山市黃圃鎮(zhèn)馬新初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，拋物線(xiàn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求的長(zhǎng)度和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，求出的值最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是第三象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出的最大值．【答案】（1）AB=4，D坐標(biāo)為