線性代數(shù)1.4-1.6練習

1.4在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為對換；一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性；三階行列式寫出列下標的全排列的逆序數(shù)，確定每個排列是奇排列還是偶排列：列下標排列逆序數(shù)奇、偶排列123132231213312321012123偶奇偶奇偶奇觀察順序可先按輪換寫出：123；231；312；再利用對換寫出：132；213；321：1四階行列式寫出列下標的全排列的逆序數(shù)，確定每個排列是奇排列還是偶排列：列下標排列逆序數(shù)奇、偶排列1234124313421324142314320偶1（3，4對換）2（2，3對換）1（2，4對換）2（3，4對換）3（2，3對換）奇偶奇偶奇2341231424312413213421433奇2（1，4對換）偶3奇4（1，3對換）1偶奇2（3，4對換）偶3412342131243142324132144偶5（1，2對換）2（1，4對換）3（2，4對換）4（1，2對換）3（1，4對換）奇偶奇偶奇4123413242314213431243213奇4（2，3對換）5（1，2對換）4（1，3對換）5偶奇偶奇6（1，2對換）偶觀察順序可先按輪換先寫出：1234；2341；3412；4123；思考：寫出五階行列式的奇、偶排列2列下標的的全排列數(shù)為120，其中奇、偶排列各60項觀察順序可先輪換，先寫出：：12345；23451；34512；45123；51234，以上5個排列且因相鄰兩項都是1個數(shù)字對換四次，故都為偶排列再將1在首位的再將2在首位的擴展為24項；對1，3，4，5作全排列再將3在首位的擴展為24項；對1，2，4，5作全排列再將4在首位的擴展為24項；對1，2，3，5作全排列再將5在首位的擴展為24項；對1，2，3，4作全排列擴展為24項；對2，3，4，5作全排列；；；；；3

證明上三角行列式的值時，按第一列、第二列依次分析，即仍然先確定a；11上、下三角行列式的值都為主對角線元素的乘積。補充：求倒（或次）上、下三角行列式的值；倒上三角行列式從第n列開始分析；倒下三角行列式從第1行開始分析；aaa0000a11121n1na21aa2200aa2n2,n102,n1n(n1)0(1)aaaan1,2n10aaann21n2,n1an1,1a000000n1,2n1,2an10an1n2教材29頁，性質(zhì)4：axby(ax)d(by)ccdadxdbcyc(adbc)(xdyc)abxycdcd；312計算：D290106196532312312D29010619630010100620045323153223123001002001064000；532532行列式的行初等變換包括：對調(diào)變換、倍乘變換、倍加變換，其中對調(diào)兩行、某行倍乘改變行列式的值，倍加變換行列式的值不變。4求行和相等、列和相等的行列式的值：對行和相等的行列式，把其它各列先加到第一列，再化為上三角行列式；對列和相等的行列式，把其它各行先加到第一行，再化為上三角行列式。11101101練習1）：求1011的值0111方法一：按行和相等計算111031101101310110113011011131111110110111103300010111101111110001111030001011130001方法二：按列和相等計算111033331101110110111011011101111111110111113300010100101101110111111111113000101003000101003011100015練習2）：xxx312Dxxx的值x,x,x是x3bxq0的三個根，求設(shè)123312xxx123x,x,x是x3bxq0的三個根，根據(jù)因式定理，解：因為312x3bxq(xx)(xx)(xx)，把右端展開后，123得到的系數(shù)為x2xxx，123比較方程兩端的系數(shù)，得x2xxx0，123xxx312而Dxxx是列和相等的行列式，312xxx123把第2行、第3行加到第1行，并提出xxx123xxx0，D0123練習3）：111x111x111x111x1111計算解：是行和相等的行列式，行和為x，把第2、3、4列加到第1列，并提出x，111x1111x111x1111x11x1111x1x111x11111111111x1111x1x000x0xxxx000x0xxxx4000x000x6DACOB教材31頁，例1.28B為n階方陣，對D的下面n行施行第O矩陣元素不變，仍然全為n階方陣B施行第3種初等行變換；A為k階方陣；3種初等行變換，0，只需對方陣經(jīng)初等行變換一定能變換為行階梯形矩陣，而方陣的行階梯形矩陣是上三角矩陣，于是，一定能將B變換為上三角矩陣；對D的左邊k列施行第O矩陣元素不變，仍然全為0，k階方陣A施行第3種初等列變換，順序是：1．第k列倍乘，k1列倍乘，3種初等列變換，只需對k1依次加到第1列，第列；1列，第k2列；2．第依次加到第依次類推，直到將第二行第1列的元素變換為0，于是，可以將A變換為上三角矩陣；7

