金融計(jì)量學(xué)- 金融計(jì)量學(xué)ch10全文-大學(xué)課件-

金融計(jì)量學(xué)復(fù)旦大學(xué)金融研究院張宗新第十章利率期限結(jié)構(gòu)：理論與實(shí)證[學(xué)習(xí)目標(biāo)]熟悉債券利率曲線、即期利率與遠(yuǎn)期利率的基本概念;掌握利率期限結(jié)構(gòu)的理論假說及其實(shí)證方法；了解利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造與擬合方法；熟悉利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)估計(jì)方法Vasicek模型和

CIR模型；了解卡爾曼濾波法在期限結(jié)構(gòu)估計(jì)中的應(yīng)用。債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)第一節(jié)債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)一、收益率曲線描述債券到期收益率和到期期限之間關(guān)系的曲線叫做收益率曲線。我們可以將收益率

表示為年到期的債券現(xiàn)在應(yīng)支付的年利率，也就是說在時間區(qū)間

上的平均年利率。對到期前不支付利息的債券而言，收益率是由債券目前的價格和面值（到期價格）的比值求出。如果

表示該比值，則：·債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)

收益率曲線一般具備以下特點(diǎn)：（1）短期收益率一般比長期收益率更富有變化性；（2）收益率曲線一般向上傾斜；（3）當(dāng)利息率整體水平較高時，收益率曲線會呈現(xiàn)向下傾斜（甚至是倒轉(zhuǎn)的）形狀。債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)二、利率期限結(jié)構(gòu)1.即期利率即期利率（spot

rates）是定義期限結(jié)構(gòu)的基本利率，即期利率

是指已設(shè)定到期日的零息票債券的到期收益率，它表示的是從現(xiàn)在（

）到時間t的貨幣收益。利率和本金都是在時間t支付的。（1）按年復(fù)利：

，其中t必須為整數(shù)，否則需要調(diào)整。（2）每年m期復(fù)利：

，其中mt必須為整數(shù)，即t必須是

的整數(shù)倍數(shù)。（3）連續(xù)復(fù)利：債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)2.貼現(xiàn)因子和現(xiàn)值一旦即期利率確定，很自然就要在每一個時間點(diǎn)上，定義相應(yīng)的貼現(xiàn)因子（discount

factors）

。未來現(xiàn)金流必然通過這些因子成倍增加，已得到相當(dāng)?shù)默F(xiàn)值。對于不同的復(fù)利計(jì)息形式，它們定義如下：（1）每年復(fù)利記息時，（2）每年m期復(fù)利記息時，（3）連續(xù)復(fù)利記息時，貼現(xiàn)因子把未來現(xiàn)金流直接轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)的現(xiàn)值。因此已知任意現(xiàn)金流（

）相應(yīng)與市場即期利率，現(xiàn)值是：債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)3.遠(yuǎn)期利率

遠(yuǎn)期利率（forward

rates）指的是資金的遠(yuǎn)期價格，它是未來兩個日期間借入貨幣的利率，也可以表示投資者在未來特定日期購買的零息票債券的到期收益率。（1）按年復(fù)利：對于每年復(fù)利計(jì)息，遠(yuǎn)期利率滿足：■即（2）每年期復(fù)利：對于每年期的復(fù)利計(jì)息，遠(yuǎn)期利率滿足：即（3）連續(xù)復(fù)利：對于聯(lián)系復(fù)利記息，遠(yuǎn)期利率

對于所有

都成立，并且滿足：因此，存在：債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)三、遠(yuǎn)期利率與零息券1.零息券零息券是指當(dāng)前以一固定的價格買入債券，到期后（期限為T）可以贖回1元。在利率不波動且短期利率為的情況下，很顯然存在：假定短期利率是可變但可確定的。

