分形高等數(shù)學

分形幾何高等數(shù)學分形歷史介紹

被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現(xiàn)代數(shù)學的一個新分支，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功能，時間，能量等）表現(xiàn)出與整體的相似性，它承認空間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以是連續(xù)的，因而拓展了視野。分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數(shù)學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托（G.Cantor，德國數(shù)學家）構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。1890年，意大利數(shù)學家皮亞諾（G.Peano）構(gòu)造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數(shù)學家科赫（H.vonKoch）設(shè)計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設(shè)計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數(shù)學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質(zhì)與量的研究，提出分數(shù)維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應(yīng)用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數(shù)。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分數(shù)維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領(lǐng)域中作出了主要貢獻，從而產(chǎn)生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數(shù)概念。以后，這一領(lǐng)域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。分形簡介分形幾何的產(chǎn)生客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變。不少復(fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學?？陀^事物有它自己的特征長度，要用恰當?shù)某叨热y量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。還有的事物沒有特征尺

分形幾何度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做“無標度性”的問題。如物理學中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態(tài)，就要借助“無標度性”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學。兩名數(shù)學家的貢獻

在二十世紀七十年代，法國數(shù)學家芒德勃羅(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探討了“英國的海岸線有多長”這個問題。這依賴于測量時所使用的尺度。如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數(shù)量級的“無標度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。數(shù)學家柯赫(Koch)從一個正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，并趨向于無窮大。以后可以看到，分維才是“Koch島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于1到2之間。這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質(zhì)中的流體運動和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數(shù)學家進一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何學。

分形幾何學的應(yīng)用

分形幾何學已在自然界與物理學中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一?；ǚ郏瑫匆娝婚g斷地作無規(guī)則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞(每秒鐘多達十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是2，大大高于它的拓撲維數(shù)1.在某些電化學反應(yīng)中，電極附近沉積的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規(guī)則的枝杈，每個枝杈繼續(xù)分為細杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從1公里到1000公里的無標度區(qū)。小于1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個數(shù)量級的無標度區(qū)，這已經(jīng)足夠了。分形存在于這中間區(qū)域。近幾年在流體力學不穩(wěn)定性、光學雙穩(wěn)定器件、化學震蕩反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，并從實驗數(shù)據(jù)中計算出它們的分維。學會從實驗數(shù)據(jù)測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的應(yīng)用也正在成為有充實內(nèi)容的研究領(lǐng)域。分形幾何的意義

上世紀80年代初開始的“分形熱”經(jīng)久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領(lǐng)域開展應(yīng)用探索。美國物理學大師約翰·惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。

中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數(shù)學之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現(xiàn)，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術(shù)的融合，數(shù)學與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學方法論意義分形幾何的創(chuàng)始人最簡單的分形幾何圖形

分形幾何圖形欣賞對比下分形的藝術(shù)分形理論

定義

1967年他在美國權(quán)威的《科學》雜志上發(fā)表了題為《英國的海岸線有多長?》的著名論文。海岸線作為曲線,其特征是極不規(guī)則、極不光滑的，呈現(xiàn)極其蜿蜒復(fù)雜的變化。我們不能從形狀和結(jié)構(gòu)上區(qū)分這部分海岸與那部分海岸有什么本質(zhì)的不同,這種幾乎同樣程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性,說明海岸線在形貌上是自相似的,也就是局部形態(tài)和整體態(tài)的相似。在沒有建筑物或其他東西作為參照物時,在空中拍攝的100公里長的海岸線與放大了的10公里長海岸線的兩張照片,看上去會十分相似。事實上,具有自相似性的形態(tài)廣泛存在于自然界中,