埃博拉病毒傳播分析數(shù)學(xué)建模

-可修編--可修編-""大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

承諾書我『1仔細(xì)閱讀W大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的參賽規(guī)則與競(jìng)賽紀(jì)律。我m完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽臥員不能以任何方式（包祐、電子、網(wǎng)上咨詢等）與臥外的任何人研究、討論與賽題有關(guān)的間題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽紀(jì)律的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包祐網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表逮方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列岀。我們重承誥，嚴(yán)松遵守參賽規(guī)則和競(jìng)賽紀(jì)律，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽紀(jì)律的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授?****大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì),可將們的論文以任何形式aii&ff展示（色播進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。參賽的題目（UA/B中選擇一頂填寫） B參賽臥員XX學(xué)號(hào)院系日期：2015年05月04日?可修編?埃博拉病毒傳播分林

i要本文的研究對(duì)象為1976年在丹南部和啊果的挨博應(yīng)河地區(qū)發(fā)觀的挨博拉病So病毒是一種生物安全等級(jí)為4級(jí)，并目能引起人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生挨博拉岀血熱的烈性傳染病病毒，其主要是通過病人的血液、唾液、汗水和分泌物等謹(jǐn)徑傳播。其病毒的潛伏期通常只有5天至10天，感染后2~5天出現(xiàn)高熱,6~9天死亡。面湘其強(qiáng)大的傳染力和對(duì)人類健康的巨大威恥，本文通11數(shù)學(xué)建模的方法了解埃博拉病毒的傳播規(guī)律，并分折隔離措施的嚴(yán)恪執(zhí)行和藥物治療效果的提高等措施對(duì)控制疫悄的作用。本文中,首先我m根據(jù)已給的信息艮相關(guān)假設(shè)數(shù)據(jù),通過對(duì)已知條件和所給表格書記的分折，我們夫致明白了程猩從潛伏到發(fā)病再到死亡或自愈的過程，因此我們果用了excel?1合曲線，分析其發(fā)病、潛伏、自愈、死亡和隔離的相應(yīng)的變化曲線，估計(jì)參數(shù)，再根據(jù)其建立數(shù)學(xué)模里，并用MATLAB求解方程組，調(diào)試參數(shù)，從而得到我們需要的結(jié)果。其次通過對(duì)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)和曲線圖的分析，可以得出人類通過嚴(yán)格的藥物控制過后，對(duì)其發(fā)病和潛伏的挪喑,從而能夠這到對(duì)疫悄的控制的作用,并且對(duì)挨博拉病毒未來發(fā)展范矜有了更深刻的了解，以為更好的腔制挨博拉病毒做岀貢獻(xiàn)。關(guān)建詞：非線性曲線抓合；攢分方程；MATLAB；數(shù)學(xué)模型?可修編?-可修編--可修編--可修編--可修編-1間題的重述1.1背景挨博也病毒（Q譯作伊波拉病毒）于1976年在丹南部和慚果的挨博拉河地區(qū)被發(fā)現(xiàn)后，引起了醫(yī)學(xué)界的廣泛關(guān)注和重視。該病毒是能引足人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生挨博拉岀血熱的烈II傳染病病毒，其生物安全等級(jí)為4級(jí)。挨博拉病毒有傳染性，主要是通過病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途徑傳播。