18主元法-原卷版

第18講主元法知識與方法在一個多元的數(shù)學(xué)問題中，可以將任意一個元作為主元，如果能選擇合適的主元切入問題，有時候可以大大降低題目難度．主元法的用途也是非常廣泛的，在初中的分解因式章節(jié)中，估計有些同學(xué)就已經(jīng)對主元法有所了解．在這一講，說一下主元法在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用．題型及處理方法：題型1：含參函數(shù)的恒成立證明例如，對于含有參數(shù)a的函數(shù)，，現(xiàn)要證明，，．假若此時的單調(diào)性與值域難以分析，可考慮將看作為關(guān)于a的函數(shù)，此時只需證，，即可，若的單調(diào)性或值域容易分析，那么將a做為主元來研究將會是一個不錯的選擇，如本節(jié)中的【例】1．題型2；同范圍雙獨立變量的不等式證明像“對數(shù)平均值不等式”“指數(shù)平均值不等式”“二元形式的琴生不等式”，可以說是這類題目的代表了，類似于這樣的不等式都可以考慮用主元法來證明．例如，已知是定義D上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且在D上單調(diào)遞增，證明：，．對于而言，可以任選a或b為主元，來研究的值域，比如設(shè)，此時的b為參變量，則．由于單調(diào)遞增，容易得出：時，，，即，單調(diào)遞減；時，，，即，單調(diào)遞增；即．所以，．當(dāng)然，解決數(shù)學(xué)題目的方法絕對不是一成不變且套路化的，遇到多元的數(shù)學(xué)問題，也不要刻意使用主元法，先分析式子結(jié)構(gòu)和變量之間的關(guān)系，權(quán)衡各種方法的利弊，選擇合適的角度切入．比如，下面這個不等式的兩種證明方法中，【解法2】反倒更勝一籌？證明：，．【解法1】主元法等箏價于．設(shè)，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即．所以，，．【解法2】換元法（整體代換）等價于，即．則只需證，．令，．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，．所以，時，．典型例題【例】1（2021·馬鞍山二模）已知函數(shù)，．（1）若在定義域內(nèi)無極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：當(dāng)，時，恒成立．【例2】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）證明：當(dāng)時，恒成立．【例3】已知函數(shù)f(x)=(1)當(dāng)k=2時,求曲線y=f(2)當(dāng)k??3時,證明:?【例4】.已知函數(shù)f((1)當(dāng)m=0時,曲線(x)=f(x)+ag(x(2)當(dāng)m=1時,已知0<a<【例5】已知函數(shù)f((1)求函數(shù)f((2)當(dāng)a=1時,設(shè)g(x)=xex強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知a∈R2.設(shè)b、c均為實數(shù),若函數(shù)f(x)=x3.已知函數(shù)f((1)當(dāng)a=1時,求曲線f(x(2)當(dāng)a=1時,設(shè)g(x)=f(x4.設(shè)函數(shù)f((1)當(dāng)a=e時,求函數(shù)f(2)當(dāng)a>0時,證明:f5.已知函數(shù)f((1)證明:當(dāng)a=?1時,函數(shù)f(2)當(dāng)?2<a<0時,證明:f(6.已知函數(shù)f((1)求函數(shù)f((2)設(shè)0<a<b7.設(shè)函數(shù)f((1)討論f((2)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時,1<(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x