2024屆遼寧省重點中學九年級數學第一學期期末統考試題含解析

2024屆遼寧省重點中學九年級數學第一學期期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．對于實數，定義運算“*”；關于的方程恰好有三個不相等的實數根，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=13．已知點都在函數的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（）A．y2＞y1＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y24．如圖，在正方形中，點為邊的中點，點在上，，過點作交于點．下列結論：①；②；③；④．正確的是（

）．A．①② B．①③ C．①③④ D．③④5．把拋物線向右平移l個單位，然后向下平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A． B．C． D．6．下列二次函數的開口方向一定向上的是（）A． B． C． D．7．如圖，若點P在反比例函數y=（k≠0）的圖象上，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，若矩形PMON的面積為6，則k的值是（）A．-3 B．3 C．-6 D．68．如圖，這是一個由四個半徑都為1米的圓設計而成的花壇，圓心在同一直線上，每個圓都會經過相鄰圓的圓心，則這個花壇的周長（實線部分）為（）A．4π米 B．π米 C．3π米 D．2π米9．如圖，四邊形ABCD內接于，它的一個外角，分別連接AC，BD，若，則的度數為（）A． B． C． D．10．將拋物線向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，所得到的拋物線為()A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．一種微粒的半徑是1．11114米，這個數據用科學記數法表示為____．12．一組數據3，2，1，4，的極差為5，則為______.13．若兩個相似三角形的面積比為1∶4，則這兩個相似三角形的周長比是__________．14．拋物線y=2x2﹣4x+1的對稱軸為直線__．15．墻壁CD上D處有一盞燈(如圖)，小明站在A處測得他的影長與身長相等，都為1.6m，他向墻壁走1m到B處時發(fā)現影子剛好落在A點，則燈泡與地面的距離CD＝____．16．已知中，，交于，且，，，，則的長度為________.17．邊長為1的正方形，在邊上取一動點，連接，作，交邊于點，若的長為，則的長為__________．18．如圖，△ABC中，AB＝6，BC＝1．如果動點D以每秒2個單位長度的速度，從點B出發(fā)沿邊BA向點A運動，此時直線DE∥BC，交AC于點E．記x秒時DE的長度為y，寫出y關于x的函數解析式_____（不用寫自變量取值范圍）．三、解答題(共66分)19．（10分）網絡比網絡的傳輸速度快10倍以上，因此人們對產品充滿期待.華為集團計劃2020年元月開始銷售一款產品.根據市場營銷部的規(guī)劃，該產品的銷售價格將隨銷售月份的變化而變化.若該產品第個月（為正整數）銷售價格為元/臺，與滿足如圖所示的一次函數關系：且第個月的銷售數量（萬臺）與的關系為.（1）該產品第6個月每臺銷售價格為______元；（2）求該產品第幾個月的銷售額最大？該月的銷售價格是多少元/臺？（3）若華為董事會要求銷售該產品的月銷售額不低于27500萬元，則預計銷售部符合銷售要求的是哪幾個月？（4）若每銷售1萬臺該產品需要在銷售額中扣除元推廣費用，當時銷售利潤最大值為22500萬元時，求的值.20．（6分）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝1，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應的輔助線)(3)拓展延伸：如圖1，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝1．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．21．（6分）某汽車銷售商推出分期付款購車促銷活動，交首付款后，余額要在30個月內結清，不計算利息，王先生在活動期間購買了價格為12萬元的汽車，交了首付款后平均每月付款萬元，個月結清．與的函數關系如圖所示，根據圖像回答下列問題：（1）確定與的函數解析式，并求出首付款的數目；（2）王先生若用20個月結清，平均每月應付多少萬元？（3）如果打算每月付款不超過4000元，王先生至少要幾個月才能結清余額？22．（8分）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點，.（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；（2）M（m，0）為x軸上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N，①點在線段上運動，若以，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標；②點在軸上自由運動，若三個點，，中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱，，三點為“共諧點”.請直接寫出使得，，三點成為“共諧點”的的值.23．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC＝BD，連結AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB＝AC；（2）求證：DE為⊙O的切線；（3）若⊙O的半徑為5，sinB＝，求DE的長．24．（8分）計算：2cos30°－tan45°－．25．（10分）已知二次函數y＝ax2+bx﹣16的圖象經過點（﹣2，﹣40）和點（6，8）．（1）求這個二次函數圖象與x軸的交點坐標；（2）當y＞0時，直接寫出自變量x的取值范圍．26．（10分）如圖，E是正方形ABCD的CD邊上的一點，BF⊥AE于F，(1)求證：△ADE∽△BFA；(2)若正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，求△BFA的面積，

