固體物理 第三章 晶格振動

§3.1晶體中原子的微振動聲子一、微振動方程及其解設(shè)晶體由N個原子組成，考慮原子振動，每個原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏離平衡位置）以位移矢量作為考察量：晶體的振動動能：第三章晶格振動質(zhì)量加權(quán)坐標(biāo)晶體振動勢能

按的冪將勢能在平衡位置附近展開為泰勒級數(shù)高階項其中平衡位置處的勢能為零勢能點平衡位置處勢能為極小值略去高階項（簡諧近似）晶體的振動勢能：3.1晶體中原子的微振動聲子拉格朗日函數(shù)（概括整個系統(tǒng)動力狀態(tài)的函數(shù)）代入拉格朗日方程由3N個線性齊次方程組成的方程組,其特解為所有原子在每個方向上都作同頻率,同相位,不同振幅的振動,稱為簡諧振動。每一個簡諧振動并不表示某一個原子的振動，而是表示整個晶體所有原子都參與的振動，稱為一個振動模式。有N個原子組成的晶體，一共有3N個振動模式3.1晶體中原子的微振動聲子方程的一般解可表示為特解的線性疊加共有3N種疊加方式，表示在3N個方向上的振動。對某一個原子而言，實際振動是由許多振動模式引起的振動的疊加，形式極為復(fù)雜。所以，實際晶體中每一種微振動都是3N個簡諧振動的疊加，是一種極為復(fù)雜的運動。3.1晶體中原子的微振動聲子晶體的振動勢能：3.1晶體中原子的微振動聲子力常數(shù)其中勢能公式中用到的力常數(shù)可以用矩陣的形式表示出來：簡正坐標(biāo)和諧振子：A為正交矩陣正交變換令D為由所有質(zhì)量加權(quán)坐標(biāo)構(gòu)成的列矩陣Q的每一個矩陣元都是所有質(zhì)量加權(quán)坐標(biāo)的線性組合,這些矩陣元就是簡正坐標(biāo)

運用線性變換的方法，引入簡正坐標(biāo)，總能量：用Q表達(dá)T和U，消除勢能交叉項（即消去相互作用），組成拉氏函數(shù)，帶入拉氏方程，求解系統(tǒng)運動方程：將N個相互作用著的原子系統(tǒng)簡化為3N個獨立的諧振子諧振子運動方程3.1晶體中原子的微振動聲子其中：系統(tǒng)的總能量：每一個諧振子能量可表示為:根據(jù)量子理論二、聲子系統(tǒng)由3N個諧振子組成，每一個諧振子的能量是量子化的，能量單位即為聲子。聲子3.1晶體中原子的微振動聲子3.1晶體中原子的微振動聲子晶格振動模式