表示t時刻當(dāng)期的利率，稱為短期利率（short

rate）,則：·2．遠(yuǎn)期利率與零息券

由于現(xiàn)實(shí)世界利率是不確定的，因此有必要進(jìn)一步對利率可變的情形進(jìn)行分析。根據(jù)公式（10.1）和遠(yuǎn)期利率公式，可得：■這里，

是目前債券的價格，

是當(dāng)期看來時刻的遠(yuǎn)期利率。債券收益率曲線與期限結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論與實(shí)證第二節(jié)傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論與實(shí)證一、利率期限結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)理論假說一般而言收益率曲線形狀主要有三種：收益率曲線是在以期限長短為橫坐標(biāo)，以收益率為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系上顯示出來。主要有三種類型：第一類是正收益曲線（或稱上升收益曲線），其顯示的期限結(jié)構(gòu)特征是短期國債收益率較低，而長期國債收益率較高。第二類是反收益曲線（或稱下降收益曲線），其顯示的期限結(jié)構(gòu)特征是短期國債收益率較高，而長期國債收益率較低。這兩種收益率曲線轉(zhuǎn)換過程中會出現(xiàn)第三種形態(tài)的收益曲線，稱水平收益曲線，其特征是長短期國債收益率基本相等。利率期限結(jié)構(gòu)的早期理論或傳統(tǒng)理論假說，對不同期限債券利率之間關(guān)系的解釋主要有三種：（1）預(yù)期假說；（2）流動性偏好假說；（3）市場分割假說。傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論與實(shí)證1.預(yù)期假說預(yù)期假說（expections

hypothesis）是指投資者的預(yù)期決定未來利率走向的一種理論，該理論認(rèn)為，遠(yuǎn)期利率等

于市場整體對未來短期利率的預(yù)期。換句話說，流動性溢價

為零。我們可以將長期債券收益率與遠(yuǎn)期利率的預(yù)期相聯(lián)系。2.流動性偏好假說流動性偏好假說（liquidity

preference

hypothesis）認(rèn)為，相對長期債券而言，投資者通常更偏好短期債券。因

為長期債券的流動性比短期債券要差，持有長期債券的投資

者擔(dān)負(fù)著更大的市場風(fēng)險——價格波動和難以變現(xiàn)的風(fēng)險，

因此這類債券持有者必須要求相應(yīng)的更高的收益補(bǔ)償。這種

由于增加市場風(fēng)險而產(chǎn)生的對長期債券收益的報酬稱為流動

性貼水。傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論與實(shí)證3.市場分割假說·

市場分割假說（market

segmentation

hypothesis）認(rèn)為,固定收益證券市場根據(jù)不同的到期日進(jìn)行細(xì)分，短期利率與長期利率相對獨(dú)立進(jìn)行運(yùn)動。這一假說認(rèn)為，長期債券

市場的投資者群體不同于短期債券市場中的投資者群體，。

收益率曲線的形狀就是由這些不同的偏好綜合而成的。這樣，在每一個期限區(qū)間內(nèi)市場參與者的供求偏好就決定了均衡利

率，從而導(dǎo)致兩種金融工具的價格之間并不存在必然的聯(lián)系，因而兩種利

總之，上述三種假說都具有合理性成分，但沒有一種理論可為我們所實(shí)際觀測到的現(xiàn)象提供完全的解釋。相比較而言，預(yù)期假說相對最具

有解釋性，它提供了預(yù)期的具體數(shù)值，因此可以對這一理論進(jìn)行檢驗(yàn)。相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果顯示，預(yù)期假說相對有效，而其偏差可以歸結(jié)為流動性

偏好。因此，預(yù)期假說結(jié)合流動性偏好假說考慮的風(fēng)險因素可為收益

率曲線提供了一種簡單可靠的解釋。率相當(dāng)獨(dú)立的變化。傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論與實(shí)證二、利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)期假設(shè)檢驗(yàn)

CampbellandShiller利用美國利率數(shù)據(jù)對利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)期假說的各種內(nèi)在含義進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)，結(jié)果表明利率時間序列均為一階單整。