各種非人類靈長(zhǎng)類動(dòng)物普遍易感，經(jīng)腸道、非胃腸道或鼻途徑均可造成感染，病毒的潛伏期通常只有5天至10天，感染后2~5天岀現(xiàn)高熱，6~9天死to發(fā)病后1~4天直至死亡，血液都含有病毒。埃博也病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之間），致死原因主要為中風(fēng)、心皿梗塞、低血容量休克或多發(fā)II器官衰竭。當(dāng)前主流的認(rèn)知是，埃博拉病毒主要通il接觸傳播，而非通過空氣傳播；只有病人在岀現(xiàn)埃博拉癥狀以后才具有傳染性。在疾病的早期階段，埃博也病毒可能不具有高度的傳染性，在此期同接觸病人甚至可能不會(huì)受感染，I#著疾病的進(jìn)展，病人的因腹瀉、明吐和岀t.hHt岀的體液將具有高度的生物危險(xiǎn)性；存在似平天生就對(duì)挨博應(yīng)免挾的人，痊愈之后的人也會(huì)對(duì)人侵他們的那種埃博應(yīng)病毒有了免疫能力。挨博應(yīng)病毒很難根除，迄今為止已有多次疫悄爆發(fā)的記錄。據(jù)百度百科，最近的一次在2014年。截至2014年9月250,此次在西非爆發(fā)的埃博已經(jīng)導(dǎo)致13000人死亡，另有6500被確診感染。更為可怕的是，挨博拉病毒可能經(jīng)過變異后可以通11呼吸傳播！Hfi假設(shè)某地區(qū)有20Jj居民和3000只猩梶。人能以一定的|?率接觸到所有的程當(dāng)接觸到有傳播能力的程程后有一定鶴率感染病毒，而人發(fā)病之后與腥握的接觸可以忽略。研究人員貌廿了前40周人類和程程的發(fā)病數(shù)量和死亡數(shù)量等信息，請(qǐng)你根揚(yáng)相關(guān)信息，研究回答以下問題：1、根據(jù)猩猩的發(fā)病數(shù)量fllJEtS量，建立一個(gè)病毒傳播模塑，動(dòng)態(tài)描if病毒在“虛Iflg?種辟”中的傳播，并預(yù)測(cè)接下來的在腥腥中的疫悄變化，并以下述怡式給岀“虛?188種I?”在第80周、第120周、第200周的相關(guān)數(shù)幽;“虛抵密腥種前”SI體預(yù)量預(yù)測(cè)給果（單位:只）潛伏辭體處于發(fā)病狀杏累廿自敵累廿因病死亡第80用第12019200132、理立“虛01種辟”相互感染的疾病傳播模型，傑合描述人和SBSW的發(fā)展，并預(yù)測(cè)接下來疲悄在這兩個(gè)8?體中的發(fā)展悄況，并以下述格式給出“虛?1人類種IT在第80周、第120周、第200周的相關(guān)數(shù)據(jù)；“Hitt人類種ST計(jì)體斂量後測(cè)結(jié)果（單位：個(gè)）潛伏人群血于發(fā)病狀?yuàn)Ω綦x治療累廿治食累廿因病死亡980N第120周9200M3、 假設(shè)在第41周，外界的專家開始介人，并立即嚴(yán)恪腔制了人類與程程的接觸,且通過某種特效藥物將隔離治療人SI的治愈率提高到了80%。請(qǐng)預(yù)測(cè)接下來疫悄在“虛81人類種群”的發(fā)展悄況，對(duì)比第2間的預(yù)測(cè)結(jié)果說明其作用和影用I,給岀“虛《1人類種胖”在第45周、第50周、第55周的相關(guān)數(shù)揚(yáng)，數(shù)據(jù)格式同冋題2；4、 請(qǐng)依據(jù)前述數(shù)學(xué)模塑，分析各種疫悄腔制措施的嚴(yán)招執(zhí)行和藥物（色括肪疫藥物、檢疫藥物和治療藥物等）效果的提高等措隨對(duì)控的作用。2間題分林2.1間題一的分林通11対已知條件的分折，并通過給岀的表怡數(shù)據(jù)，大致明白猩猩從潛伏到發(fā)病再到死亡或自愈。我們通ilexcel作出發(fā)病IS時(shí)同的變ft曲線,潛伏隨時(shí)同變化曲線，估廿參數(shù)。然后通11建立數(shù)學(xué)模型用MATLAB辭出方程組，10試參數(shù)使其死亡，自愈等曲線與給出表格大致相同，然后通U建立的模型求岀間題一。03?二的分林同間題一分折，我們通ilexcel作出相應(yīng)處于發(fā)病狀態(tài)的曲線，自愈以員死亡和隔離的曲線，估it模里相應(yīng)的參數(shù)。然后通過建立的數(shù)學(xué)模里用MATLABM岀方程組，調(diào)試參數(shù)使其自愈，處干發(fā)病等曲線和表恪給岀的數(shù)據(jù)大致一致。BBE的分林同間題二分折，我們通ilexcel作岀治愈率提高80%后相應(yīng)處干發(fā)病狀態(tài)的曲線，自愈以及死亡和隔離的曲線，估廿模塑相應(yīng)的參數(shù)。