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】設，根據定義得到函數解析式，由方程的有三個不同的解去掉函數圖象與直線y=t的交點有三個，即可確定t的取值范圍.【題目詳解】設，由定義得到，∵方程恰好有三個不相等的實數根，∴函數的圖象與直線y=t有三個不同的交點，∵的最大值是∴若方程恰好有三個不相等的實數根，則t的取值范圍是，故選：C.【題目點撥】此題考查新定義的公式，拋物線與直線的交點與方程的解的關系，正確理解拋物線與直線的交點與方程的解的關系是解題的關鍵.2、D【解題分析】試題分析：方程利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0，因此可由方程x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x=0或x=1．故選D．考點：解一元二次方程-因式分解法3、A【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征，將點分別代入函數，求得的，然后比較它們的大?。绢}目詳解】解：把分別代入：∵＞＞，∴＞＞故選：A．【題目點撥】本題考查的是反比例函數的性質，考查根據自變量的值判斷函數值的大小，掌握判斷方法是解題的關鍵．4、C【分析】連接．根據“HL”可證≌，利用全等三角形的對應邊相等，可得，據此判斷①；根據“”可證≌，可得，從而可得，據此判斷②；由（2）知，可證，據此判斷③；根據兩角分別相等的兩個三角形相似，可證∽∽，可得，從而可得，據此判斷④.【題目詳解】解：（1）連接．如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，

∵FG⊥FC，

∴∠GFC=90°，

在Rt△CFG與Rt△CDG中，∴≌．∴．．．①正確．（2）由（1），垂直平分．∴∠EDC+∠2=90°，

∵∠1+∠EDC=90°，∴．∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，∴≌．∴．∵為邊的中點，∴為邊的中點．∴．∴②錯誤．（3）由（2），得．∴．③正確．（4）由（3），可得∽∽．∴∴．∴④正確．故答案為：C.【題目點撥】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．5、D【分析】根據題意原拋物線的頂點坐標為（0，0），根據平移規(guī)律得平移后拋物線頂點坐標為（1，-3），根據拋物線的頂點式求解析式．【題目詳解】解：拋物線形平移不改變解析式的二次項系數，平移后頂點坐標為（1，-3），∴平移后拋物線解析式為．故選：D．【題目點撥】本題考查拋物線的平移與拋物線解析式的聯系，關鍵是把拋物線的平移轉化為頂點的平移，利用頂點式求解析式．6、C【分析】利用拋物線開口方向向上，則二次項系數大于0判斷即可．【題目詳解】二次函數的開口方向一定向上，則二次項系數大于0，