Engle和Granger、Hall

et

al、Engsted和Tangaar等利用協(xié)整方法在多變量框架下對不同期限利率之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。結(jié)果表明，利率預(yù)期假說在這種多變量框架下如果成立，則不同到期期限的利率向量序列應(yīng)當(dāng)僅由一個共同的隨機(jī)趨勢來驅(qū)動。傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論與實(shí)證

我們利用1996年5月至2006年10月上交所國債回購利率進(jìn)行利率預(yù)期假說檢驗(yàn)。從上交所回購利率的相關(guān)系數(shù)看，回購利率之間存在很大的相關(guān)性。尤其是長期之間存在較為明顯的正相關(guān)。

在此基礎(chǔ)上，我們對上交所回購利率進(jìn)行了單位根檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明，除R003之外，都存在1個單位根，這表明序列不平穩(wěn)。進(jìn)行一階

差分為平穩(wěn)序列，即I（1）。在確定了不同到期期限的國債回購利率序列均為一階單整之后，即可通過利用多變量框架下Johansen協(xié)整檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果表明，在1%的顯著性水平上存在一個隨機(jī)向量，即表明我國國債回購市場上存在一個隨機(jī)趨勢，這也驗(yàn)證了利率期限結(jié)構(gòu)預(yù)期假說在我國國債回購市場上是成立的。傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論與實(shí)證2、利率期限風(fēng)險溢價的實(shí)證檢驗(yàn)利率期限風(fēng)險風(fēng)險溢價，是利率期限結(jié)構(gòu)假說所隱含的重要條件。國外學(xué)者從不同角度對這一問題進(jìn)行了大量研究。其中比較具有代表性的的研究是Campbell

and

Shiller等則用t時點(diǎn)已知的即期利率期限結(jié)構(gòu)信息來解釋期限風(fēng)險溢價。具體的回歸模型可表示為：■研究結(jié)果表明，各類期限債券的期限風(fēng)險溢價并沒有隨期限增加而單調(diào)增加，這說明長短期利差對期限風(fēng)險溢價的時變性具有解釋能力。收益率曲線的擬合及應(yīng)用第三節(jié)收益率曲線的擬合及應(yīng)用

從利率期限結(jié)構(gòu)推導(dǎo)的角度而言，利率的模型可以分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型(馬特里尼和普里奧蘭德，2002)。靜態(tài)模型就是以當(dāng)天市場的債券價格信息為基礎(chǔ)，構(gòu)造利率曲線函數(shù)，利用所構(gòu)造的利率曲線得到理論價格來逼近債券的市場價格，從而得出符合當(dāng)天價格信息的利率期限結(jié)構(gòu)。靜態(tài)模型最為常見的方法包括樣條法(SplinesMethod)和Nelson—Siegel模型等(朱世武、陳健恒，2003)。動態(tài)模型是從假設(shè)利率服從某種形式的隨機(jī)微分方程出發(fā)，通過隨機(jī)微分方程推導(dǎo)出一個理論上的利率期限結(jié)構(gòu)。收益率曲線的擬合及應(yīng)用一、收益率曲線的擬合方法1.樣條法（1）多項(xiàng)式樣條法

多項(xiàng)式樣條法是由麥克庫隆茨（Mc

Culloch）于1971年提出的,它的主要思想是將貼現(xiàn)函數(shù)用分段的多項(xiàng)式函數(shù)來表示。在實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式樣條函數(shù)的階數(shù)一般取為三，從而保證貼現(xiàn)函數(shù)及其一階和二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。于是我們用下式表示期限為t的貼現(xiàn)函數(shù)：收益率曲線的擬合及應(yīng)用（2）指數(shù)樣條法

指數(shù)樣條法則是考慮到貼現(xiàn)函數(shù)基本上是一個隨期限增加而指數(shù)下降的函數(shù)，它是瓦西塞克（Vasicek）和弗隆戈（Fong）在1982年提出