然后通il建立的數(shù)學(xué)模型用MATLAB解出方程組,調(diào)試參數(shù)使其自愈,處于發(fā)病等曲線和表18給出的數(shù)據(jù)大致一致。2.4冋題四的分林通過上術(shù)數(shù)據(jù)和曲線圖的分折，可以很清楚的看岀當(dāng)有人類干預(yù)后即就是嚴(yán)恪的通il藥物后，發(fā)病和潛伏等都有很明顯的改善。3假按與符號(hào)3.1模型的假設(shè)：■由于埃博拉病毒的傳播期眼不是很長(zhǎng)，故假設(shè)不考慮這段時(shí)間的人口岀生率和自然死亡率;■平均潛伏期限為6天；■處于潛伏期的埃博拉病人不具有傳染性。3.2符號(hào)說明：to表示從最初發(fā)規(guī)埃博拉患者到衛(wèi)生?n??預(yù)肪措施的時(shí)間間隔;N 表示疫區(qū)總?cè)丝跀?shù)；S(t) 表示t時(shí)刻健康人數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比例；Kt) 表示t時(shí)刻感染人數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比例；E(t) 表示t時(shí)刻潛伏期的人口數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比例；Q(t) 表示t時(shí)刻退出類的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；入⑴ 表示日接觸率，即表示毎f病人平溝每天有效接融的人數(shù)；N1 表示疫區(qū)總娓程口數(shù)；S(t)5 表示t時(shí)刻健康握據(jù)數(shù)占總ggU的比例；1(05 表示t時(shí)刻感染fi?U占總SSH的比例；E(t)5 表示t時(shí)刻潛伏期的figS占總握握數(shù)的比例；Q(t)' 表示t時(shí)刻退岀類的據(jù)程數(shù)占總程程的比例；入⑴'表示日接觸率，即表示毎個(gè)病腥握平均毎天有效接觸的程程數(shù)；入⑴''表示日接觸率，即表示每個(gè)病程據(jù)平均毎天有效接觸的人數(shù)；g(t) 表示政附控制力度；f(t) 表示SffitSfeo-可修編--可修編--可修編--可修編-?可修編?可修編?4模塑的建立與求解4.1BB-模型的構(gòu)建由間題的分折，將猩猩群分為易感??l?s，病毒潛伏程程8?E,發(fā)病figsI,退出者QEl類:?易感人6IS與病毒潛伏人8IE之間的轉(zhuǎn)化易感者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者，設(shè)毎個(gè)病人平均毎天有效接觸的健康人數(shù)為入(t)S,NI個(gè)病人平均毎天能使入(t)SNI個(gè)易感者成為病毒潛伏者。M—=-幾廠川一?=一2$廠dt dt?病毒潛伏人8IE與發(fā)病人辭I間的轉(zhuǎn)化潛伏人8?的變化等于易感人8H專人的數(shù)量減去轉(zhuǎn)為發(fā)病人祥的數(shù)量，即dF——=Sa(f)WE。dt?發(fā)病人辭I與退出者Q間的轉(zhuǎn)化單位時(shí)間退出者的變化等于發(fā)病人8?的減少，即塑“dtdF——=SU(/)WEdtS4E+廠+0=1S(0)?吋衛(wèi)(oy=EJj(om，Q(oy=?很明顯從我們建立的模型是無法得到臼,s},17的解析解的。為了解決這個(gè)間題，我們求助于計(jì)算機(jī)軟件MATLAB來求岀它們的數(shù)值解。我們先通過附件中給的數(shù)據(jù)算出毎一天的E，,S，,1，,Q，,做岀它們與時(shí)間的函數(shù)圖象，然后畫岀找們通il模塑解岀的數(shù)值解隨時(shí)間變化的圖象。對(duì)比這兩組圖，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際和理論存在著一定的差異。這必然是因?yàn)槲覀兊膮ISit不合理造成的。所以,我們必須通11不斷調(diào)整那些非it算得到的參數(shù)(入，，a，）來使實(shí)際圖象和理論圖象范于一致。經(jīng)過多次調(diào)試，我U發(fā)現(xiàn)，當(dāng)入'=0.680人，訂=0.9,a?=0.58時(shí)，實(shí)際圖象和理論圖象有最好的符合。而逆三f值均在找們估址的圍，所以我們從為這三個(gè)值的得到是合理的。一旦參數(shù)確定，就可以通ilMATLAB?件求出該方程組在某個(gè)區(qū)間段的數(shù)值解，從而可推算岀我們所需的數(shù)值如下表所示。