數(shù)學(xué)模型介紹

引言

數(shù)學(xué)建模競賽，就是一項(xiàng)數(shù)學(xué)應(yīng)用題比賽。大家都做過數(shù)學(xué)應(yīng)用題吧，比如說“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只”，這樣的問題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題(應(yīng)該是小學(xué)生的吧)，正確答案應(yīng)該是9只，是吧？這樣的題照樣是數(shù)學(xué)建模題，不過答案就不重要了，重要的是過程。真正的數(shù)學(xué)建模高手應(yīng)該這樣回答這道題：

“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”“是無聲手槍或別的無聲的槍嗎？”“不是?！薄皹屄曈卸啻?？”“80－100分貝?！薄澳蔷褪钦f會震的耳朵疼？”“是?！薄霸谶@個城市里打鳥犯不犯法？”“不犯。”“您確定那只鳥真的被打死啦？”“確定?！薄癘K，樹上的鳥里有沒有聾子？”“沒有。”“有沒有關(guān)在籠子里的？”“沒有?！薄斑吷线€有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”“沒有?！薄坝袥]有殘疾的或餓的飛不動的鳥？”“沒有?！薄八悴凰銘言卸亲永锏男▲B？”“不算?！薄按蝤B的人眼有沒有花？保證是十只？”“沒有花，就十只。”“有沒有傻的不怕死的？”“都怕死?！薄皶粫粯尨蛩纼芍?？”“不會?！薄八械镍B都可以自由活動嗎？”“完全可以?！薄叭绻幕卮饹]有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，如果掉下來，就一只不剩。”不是開玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模。從不同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，正所謂的智者千慮，絕無一失，這，才是數(shù)學(xué)建模的高手。

第一講建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1從現(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)

對于現(xiàn)實(shí)中的原型(現(xiàn)實(shí)對象)，為了某個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也可以說，數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語言（符號、式子與圖象）模擬現(xiàn)實(shí)的模型。把現(xiàn)實(shí)模型抽象、簡化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，或者能預(yù)測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實(shí)問題，我們把數(shù)學(xué)知識的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)模型的全過程包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等。

數(shù)學(xué)競賽給人的印象是高深莫測的數(shù)學(xué)難題，和一個人、一支筆、一張紙，關(guān)在屋子里的冥思苦想，它訓(xùn)練嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，而數(shù)學(xué)建模競賽從內(nèi)容到形式與此都有明顯的不同。數(shù)學(xué)建模競賽的題目由日常生活、工程技術(shù)和管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡化加工而成，大家可以從網(wǎng)上找到歷年的賽題，它們對數(shù)學(xué)知識要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。數(shù)學(xué)建模競賽

——什么是數(shù)學(xué)建模競賽

大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽是全球范圍內(nèi)數(shù)學(xué)界最重要的競賽之一，1994年以來全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽已為少數(shù)幾項(xiàng)大學(xué)生課外活動和競賽活動之一。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽培養(yǎng)學(xué)生什么樣的能力?經(jīng)過10多年來廣大參賽同學(xué),和指導(dǎo)教師的總結(jié)，至少有以下幾方面是值得提出的：一、應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析、推理、計(jì)算能力，特別是雙向翻譯的能力大大提高。二、應(yīng)用計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)軟件以及因特網(wǎng)的能力大大提高。三、獲得應(yīng)變能力的培養(yǎng)。四、培養(yǎng)和發(fā)展同學(xué)們的創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力和洞察力。五、培養(yǎng)學(xué)生組織、管理、協(xié)調(diào)合作以及儀式妥協(xié)的能力。六、培養(yǎng)了交流、表達(dá)和寫作能力。數(shù)學(xué)建模競賽

——數(shù)學(xué)建模競賽的意義數(shù)學(xué)建模競賽以通訊形式進(jìn)行，三名大學(xué)生組成一隊(duì)，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢，但不得與隊(duì)外任何人討論。在三天時間內(nèi)，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等方面的論文。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)?？梢钥闯觯@項(xiàng)競賽與學(xué)生畢業(yè)以后工作時的條件非常相近，是對學(xué)生業(yè)務(wù)、能力和素質(zhì)的全面培養(yǎng)，特別是開放性思維和創(chuàng)新意識。數(shù)學(xué)建模競賽

——數(shù)學(xué)建模競賽的形式競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦的，每年9月下旬舉行，今年是9月9日至11日。競賽面向全國大專院校的學(xué)生，不分專業(yè)。今年我院組成十五隊(duì)參加競賽。數(shù)學(xué)建模競賽

——怎樣參加數(shù)學(xué)建模競賽2006年全國一等獎獲得者：譚于超：城建學(xué)部05級土木曾曉波：城建學(xué)部04級土木胡德麗：信息工程學(xué)部04級信計(jì)2007年省三等獎獲得者：鄧星星：城建學(xué)部06級土木彭振庭：信息工程學(xué)部05級計(jì)科嚴(yán)新林：信息工程學(xué)部05級信科2008年省三等獎獲得者：王銳：信息工程學(xué)部06級信計(jì)余魯鑫：城建學(xué)部08級土木周崢嶸：城建學(xué)部08級土木2008年省二等獎獲得者：邱豐：經(jīng)管學(xué)部06級國貿(mào)汪燕霞：信息工程學(xué)部06級信計(jì)羅強(qiáng)：機(jī)電工程學(xué)部07級機(jī)電2009年省二等獎獲得者：鄧星星：城建學(xué)部06級土木陶小娟：經(jīng)管學(xué)部08級工管董麗娜：經(jīng)管學(xué)部08級工管2009年省二等獎獲得者：羅強(qiáng)：機(jī)電工程學(xué)部07級機(jī)電江媛：機(jī)電工程學(xué)部08級機(jī)電王冬：機(jī)電工程學(xué)部08級機(jī)電2010年省三等獎獲得者：張杰俊：08建筑工程1班汪佳亮：08建筑工程2班袁寬：08建筑工程2班

歷年兩院取得的成績1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識經(jīng)濟(jì)如虎添翼1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是

的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對任意,f(

),g(

)至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);對任意

，f(

)?g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因?yàn)閒(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子

和f(

),g(

)的確定1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點(diǎn)~10個點(diǎn)允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預(yù)報(bào)人口的增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口增長率r(單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口呈正比)是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預(yù)測

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2