2023-2024學(xué)年湖北省荊州市沙市中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖北省荊州市沙市中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是

(

)A.110、110 B.310、15 C.15、32.已知a,b,c為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是

A.a+b，b+c，a?c

B.a+2b，b，a+c

C.23.已知兩個向量a=(2,?1,3)，b=A.1 B.2 C.4 D.84.已知向量a=(23,0,2)，向量bA.3,0,3 B.?5.如圖，元件Ai(i=1,2,3,4A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.98916.同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記事件A=“點數(shù)之和為7”，事件B=“點數(shù)之和為3的倍數(shù)”，則

(

)A.A+B為不可能事件 B.A與B為互斥事件

C.AB為必然事件 D.A7.袋子里裝有形狀大小完全相同的4個小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球上數(shù)字是1”，B表示事件“第二次取出的球上數(shù)字是2”，C表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是5”，D表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是6”，通過計算，則可以得出

(

)A.B與D相互獨立 B.A與D相互獨立 C.B與C相互獨立 D.C與D相互獨立8.在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將?DACA.5π B.4π C.5π二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是(

)A.若空間中的O，A，B，C滿足OC=13OA+23OB，則A，B，C三點共線

B.空間中三個向量a，b，c，若a//b，則a，b，c共面

C.對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA+10.已知空間向量m=(?1,2A.當(dāng)m⊥n時，x=3 B.當(dāng)m//n時，x=?8

C.11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABCD的中心，點A.D1O⊥AC

B.存在一點P，使得D1O//B1P

C.12.已知長方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB=AD=2A.當(dāng)λ=1，γ=0時，P到A1D1的距離為3

B.當(dāng)λ=0，μ=1時，直線PB與平面ABCD所成角的正切值的最大值為24

C.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外的任意一點，若點P在平面ABC內(nèi)，且OP?14.如圖，在，二面角α?l?β中，A∈l,B∈l,AC?α,B15.如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于點16.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=5，ED四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c(1)求(2)若b=3，且?ABC的面積為318.(本小題12.0分)某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：20,25，第二組：25,30，第三組：30(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這20人的平均年齡和第(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和52，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中19.(本小題12.0分)為了普及垃圾分類知識，某校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為q(p>q)(1)求p和(2)求甲、乙兩人共答對320.(本小題12.0分)我省從2021年開始，高考不分文理科，實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門再選科目中選擇(1)從所有選科組合中任意選取(2)假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意121.(本小題12.0分)如圖，已知四棱錐P?ABCD，底面ABCD為菱形，PA(1)證明：(2)若H為PD上的動點，EH與平面PAD22.(本小題12.0分)如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，M是線段AD上的一動點，將?ABM沿著BM折起，使點A到達點

(1)當(dāng)點M與端點D重合時，證明：A′(2)求三棱錐(3)設(shè)直線CD與平面A′BM所成的角為α，二面角A′答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查簡單隨機抽樣及事件可能性的大小確定，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)簡單隨機抽樣中每個個體每次被抽取的機會均等可得結(jié)果．【解答】

解：簡單隨機抽樣中每個個體每次被抽取的機會均等，都為110．

故選A2.【答案】B

【解析】解：對于ACD，∵a+b=(b+c)+(a?c)，a+b+c=12(2a+b)+12(b+2c)，a+c=123.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了空間向量共線定理、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

由a/?/b，則存在實數(shù)【解答】

解：∵a/?/b，

∴存在實數(shù)k使得a=kb，

∴2=4k?1=k4.【答案】A

【解析】解：由于向量a=(23,0,2)，向量b=(12,0,5.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關(guān)系，屬于中檔題．

求出電流不能通過A1、A2，且也不能通過A3的概率，用1減去此概率，即得電流能通過系統(tǒng)A1、A2、A3的概率．再根據(jù)電流能通過A4【解答】

解：電流能通過A1、A2，的概率為0.9×0.9=0.81，電流能通過A3的概率為0.9，

故電流不能通過A1、A2，且也不能通過A3的概率為(1?0.81)(1?0.9)=0.019，

故電流能通過系統(tǒng)A1、A26.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考察不可能事件，必然事件，互斥事件和對立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．

先分析事件A、B的構(gòu)成，對四個選項逐一驗證即可．【解答】

同時拋擲兩顆骰子，有36個結(jié)果，事件A=“點數(shù)之和為7，包括：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．

事件B=“點數(shù)之和為3的倍數(shù)”，包括：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(37.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查事件的相互獨立性，屬于中檔題．

分別求出事件A，B，C，D的概率，根據(jù)相互獨立事件計算概率的乘法公式計算

P(BD),P(B)P(D)

