第講不等式全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分類匯編

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2009-2017全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分類匯編第01講：不等式1、（2009一試3)在坐標平面上有兩個區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域,它由不等式所確定，的取值范圍是,則和的公共面積是函數(shù)．【答案】【解析】由題意知2、（2009一試4）使不等式對一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為．【答案】20093、（2011一試3）設(shè)為正實數(shù)，，，則．【答案】-1【解析】由，得．又,即=1\*GB3①于是=2\*GB3②再由不等式=1\*GB3①中等號成立的條件，得．與=2\＊GB3②聯(lián)立解得或故．4、（2012一試3)設(shè)，則的最大值是?！敬鸢浮俊窘馕觥坎环猎O(shè)則因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時上式等號同時成立.故5、(2014一試2)設(shè)集合中的最大值與最小值分別為，則=_________?！敬鸢浮?、（2015一試6）在平面直角坐標系中點所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積為.【答案】24【解析】設(shè)，先考慮在第一象限中的部分，此時有x+3y≤6，故這些點對應(yīng)于圖中的△OCD及其內(nèi)部.由對稱性知，對應(yīng)的區(qū)域是圖中以原點O為中心的菱形ABCD及其內(nèi)部.同理,設(shè),則對應(yīng)的區(qū)域是圖中以O(shè)為中心的菱形EFGH及其內(nèi)部.由點集K的定義知，K所對應(yīng)的平面區(qū)域是被中恰好一個所覆蓋的部分，因此本題要求的即為圖中陰影區(qū)域的面積S。由于直線CD的方程為x+3y=6，直線GH的方程為3x+y=6,故它們的交點P的坐標為，由對稱性知，7、（2016一試1)設(shè)實數(shù)滿足，則的取值范圍是。【答案】【解析】由可得，原不等式可變形為即，所以.又，故。8、（2009一試11）求函數(shù)的最大和最小值．又由柯西不等式得所以．由柯西不等式等號成立的條件,得，解得．故當(dāng)時等號成立．因此的最大值為．9、（2009二試2)求證不等式:，，2，…【解析】證明：首先證明一個不等式：⑴，．事實上，令，．則對，,．于是，．在⑴中取得⑵．令，則，因此．又因為．從而．10、（2012二試3）設(shè)是平面上個點，它們兩兩間的距離的最小值為求證：以為圓心，為半徑畫個圓，它們兩兩相離或外切；以圓心,為半徑畫圓，這個圓覆蓋上述個圓所以由易知所以對時也成立。綜上，對任意正整數(shù)都有。因而證法二:不妨設(shè)故所以11、（2013一試12)(本題滿分20分)求所有的正實數(shù)對,使得函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，有.【解析】已知條件可轉(zhuǎn)化為：對任意實數(shù),有。 eq\o\ac(○,1）先尋找所滿足的必要條件。在eq\o\ac(○，1）式中令，得，即對任意實數(shù),有。由于，故可取到任意大的正值,因此必有，即.在eq\o\ac(○，1)式中再令,得，即對任意實數(shù)，有. eq\o\ac(○，2）將eq\o\ac(○,2）的左邊記為，顯然(否則，由可知,此時，其中,故可取到負值,矛盾)，于是對一切實數(shù)成立，從而必有，即。 進一步,考慮到此時，再根據(jù)，可得.至此,求得滿足的必要條件如下：，,。 eq\o\ac（○，3)下面證明,對滿足eq\o\ac（○,3）的任意實數(shù)對以及任意實數(shù)，總有eq\o\ac(○，1）成立，即對任意取非負值。綜上所述，所求的正實數(shù)對全體為.12、(2014二試1)（本題滿分40分）設(shè),滿足，，求證：【證明】13、（2015一試9）（本題滿分16分）若實數(shù)滿足，求的最小值。14、(2015二試1）（本題滿分40分)設(shè)是實數(shù)，證明：可以連取使得【證明】我們證明：15、（2016二試1）（本題滿分40分)設(shè)實數(shù)滿足。求的最大值.以下考慮的情況，約定,由平均不等式得，所以。當(dāng)時,上述不等式等號成立，且有，此時.綜上所述，所求最大值為.16、（2017一試9）