1111aaaa2練習4）計算范德蒙行列式D134的值，下標均為列標；2a21aa22a23aa4a33a331234解：先將第4列變出3個0，從最后一行開始進行變換：rar,rar,rar44334224111110aaa2aaa2aaa2aa0，按第aaaa1424344列展開141242343a3aa2a3aa2a3aa20141242343aaaaaa142434(1)a(aa)a(aa)a(aa)114224334a2(aa)a2(aa)a2(aa)114224334111(1)(aa)(aa)(aa)aaa314243412a21a22a23rar,rar3列變出2個0，從最后一行開始進行變換：332將第2311110(1)(aa)(aa)(aa)aaaa1424341323a2aaa2aa0131232按第3列展開aaaa23(1)(aa)(aa)(aa)13aaaaa4a221424313123211(1)(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)3a1)(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)142434132321(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)414243313221只看原行列式的第2行，就可直接寫出這個結(jié)果；4!共有C242!(42)!6個因子8注意：P.36范德蒙行列式的結(jié)果中，被減數(shù)的下標減數(shù)的下標ji（）D(aa)nji1ijn(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)nn1nn2n1323121補充：1)兩條線的行列式ab11ab22b0，則為上n，如果三角行列式an1bn1bannab11ab22按第1列展開an1bn1bannab2b2ab1ab2332a3a1b(1)n1nan1bn1anan1bn1(n1)(n1)階下三角行列式階上三角行列式aaa(1)bbbbn112n12n1n兩條線的行列式有以下形式:ab1abn1ab1ba2212b;2;an1an1bn1bnabn1ann9bn1ab1abnnaan1n1nbb;n1;2ba12a2a1bab12nbaba1n1nbaa2n1n1;aba2n12abab1n1nab1na2an1ba1n后三種形式都可以化為三角行列式計算補充：2)爪形行列式abbba1b1b1ca2n1na2222c3；；an1an1bn1caacccann12n1nbbb1b1a2n1nnacban122n1c3；a2bn1a2a1caccc123nn10a12n01a12練習：求階爪形行列式(n1)的值an1nana,aa,a中零的個數(shù)分三種情況討論：按照12n1na,aa,a中有兩個或兩個以上的零，n情況一：12n1則行列式有兩行成比例，行列式的值為零；a,aa,a中只有一個零，例如設(shè)二：12a0，而a0,(ik)情況n1nkia01kk1n1kak10按第(k1)行展開，k1nak1an12nka01k(1)(k1)1ak10（n階行列式）0ak10an按按第k列展開，a1ak1k(1)k(1)k1k2（n1階對角行列式）ak1ank2aaaaa12k1k1n11a,aa,a全不為零情況三：12n1na12n01a12n10a121a12aaaaa2n112na1n1nann1an現(xiàn)在從第二行起，主對角線元素都是1，的1，2，，n變?yōu)?；再把第一行12a22n20000aa1a21n1a12aaaa112n1na2n1an現(xiàn)在是n1階的下三角行列式12naaaa(a2)2212n1n0aa1a2n12教材p.36例1.30改為計算四階行列式a1111D1a2這是三條線的行列式1a31a4可以直接按第2、3、4行降階，或直接按第1、4列降階，也可以先把某行或某列變換為只有1個非零元素以后再降階；1還可以變換為上三角行列式求解（即將3個變換為0），具體做法是：依次將1第4列乘以加到第3列；a41第3列乘以加到第2列；a31第2列乘以加到第1列；a2aaa1aa111aaa34aaa234414a111111D1a3442a21a3a31a4a4aaa1(a1)aaaaaaaaaa12341234344344aaa234補充：按多行展開行列式的拉普拉斯定理1）k階子式：n階行列式中，任取k行k列，交叉點處的k2個元素，按原來相對位置組成的；k階行列式2）k階子式的余子式：劃去某k階子式所在的k行、k列以后，余下元素按原來相對位置組成的nk階行列式；3）k階子式的k(1)代數(shù)余子式階子式的余子式mm為該k階子式的行下標與列下標之和；拉普拉斯定理：在n階行列式D中，任取k行以后，含于此k行中的所有k階子式（個數(shù)為C）與其代數(shù)余子式的乘積之和等于D的值。