的，該方法將貼現(xiàn)函數(shù)用分段的指數(shù)函數(shù)來表示。同樣為了保證曲線的連續(xù)性和平滑性，通常采用三階的指數(shù)樣條函數(shù)，其形式如下：收益率曲線的擬合及應(yīng)用2.尼爾森-辛格爾（Nelson-Siegel）模型

尼爾森和辛格爾在1987年提出了一個用參數(shù)表示的瞬時(即期限為零的)遠(yuǎn)期利率函數(shù)。由此我們可以求得即期利率的函數(shù)形式：收益率曲線的擬合及應(yīng)用

這個模型中只有四個參數(shù),

即 ,

根據(jù)式中的即期利率,

我們可以得到相應(yīng)的貼現(xiàn)函數(shù),

從而計(jì)算債券的模型價值用以擬合市場數(shù)據(jù)。雖然參數(shù)的個數(shù)不多,

但這樣的函數(shù)形式已經(jīng)有足夠的靈活度來擬合收益率曲線的標(biāo)準(zhǔn)形狀，遞增的、遞減的、水平和倒置的形狀，如圖所

示。收益率曲線的擬合及應(yīng)用3.斯文森（Svensson）模型

斯文森將Nelson-Siegel模型作了推廣,引進(jìn)了另外兩個參數(shù)得到如下的即期利率函數(shù)：,而

這個模型也被稱為擴(kuò)展的Nelson-Siegel模型，這一模型在計(jì)算短期債券價格時的靈活性大大增強(qiáng)。收益率曲線的擬合及應(yīng)用二、利率期限結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)擬合（一）Matlab工具的利率期限結(jié)構(gòu)擬合

得出零息票收益率曲線，通常的方法是所謂的息票剝離法。息票剝離法將息票從債券中進(jìn)行剝離并在此基礎(chǔ)上估計(jì)無息票債券利率水平，具體計(jì)算方法如下：

設(shè)

為某債券的到期期限，表示現(xiàn)金流；F表示債券的面值；P表示債券全價；

即期利率，根據(jù)債券定價公式從而得到：收益率曲線的擬合及應(yīng)用

結(jié)合交易所國債價格數(shù)據(jù)和Nelson-Siegel模型，運(yùn)用非線性最優(yōu)化算法，采用Matlab軟件估計(jì)得到的參數(shù)分別為：

=3.9085,

=-3.2874，=2.5628；三個參數(shù)的變化分別看作是即期利率曲線截距、斜率和曲度的變化。利率期限結(jié)構(gòu)收益率曲線的擬合及應(yīng)用（二）基于SAS的利率期限結(jié)構(gòu)擬合1、模型擬合方法多項(xiàng)式樣條、Nelson-Siegel及Svensson擴(kuò)展模型是最為常用且較成熟的模型。模型擬合的過程實(shí)際上就是估計(jì)模型參數(shù)的過程，期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)可以通過建立樣本債券的實(shí)際價格與理論價格之間誤差值的目標(biāo)函數(shù)并使其最小來實(shí)現(xiàn)。2、樣本的選擇債券樣本的選擇對于形成合理的期限結(jié)構(gòu)有著至關(guān)重要的影響，樣本的不穩(wěn)定性將會導(dǎo)致期限結(jié)構(gòu)的擬合出現(xiàn)重大偏差。樣本的穩(wěn)定性具體將涉及樣本自身價格的穩(wěn)定性、數(shù)量的穩(wěn)定性以及債券期限分布的穩(wěn)定性。收益率曲線的擬合及應(yīng)用3、多項(xiàng)式樣條法擬合

利用ＳＡＳ軟件，根據(jù)前述多項(xiàng)式樣條的表達(dá)式以及目標(biāo)函數(shù)，基于

2006年6月30日經(jīng)過篩選后的18只債券，采用息票剝離法(bootstrapmethod)來擬合上證固定利率國債的即期收益率曲線。多項(xiàng)式樣條法擬合效果收益率曲線的擬合及應(yīng)用4、Nelson-Siegle-Sevensson方法擬合收益率曲線的擬合及應(yīng)用5、擬合結(jié)果的比較收益率曲線的擬合及應(yīng)用三、主成分分析在收益率曲線非平行移動分析中的應(yīng)用