故選：C．【題目點撥】此題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數y＝ax2＋bx＋c中，當a＞0，開口向上解題是解題關鍵．7、C【解題分析】設PN=a，PM=b，則ab=6，∵P點在第二象限，∴P（-a，b），代入y=中，得k=-ab=-6，故選C．8、A【分析】根據弧長公式解答即可．【題目詳解】解：如圖所示：∵這是一個由四個半徑都為1米的圓設計而成的花壇，圓心在同一直線上，每個圓都會經過相鄰圓的圓心，∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，∴這個花壇的周長＝，故選：A．【題目點撥】本題考查了圓的弧長公式，找到弧所對圓心角度數是解題的關鍵9、A【分析】先根據圓內接四邊形的性質得出∠ADC=∠EBC=65°，再根據AC=AD得出∠ACD=∠ADC=65°，故可根據三角形內角和定理求出∠CAD=50°，再由圓周角定理得出∠DBC=∠CAD=50°.【題目詳解】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠ADC=∠EBC=65°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=50°，∴∠DBC=∠CAD=50°，故選：A．【題目點撥】本題考查了圓內接四邊形的性質，以及圓周角定理的推論，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．也考查了等腰三角形的性質以及三角形內角和定理．10、B【分析】根據“左加右減”，“上加下減”的平移規(guī)律即可得出答案．【題目詳解】將拋物線向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，所得到的拋物線為故選：B．【題目點撥】本題考查二次函數圖象的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解題分析】試題分析：科學計數法是指a×，且1≤＜11，小數點向右移動幾位，則n的相反數就是幾．考點：科學計數法12、－1或1【分析】由題意根據極差的公式即極差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分兩種情況討論．【題目詳解】解：當x是最大值，則x-（1）=5，所以x=1；當x是最小值，則4-x=5，所以x=－1；故答案為－1或1．【題目點撥】本題考查極差的定義，極差反映了一組數據變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值，同時注意分類的思想的運用．13、【解題分析】試題分析：∵兩個相似三角形的面積比為1：4，∴這兩個相似三角形的相似比為1：1，∴這兩個相似三角形的周長比是1：1，故答案為1：1．考點：相似三角形的性質．14、x=1【題目詳解】解：∵y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，∴對稱軸為直線x=1，故答案為：x=1．【題目點撥】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y=a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點坐標為（h，k）．15、m【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程組，通過解方程組求出燈泡與地面的距離即可．【題目詳解】如圖：根據題意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，∵BG∥AF∥CD，∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，設BC=xm，CD=ym，則CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，∴,解得：x=,y=,∴CD=m.∴燈泡與地面的距離為米，故答案為m.16、【分析】過B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延長線于G，則四邊形DGBF是矩形，由矩形的性質得到BG=DF，DG=FB．由△BFC是等腰直角三角形，得到FC=BF=1．設DE=9x，則CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．在Rt△ADC和Rt△AGB中，由AC=AB，利用勾股定理得到AD=16x-1．證明△FEB∽△DEA，根據相似三角形的對應邊成比例可求出x的值，進而得到AD，DE的長．在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出結論．【題目詳解】如圖，過B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延長線于G，∴四邊形DGBF是矩形，∴BG=DF，DG=FB．∵∠BCD=45°，∴△BFC是等腰直角三角形．∵BC=，∴FC=BF=1．設DE=9x，則CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．在Rt△ADC和Rt△AGB中，∵AC=AB，∴，∴，解得：AD=16x-1．∵FB∥AD，∴△FEB∽△DEA，∴，∴，∴18x1-16x+1=0，解得：x=或x=．當x=時，7x-1＜0，不合題意，舍去，∴x=，∴AD=16x-1=6，DE=9x=，∴AE=．故答案為：．【題目點撥】本題考查了矩形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．求出AD=16x-1是解答本題的關鍵．17、或【分析】根據正方形的內角為90°，以及同角的余角相等得出三角形的兩個角相等，從而推知△ABE∽△ECF，得出，代入數值得到關于CE的一元二次方程，求解即可．【題目詳解】解：∵正方形ABCD，

∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，．解得，CE=或．故答案為：或．【題目點撥】考查了四邊形綜合題型，需要掌握三角形相似的判定與性質，正方形的性質以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據相似三角形得出一元二次方程，難度不大．18、y＝﹣3x+1【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性質，可得出y關于x的函數解析式．【題目詳解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴y＝﹣3x+1．故答案為：y＝﹣3x+1．【題目點撥】本題考查根據實際問題列函數關系式，利用相似三角形的性質得出是關鍵.三、解答題(共66分)19、（1）4500元；（2）7，4000；（3）4、5、6、7、8、9、10；（4）.【解題分析】（1）利用待定系數法將(2,6500),(4,5500)代入y=kx+b求k,b確定表達式，求當x=6時的y值即可；（2）求銷售額w與x之間的函數關系式，利用二次函數的最大值問題求解；（3）分三種情況討論假設6月份，7月份，8月份的最大銷售為22500萬元時，求相應的m值，再分別求出此時另外兩月的總利潤，通過比較作出判斷.【題目詳解】設y=kx+b,根據圖象將(2,6500),(4,5500)代入得，，解得，，∴y=-500x+7500，當x=6時，y=-500×6+7500=4500元；（2）設銷售額為z元，z=yp=(-500x+7500)(x+1)=-500x2+7000x+7500=-500(x-7)2+32000,∵z與x成二次函數，a=-500<0,開口向下，∴當x=7時，z有最大值，當x=7時，y=-500×7+7500=4000元.答：該產品第7個月的銷售額最大，該月的銷售價格是4000元/臺.（3）z與x的圖象如圖的拋物線當y=27500時，-500(x-7)2+32000=27500，解得，x1=10，x2=4∴預計銷售部符合銷售要求的是4,5,6,7,8,9,10月份.（4）設總利潤為W=-500x2+7000x+7500-m(x+1)=-500x2+(7000-m)x+7500-m,第一種情況：當x=6時，-500×62+(7000-m)×6+7500-m=22500，解得，m=,此時7月份的總利潤為-500×72+(7000-)×7+7500-≈17714<22500,此時8月份的總利潤為-500×82+(7000-)×8+7500-≈19929<22500,∴當m=時，6月份利潤最大，且最大值為22500萬元.第二種情況：當x=7時，-500×72+(7000-m)×7+7500-m=22500，解得，m=1187.5,此時6月份的總利潤為-500×62+(7000-1187.5)×6+7500-1187.5=23187.5>22500,∴當m=1187.5不符合題意，此種情況不存在.第三種情況：當x=8時，-500×82+(7000-m)×8+7500-m=22500，解得，m=1000,此時7月份的總利潤為-500×72+(7000-1000)×7+7500-1000=24000>22500,∴當m=1000不符合題意，此種情況不存在.∴當時銷售利潤最大值為22500萬元時，此時m=.【題目點撥】本題考查二次函數的實際應用，最大利潤問題，利用二次函數的最值性質是解決實際問題的重要途徑.20、（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作圖與求解過程見解析，2PA+PB的最小值為．【分析】(1)連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，AB＝8，PB＝1，BF＝2，證明△ABP∽△PBF，當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延長OC，使CF＝1，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，確定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，即可求解．【題目詳解】解：(1)如圖1，連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，∴AP+BP的最小值為；故答案為：；(2)如圖2，在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，∵AB＝8，PB＝1，BF＝2，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，∴CF＝，∴AP+PC的值最小值為2，故答案為：2；(3)如圖3，延長OC，使CF＝1，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，∵OC＝1，FC＝1，∴FO＝8，且OP＝1，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝1，FM＝1，∴MB＝OM+OB＝1+3＝7∴FB＝，∴2PA+PB的最小值為．【題目點撥】本題主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解本題的關鍵是根據材料中的思路構造出相似三角形..21、（1）y=，3萬元；（2）0.45萬元；（3）23個月才能結清余款【分析】（1）由圖像可知y與x成反比例，設y與x的函數關系式為y=，把（5，1.8）代入關系式可求出k的值，再根據首付款=12-k可得出結果；