JOSEQ第80用0.71340.00100.2338第120周0.70080.00010.2990$200190.699800.3202在根據(jù)遐輯關(guān)系式廿算可得下表的預(yù)測(cè)值表1“虛111程猩種群”群休數(shù)量預(yù)測(cè)給果單也只周數(shù)潛伏人稱處于發(fā)扁狀杏累廿洽食累廿因爲(wèi)死亡第80周302835969120N00299598第200周00300600結(jié)果分林根據(jù)上表可知，在第80周以后，處于潛伏狀態(tài)的猩猩接近于0,處干發(fā)病狀態(tài)的猩程也范近與0,且裡猩的治愈數(shù)和因病死亡數(shù)變化不夫，由該模型預(yù)測(cè)岀的結(jié)果與附件中的數(shù)據(jù)的得岀的發(fā)病率和累廿死亡率范齋相同。健康人數(shù)占總數(shù)比例（比對(duì)） 系列1——系列2周數(shù)圖1?1I!康人數(shù)占總數(shù)比例圖（參考數(shù)稠）圖1?2促康人數(shù)占總數(shù)的比僧圖（模抓數(shù)據(jù)）漕伏人數(shù)占總數(shù)比傍（比對(duì)）系列1系列2系列1系列2圖2?1潛伏人數(shù)占總數(shù)的比例圖（參考數(shù)齬）?可修編?可修編??可修編?可修編?圖2.2沿伏人數(shù)占總數(shù)的比例圖（模擁數(shù)H）退出人數(shù)占總數(shù)比悌（比對(duì)）20.00%15.00%g10.00%5.00%0.00%——系列1—系列2圖3.1退岀人數(shù)占總數(shù)的比例圖（參考數(shù)尿）圖3.2退岀人數(shù)占總數(shù)的比僧圖（模ffl&lg）MATLAB主要程序functiondx=rossler(t,x,flag,a,b,c)dx=[-a*x(1)+a*x(1)*x(3)+a*x(1)*x(2)+a*x(1)*x(1);a*x(1)-a*x(1)*x(3)-a*x(1)*x(2)-a*x(1)*x(1)-b*x(2);c-c*x(3)-c*x(2)-c*x(1)];a=0.680;b=0.90;c=0.580;x0=[0.9950.0050]';[t,y]=ode45('rossler',[080],x0,[],a,b,c);flot(t,y);4.2BBZ模型的構(gòu)建由間題的分折，將人髀分為易感人ISS,病毒潛伏人辭E,發(fā)病人辟I,退岀者QEl類：?易感人辭S與病毒潛伏人6IE之間的轉(zhuǎn)化易感者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者，設(shè)毎f病人平均毎天有效接觸的健康人數(shù)為入(t)S,NI個(gè)病人平均每天能使入(t)SNI個(gè)易感者成為病毒潛伏者。故N^=-A,S,NI,-ASNI，即—'=-A,'S'I'-ASIdt dt?病毒潛伏人SIE與發(fā)病人辭1間的轉(zhuǎn)化潛伏人稱的變化等于易感人I5H專人的數(shù)量減去轉(zhuǎn)為發(fā)病人8?的數(shù)量，即dE—=SA(z)/—sEodt?發(fā)病人辭丨與退出者Q間的轉(zhuǎn)化單位時(shí)間退出者的變化等干發(fā)病人稱的減少，即dt?7c/—=—/TS八⑹dtdF——=S入⑴IyEdtdtS+E+I+Q=\IS(O)=%,E(O)=EoJ(O)=bQ(0)=Qo很明顯從我們建立的模型是無法得到ESI,Q的解橋解的。為了解決這個(gè)問題,我們求助于計(jì)算機(jī)狀件MATLAB來求出它們的數(shù)值解。我們先通過附件中給的數(shù)據(jù)算出每一天的ESIQ做岀它『］與時(shí)間的函數(shù)圖象，風(fēng)后畫岀我『1通il模塑解岀的數(shù)值解砸時(shí)間變化的圖象。對(duì)比送兩組圖，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際和理論存在著一定的差異。逆必然是因?yàn)槲覀兊膮?shù)估計(jì)不合理造成的。所以,我們必須通過不斷調(diào)整那些非計(jì)算得列的參數(shù)（入,e,a）來使實(shí)際圖象和理論圖象趨于一致。歸離治療人數(shù)占總?cè)?Wit?圖4.1隔離治療人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例圖（模抓數(shù)據(jù)）晦冉臨療白勺人占\總?cè)??