獨立的諧振子聲子質(zhì)量加權(quán)坐標(biāo)下：簡正坐標(biāo)下：能量量子化一、簡諧近似則原子間相互作用力近似1：原子間作用力簡化為彈性力。作用力常數(shù)近似2：只考慮最近鄰原子間作用力3.2一維布拉菲格子的晶格振動+2nx第n+1個原子對第n個原子的作用力第n-1個原子對第n個原子的作用力一維無限長單原子鏈3.2一維布拉菲格子的晶格振動每一個原子對應(yīng)一個方程，n個原子對應(yīng)n個聯(lián)立的線性齊次方程組第n個原子的牛頓運動方程：第n個原子受到的合力為（僅考慮最近鄰作用）3.2一維布拉菲格子的晶格振動試解：位于處的原子的振動解正k對應(yīng)于沿+x方向的前進(jìn)波，負(fù)k對應(yīng)于沿-x方向的波，這種在晶體中傳播的波，稱為。格波一種振動模式（k，ω）試解代入運動方程：3.2一維布拉菲格子的晶格振動波矢(k)與格波頻率(ω)間的函數(shù)關(guān)系稱為色散關(guān)系,即聲子譜。能直接地反映原子間相互作用,是晶格動力學(xué)的基礎(chǔ),以其為起點可進(jìn)一步求得聲子態(tài)密度、晶格摩爾熱容、德拜溫度、熱膨脹系數(shù)等一系列晶體熱力學(xué)性質(zhì)。3.2一維布拉菲格子的晶格振動格波的色散關(guān)系由公式和色散關(guān)系譜看出，色散關(guān)系具有明顯的周期性，周期為n?2π/a。對于波矢為k1和k2＝k1＋n?2π/a的兩個格波具有相同的角頻率，相同的能量，相同的位移。稱為第一布里淵區(qū)的范圍。0k格波的色散關(guān)系3.2一維布拉菲格子的晶格振動色散關(guān)系具有周期性，常將k限制在:(即倒空間中一維晶格的原胞)整個晶格象剛體一樣作整體運動,因而恢復(fù)力為0,故長波極限，3.2一維布拉菲格子的晶格振動鄰近原子反向運動(位相相反)，所以恢復(fù)力和頻率取極大值。二、周期性邊界條件考慮有限長的一維原子鏈，由N個原子組成；另有無窮多個相同的一維原子鏈與之聯(lián)結(jié)而形成無限長的一維原子鏈，各段相應(yīng)原子運動情況同。有N種均勻分布的分立取值3.2一維布拉菲格子的晶格振動波矢空間中，晶格振動模式（代表點）均勻分布。晶格的獨立振動模式數(shù)等于N，等于晶體的自由度數(shù)。一組（k，ω）對應(yīng)一種振動模式。3.2一維布拉菲格子的晶格振動波矢相差倒格矢，晶格振動相同2aMm2n2n+1一、運動方程試解代入運動方程一維雙原子鏈（N個原胞，2N個原子）3.3一維復(fù)式格子的晶格振動線性齊次方程非平凡解條件：0k色散關(guān)系具有周期性，將k限制在：稱為一維雙原子鏈的第一布里淵區(qū)如m<M，色散關(guān)系中存在頻隙3.3一維復(fù)式格子的晶格振動由邊界條件：一維雙原子鏈由N個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同的基，將若干個相同的一維雙原子鏈?zhǔn)孜蚕嘟樱纬蔁o限長的一維鏈。則有：波矢的取值數(shù)=晶格原胞數(shù)N對每一個波矢k，有兩類獨立的振動其中，，共有N種取值振動模式數(shù)=總自由度數(shù)2N3.3一維復(fù)式格子的晶格振動有N種取值所以二、聲頻支和光頻支稱為光頻支，相應(yīng)的格波稱為光學(xué)波稱為聲頻支，相應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波頻率較高頻率較低光學(xué)波相鄰原子振動方向相反聲學(xué)波相鄰原子振動方向相同3.3一維復(fù)式格子的晶格振動考慮長波極限表明光頻支在長波極限下，相鄰原子反向振動，基質(zhì)心保持靜止。若是離子晶體，在電場作用下異號離子受力相反，可用光波來激發(fā)離子晶體中的這種長波振動。3.3一維復(fù)式格子的晶格振動表示聲頻支在長波極限下，原胞內(nèi)兩個原子的振幅相同，且相鄰原子振動位相差振動情況一致。聲頻支在長波限描述了原胞的整體運動。長聲學(xué)波與聲波的性質(zhì)類似，可近似連續(xù)介質(zhì)的彈性波。3.3一維復(fù)式格子的晶格振動考慮長波極限0k3.3一維復(fù)式格子的晶格振動彈性介質(zhì)的色散關(guān)系光波的色散關(guān)系對于實際三維的晶體，上述的分析方法和結(jié)論是普適的。三維情形下，若基由n個原子組成，原胞內(nèi)的原子共有3n個自由度，因而存在3n種色散關(guān)系。其中3支為聲頻支；

3(n-1)支為光頻支。三、三維晶格金剛石【100】方向的色散關(guān)系3.3一維復(fù)式格子的晶格振動原胞內(nèi)含原子數(shù)原胞數(shù)自由度數(shù)第一布區(qū)中k數(shù)格波數(shù)聲學(xué)格波數(shù)光學(xué)格波數(shù)單原子鏈雙原子鏈三維晶體12nNNNN2N3nNNNNNN3N0N3(n-1)N

格波數(shù)與晶體的維數(shù)及晶胞內(nèi)原子數(shù)的關(guān)系3.3一維復(fù)式格子的晶格振動3.4晶格熱容及其理論模型熱容：一定質(zhì)量的物質(zhì)在一定條件下，溫度升高/降低一度所需要的熱量，定容熱容，定壓熱容，摩爾熱容等。溫度T時的熱力學(xué)平均能量晶格比熱容電子比熱容經(jīng)典的困難：能量均分定理每個簡諧振動的平均能量為:N原子系統(tǒng)杜隆—珀替定律與溫度和材料性質(zhì)無關(guān)低溫下，隨溫度下降很快，當(dāng)T→0時，Cv→03.4晶格熱容及其理論模型一、晶格熱容的量子理論1）根據(jù)量子統(tǒng)計理論，聲子是玻色子，由B-E分布知，溫度為T時，角頻率為ω、波矢k的振動的聲子數(shù)為：N個原子的熱振動可歸結(jié)為能量量子化了的3N個相互獨立的簡諧振動模，其總能量為：2）頻率為ω的諧振子能量為：3.4晶格熱容及其理論模型稱為頻率分布函數(shù)，表示單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)。

3）整個晶格振動對應(yīng)的內(nèi)能為：3.4晶格熱容及其理論模型為波矢k相對應(yīng)的第s頻支模式的聲子數(shù)4）忽略零點能?ω/2：ω取值的密集性可將求和近似用求積分代替3.4晶格熱容及其理論模型5）與原子的晶格振動對應(yīng)的熱容晶格振動的定容熱容只與頻率有關(guān)。二、愛因斯坦模型假設(shè)：晶格包含N個原胞、每個原胞內(nèi)包含n個原子，每個原子進(jìn)行相互獨立的振動，則共有3nN種振動模式，每個振動模式都具有相同的振動頻率：內(nèi)能：熱容：3.4晶格熱容及其理論模型(愛因斯坦模型)愛因斯坦特征溫度①高溫區(qū)與經(jīng)典的實驗結(jié)論相符②低溫區(qū)討論：與實驗定性相符,但是下降很陡，與實驗不符。3.4晶格熱容及其理論模型(愛因斯坦模型)愛因斯坦