（2）在（1）的基礎上，知道自變量，便可求出函數值；

（3）知道了y的范圍，根據反比例函數的性質即可求出x的范圍，從而可得出x的最小值．【題目詳解】解：（1）由圖像可知y與x成反比例，設y與x的函數關系式為y=，把（5，1.8）代入關系式得1.8=，∴k=9，∴y=，∴12﹣9=3（萬元）．答：首付款為3萬元；（2）當x=20時，y==0.45（萬元），答：每月應付0.45萬元；（3）當y=0.4時，0.4=，解得：x=，又∵k＞0，在第一象限內，y隨x的增大而減小，∴當y≤4000時，x≥，又x取整數，∴x的最小值為23.答：王先生至少要23個月才能結清余額．【題目點撥】此題主要考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，然后再根據實際意義進行解答，難易程度適中．22、（1）B（0，2），；（2）①點M的坐標為（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.【分析】(1)把點代入求得c值，即可得點B的坐標；拋物線經過點，即可求得b值，從而求得拋物線的解析式；（2）由軸，M（m，0），可得N()，①分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況求點M的坐標；②分N為PM的中點、P為NM的中點、M為PN的中點3種情況求m的值.【題目詳解】（1）直線與軸交于點，∴，解得c=2∴B（0，2），∵拋物線經過點，∴，∴b=∴拋物線的解析式為；（2）∵軸，M（m，0），∴N()①有（1）知直線AB的解析式為，OA=3，OB=2∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN,∠AMP=90°，若使△APM中和△BPN相似，則必須∠NBP=90°或∠BNP=90°，分兩種情況討論如下：（I）當∠NBP=90°時，過點N作NC軸于點C，則∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠BNC=∠ABO，∴Rt△NCB∽Rt△BOA∴,即，解得m=0（舍去）或m=∴M（，0）；（II）當∠BNP=90°時，BNMN，∴點N的縱坐標為2，∴解得m=0（舍去）或m=∴M（，0）；綜上，點M的坐標為（，0）或M（，0）；②由①可知M(m,0),P(m,),N(m,)，∵M，P，N三點為“共諧點”，∴有P為線段MN的中點、M為線段PN的中點或N為線段PM的中點，當P為線段MN的中點時,則有2()=,解得m=3(三點重合,舍去)或m=；當M為線段PN的中點時,則有+()=0,解得m=3(舍去)或m=?1；當N為線段PM的中點時,則有=2(),解得m=3(舍去)或m=；綜上可知當M,P,N三點成為“共諧點”時m的值為或?1或.考點：二次函數綜合題.23、（1）見解析；（2）見解析；（3）.【解題分析】（1）連接AD，根據圓周角定理得到AD⊥BC，根據線段垂直平分線的性質證明；（2）連接OD，