［白勺匕匕阿4.2隔離治療人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例圖（參考數(shù)據(jù)）死亡人數(shù)占總?cè)薂5.1死亡人數(shù)占總數(shù)的餓比例圖（模抵?jǐn)?shù)據(jù)）死亡人埶占總■人數(shù)比例 奏歹ik 盪性?:系歹U"圖5.2死亡人數(shù)占忠數(shù)的比何圖（參考數(shù)摒）自愈人數(shù)占總?cè)朔蟮谋瘸鰣D6.2自您人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例（參考數(shù)H）發(fā)病人數(shù)占總數(shù)的比巒圖麥病占祭人毅的上匕圖7.1發(fā)病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例（參考數(shù)H）表2“虜扱人類種SP布體數(shù)量損測(cè)結(jié)果單位：個(gè)潛伏人辭鬼于發(fā)病狀態(tài)麗治療累廿冶食累廿因病死亡$8006547610002370第120周7250814504980第200周5946521007650結(jié)果分林:由上表可知，在第80周以后，處干潛伏狀態(tài)的人群變化幅度不大，處干發(fā)病狀態(tài)的人祥也變化帕度不大，且人辭的治愈數(shù)和因病死亡數(shù)特續(xù)增長(zhǎng)，由該模里碩淵出的結(jié)果與附件中的數(shù)鋸的得出的發(fā)病率和累廿死亡率趨勢(shì)相同。4.3BSEM分林外界的專家開始介人，并立即嚴(yán)恪控制了人類與程徨的接鮭，冃通過某種特效藥物將隔離治療人81的治愈率提高到了80%。專家的預(yù)骯措蘭力度g(t)在控制疫悄的il程中起到了重要的作用，與下列因素有關(guān)：?專家關(guān)注的疫悄來自于最近幾天的疫悄，不妨取近三天的平均值而；?當(dāng)tn時(shí)，g(t)有一個(gè)初始值，即為潛在的政府力BKo：綜上所述，可以給出g(t)蹶疫悄變化的曲線，形態(tài)如圖所示，(橫坐標(biāo)為疫悄，縱坐標(biāo)為g(t)),其表這式為g(/)=k()+?(l—e5)其中ko+k,=1,o根據(jù)有關(guān)數(shù)鋸,令ko=O.2,k1=0.8,當(dāng)而=0.58時(shí)，取g(W=0.7,得參數(shù)估廿64).1803.政府控制力度g(t)與日傳染率入⑴的關(guān)系：當(dāng)政附控制力度為0的時(shí)候入⑴取最大值;18著g(t)的增大,入(t)減??；當(dāng)。⑴不58時(shí),對(duì)入⑴的變化所起的作用較??；當(dāng)Q(t)曲過一定的數(shù)值時(shí)對(duì)入⑴的影喑效果明顯;當(dāng)g(t)Oii于1的時(shí)候(不可能為1),則入⑴趙近0。由以上幾點(diǎn)可以確定入(t)ISg(t)的變化關(guān)系曲線，采用函數(shù)兄(0=他(1一/6 )刻畫此形態(tài)，其巾6為常數(shù)。

表3“虛姒人類種群”酢體數(shù)量預(yù)劇給果單位:個(gè)酒伏人辭處于發(fā)菊狀杏累累廿因嫩死亡$45fl6334127151786第50周5827118241825第55周4613149581876結(jié)果分析由上表可知，在專家介人后，埃博拉病毒的預(yù)肪控師力18加大，累廿治愈的人數(shù)在增名，因病死亡人數(shù)雖然在增ira,但是其增加帕度不大，說明挨博也病毒已經(jīng)得到了良好的控制,與預(yù)期估測(cè)結(jié)果相咧合。4.4網(wǎng)議m的分析在發(fā)病初期，由于人們對(duì)挨博應(yīng)病毒的認(rèn)識(shí)不夠，重視不足，肪措施較差，沒有有效的肪疫藥物、檢疫藥物和治療藥物治療，也沒有相應(yīng)的政府控制箱施,I?著時(shí)間t的增長(zhǎng)，病悄不Bi惡化，感染病悄所占比例I呈現(xiàn)不Bi增加的趨勢(shì),健康人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例S不斷下降，退出率Q也呈現(xiàn)持續(xù)增長(zhǎng)的范矜，造成-可修編--可修編--可修編--可修編-了巨大的經(jīng)濟(jì)損失和人員ffito在發(fā)病中后期，險(xiǎn)著相關(guān)政府的介人和對(duì)該病毒的相關(guān)知識(shí)的普及，提高了人們對(duì)挨博應(yīng)病毒的預(yù)肪恿識(shí)，同時(shí)，在科研人員的不Bi努力下，肪疫藥物、檢疫藥物和治療藥物的種類增名、療效増強(qiáng)，I?著時(shí)間的増長(zhǎng)，感染患者的比例I呈下降范勢(shì)，健康人數(shù)所占比例s的下降趨聲由急變緩，治愈率不斷提高，死亡人