kn13練習題：a00b110ab01）求D22的值0ba033b00a44這是兩條線的行列式方法一：用拉普拉斯定理求選定1，4兩行，該兩行一共可組成6個二階子式（從4列中任取兩列的組合數(shù)C26），這6個4二階子式只有一個不為零，于是ab1baab22baD1(1)(14)(14)4433D(aabb)(aabb)14142323方法二：化為上三角行列式；方法三：按第一行展開：a00bab00ab22110ab022aba0b0ba133133D220ba000a4b00433b00a44再把兩個行列式都按第三行展開：ab2214baab2214baaabb3333兩個二階行列式相同ab214ba(aabb)2(aabb)(aabb)141423231433142）用拉普拉斯定理證明教材p.31例1.28ACkknAB證明OBknnknaacc111k111nACkaacc證：Dknk1kkk10bkn0b1nOnkB11n00bn1bnnkn階行列式，子塊在主對角線方向，A,B這是kn選定第k1行、第k2行、、第kn行，bb111n在這n行中，只有一個非零的n階子式bbn1nnaa111k這個非零子式的余子式為aak1kk這個非零子式的代數(shù)余子式中的正負號為：(1)[(k1)(k2)(kn)][(k1)(k2)(kn)](1)2[(k1)(k2)(kn)]1于是：bbaa111k111nDABknbbaak1kkn1nnp.5822.（1）（3）自己練習用拉普拉斯定理計算教材15a1p.5822.（1）Aan1a方法1：用拉普拉斯展開定理，選定第1行、第n行，a1aa1(1)A(a21)an2；a2(1n)a1an1aan2階方法2：按第1行展開，a1a0aa0aAna(1)1naa1aa10n1階n1階對第二項按最后一行展開，aan(1)(1)1n(n1)1aan2階an(1)12naa(a21)n2n2方法3：化成上三角行列式11a1aa1An(a)aa(a21)an1n2aa1a0a16p.5822.（3）abnnab1cd11A2n2n行，選取第1行、第1cdnn2n階an1bn1ababn(1)2(12n)ncd1cd1nn11cn1dn12n2階（ad-bc）(adbc)nnnn1111abnnab11思考：如果是2n1階A2n1mc1d1cndn2n1階2n1選取第1行、第行，anbnan1bn1abab111abn(1)1m2[1(2n1)]mncdc1d1c1d1nncndcn1dn12n1階n2n1階（ad-bc）(adbc)mnnnn11111700aa1k1100ak1akk3）求D的值bbcc111n111kbbccnkn1nnn1D為(kn)階行列式，分塊形式DOknAkA,B在次對角線方向，子塊BCnknnkk選定第1行、第2行、、第行，aa111k只有一個非零的在這k行中，k階子式aak1kkbb111n這個非零子式的余子式為bbn1nn這個非零子式的代數(shù)余子式中的正負號為：(1)(12k)[(n1)(n2)(nk)](1)2(12k)kn(1)kn于是：aabb111k111nD(1)knaabbk1kkn1nn=(1)knABkn教材改錯：p.5820（3）主對角線元素都是1；p.5823（2）第3行第2列的1；元素為181.5證明p.41若A可逆，則)A1(A11A;也可逆，且A證：已知A可逆，則AA11AEA與A11，A1AA的逆矩陣為A，互為逆矩陣，的逆矩陣為(A)A；即111證明p.41若A可逆，0，A也可逆，且則1(A)A1;A0,又AnA0，則A也可逆；A可逆，則證：已知A(A)(A)E1AE，又也可逆，則1已知A可逆，則A兩端右乘1A，(A)(A)A1EA11，()11A(A)EA11，A13.16例解法一的啟發(fā)來自：x2x2(x2)(x1)補充練習A0求A*1.A為n階方陣，已知解：A0A1存在，1A*AA1AAnAAn1n1A2.A為可逆矩陣，證明(A*)1(A1)*19AA1證:一方面A*(A*)1(AA1)11AA(A1)*A1(A1)11A另一方面于是A(A*)1(A1)*3.A,B為n階方陣，A，B已知，求A*B1解：ABBAB*111AA11An11ABAn1AA1B1AnnB4.A為n階方陣，用A及A表示(A*)*解：AAnA(A*)*(AA1)*AA1(AA1)1*AA111AAn11AAAAn2AA5.A為n階方陣，k為自然數(shù)，如果AkO(零矩陣)，A,A2,Ak1O(EA)1求20解：AkO(EAk)EE為階單位矩陣n(EkAk)E利用代數(shù)公式：(xkyk)(xy)(xk1xk2yxk3y2yk1)(EA)(EAA2Ak1)E則(EA)1EAA2Ak1n6.A,B為階方陣，A2,，B3，求2A*B11111AAA12A11,1,解：*；ABA2B32A*B122A1B14nA1B1114n4n2361A,求(3A)12A*7.A為3階方陣，2(3A)1A1AAA1A，*1解：322(3A)12A*A2A1A11323221216()3A1()()23333A327表示(A*)18.用A、A1(A)(AA1)11(A1)1A1A解：*1A211232以及A6E,求A119.已知A3122AA121(A)A12EA1A1解：116212323