近年來的研究表明，收益率曲線一般都存在非平行移動，這樣就會削弱久期和凸度在風(fēng)險管理中的作用和效果。20世紀(jì)90年代，主成分分析逐漸引入到債券投資組合的風(fēng)險管理領(lǐng)域。由于這種分析方法較好的度量了債券收益率非平行移動因素，從而日益成為債券分析和管理的重要方法。該方法之所以十分流行，原因在于它能使我們縮減風(fēng)險因素的數(shù)量，而又不至于損失信息。利率動態(tài)模型及其估計(jì)第四節(jié)利率動態(tài)模型及其估計(jì)一、常用的利率動態(tài)模型（一）均衡模型

單因子假定（瞬間）短期利率的風(fēng)險中性過程是隨機(jī)的，并且只有一個不確定性來源(單因子)。隨機(jī)過程包括漂移和波動率兩個參數(shù)，它們只與短期利率r有關(guān)，與時間無關(guān)。

Merton在1973年首先提出了一個最簡單的單因子模型：

。這里，

和

都為常數(shù)。長期而言，利率的波動具有均值回歸（meanreversion）的特征。利率動態(tài)模型及其估計(jì)1、Vasicek模型在Vasicek模型中，短期利率r的變動為以下形式的隨機(jī)過程：

假定目前的瞬間利率

，則未來某一時點(diǎn)s其瞬間利率的條件期望值和方差為：給定風(fēng)險價格

，在時點(diǎn)t時，到期日為T的零息票價格為：而利率期限結(jié)構(gòu)為：利率動態(tài)模型及其估計(jì)2、CIR模型

Cox,Ingersoll和Ross（1985）提出的CIR模型的初衷是為了克服

Vasicek模型的利率可以為負(fù)的缺陷。該模型的一個最大的優(yōu)點(diǎn)在于，它同時可以模擬較長期利率的時間行為。但也有一個不當(dāng)之處，就是當(dāng)因素從單個擴(kuò)展到多個時，再假定每個因素都是非負(fù)的顯然有點(diǎn)不合理。若假定所有因素的和是非負(fù)的，則是較為合理的。利率動態(tài)模型及其估計(jì)（二）無套利模型1、Ho-Lee模型

Ho和Le于1986年首先提出了無套利利率模型。該模型將期初的利率期限結(jié)構(gòu)作為輸入變量，以二項(xiàng)分布結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)變化。在連續(xù)時間下，瞬間利率的SDE為：2、BDT模型

Black,Derman

&

Toy(1990)提出的BDT模型，假定瞬時利率為對數(shù)的正態(tài)分布，模型中除了包含期初利率期限結(jié)構(gòu)的信息，還將波動率利率期限結(jié)構(gòu)視為輸入變量。連續(xù)的BDT模型的SDE為：利率動態(tài)模型及其估計(jì)3、HJM模型Heath,Jarrow&Monton(1990,1992)提出的N因子連續(xù)時間模型，是以外生方式指定遠(yuǎn)期利率的波動，而利率期限結(jié)構(gòu)為遠(yuǎn)期利率的函數(shù)。HJM模型的遠(yuǎn)期利率隨機(jī)過程為：利率動態(tài)模型及其估計(jì)二、基于中國債券市場的利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)估計(jì)

朱世武、陳健恒（2005）利用Vasicek模型和CIR模型對中國債券市場利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行估計(jì)。在數(shù)據(jù)選擇上，短期利率數(shù)據(jù)采用銀行間市場的7天回購利率,時間從2001年1月5日到2003年8月13日；同時，選擇2003年的8月13日的零息票債券價格數(shù)據(jù)，零息票債券共有5只，全部是國家