判斷A，計算

P(AD【解答】

解：由題意可得：

P(A有放回的隨機取兩次，每次取1個球，兩次取出的球上數(shù)字之和是5的情況有

(1,4),(4,兩次取出的球上數(shù)字之和是6的情況有

(2,4),(4,對于A，

P(BD)=1故

B

與

D

不是相互獨立事件，故A錯誤；對于B，

P(AD)=0故A與

D

不是相互獨立事件，故B錯誤；對于C，

P(BC)=1故

B

與

C

是相互獨立事件，故C正確；對于D，

P(CD)=0故C與D不是相互獨立事件，故D錯誤；故選：C．8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查球的切接問題，考查球的表面積公式，屬中檔題．

體積最大時，即兩個面垂直時，然后利用幾何關(guān)系找到外接球圓心，求出外接球半徑即可．【解答】

解：如圖所示，當(dāng)平面

ABC⊥

平面

取AC中點E，連接BE，DE設(shè)

O1,O2

分別為

?ABC,?ADC

的外心，過

O1

作平面則m，n的交點即為三棱錐

D?ABC

外接球的球心OO2所以

O所以，表面積為

4故選：C．9.【答案】AB【解析】【分析】

本題考查向量的線性運算以及向量的共面定理，屬于中檔題．

根據(jù)向量的線性運算可判斷A，根據(jù)向量的共面定理可判斷BCD．

【解答】

解：對于A，根據(jù)向量的線性運算，若空間中的O，A，B，C滿足OC=13OA+23OB，則A，B，C三點共線，故A正確，

對于B，因為a/?/b，則a,b共線，則根據(jù)共面向量的定義可得，a，b，c共面，故B正確，

對于C，對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=10.【答案】BC【解析】【分析】本題考查空間向量垂直與平行的坐標(biāo)運算，向量夾角的求解，屬于中檔題．

A選項，根據(jù)垂直得到數(shù)量積為0，列出方程，求出x=52，A錯誤；B選項，根據(jù)向量平行列出方程組，求出x=?8；C選項，根據(jù)向量運算法則計算出【解答】解：當(dāng)m→⊥n→時，m?n=令m=λn，則?1,2,m+n=(?1+2,2?當(dāng)x=1，因為?m,n?∈故選：BC11.【答案】AC【解析】【分析】本題考查利用空間向量判斷線線垂直，平行以及棱錐的體積，以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點Px,2,z，利用空間向量數(shù)量積可判斷A選項；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項；利用錐體體積公式可判斷C選項；求出點P的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得?C1D1P面積的最小值，可判斷D選項的正誤．

【解答】解：以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A2,0,0、C0,2,0、D0,0,0、D10,0,2、B12,2,2、C10,2,2、O1,1,0，

設(shè)點Px,2,z，其中0<x<2，0<z<2．

對于A選項，AC=(?2,2,0)，D1O=1,1,?2，則AC?D1O=12.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量共線關(guān)系，確定點P的位置，根據(jù)點到直線的距離，點到平面的距離以及線面角，球的表面積公式分別進行判斷即可．

本題主要考查空間點線面位置關(guān)系的判斷，根據(jù)條件確定P的位置關(guān)系，利用距離公式，線面角的定義以及球半徑的求法進行計算是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．【解答】解：A．AP=AB+μAD=AB+μBC，μ∈[0,1]，

∴點P在BC上，∵A1D1/?/BC，∴P到A1D1的距離為A1B=22+12=5，故A錯誤；

B.當(dāng)λ=0，μ=1時，AP=AD+γDD1，

即AP?AD=DP=γDD1，

則P位于線段DD1上，當(dāng)P位于D1時，直線PB與平面ABCD所成角的正切值最大，

此時tan∠D1BD=DD1BD=122=24，即正切值最大為24，故B正確；

C.當(dāng)μ=1時，13.【答案】215【解析】【分析】本人提主要考查的是空間向量的共面向量定理，空間向量的線性運算，屬于中檔題..

方法1：因為點P在平面ABC內(nèi)，可由共面向量充要條件得存在唯一得有序?qū)崝?shù)對

(x,y)

，使得

AP?=xAB?方法2：點P在平面ABC內(nèi)，O是平面OP?=xOA?+yOB?+zOC?

且

x+y+z=【解答】解：方法1：

O

=

=OA即

AP?由共面向量定理可得

m?215=0

方法2：因為點P在平面ABC內(nèi)，O是平面所以

OP?=xOA利用此結(jié)論可得

15+23+m14.【答案】120°【解析】本題考查了線面垂直，余弦定理和二面角的大小的求解，屬于中檔題．

根據(jù)題意畫出圖形，并作出二面角的平面角，即可得出答案．由二面角的定義正確作出其平面角是解題的關(guān)鍵．

解：根據(jù)題意畫出圖形：在平面

α內(nèi)，過B作BE/?/AC，過點C作CE//l，交BE于點E.連接DE．

∵AC=AB，∴正方形ABEC，∴∠DBE是二面角α?l?β的平面角．

又BD⊥l，則BD⊥CE，又CE⊥BE，BD∩BE=B，BD，BE

?平面BDE，

∴CE⊥平面BDE，又DE15.【答案】?1【解析】【分析】本題考查線面垂直的判定，空間向量數(shù)量積運算，屬于拔高題．

利用線面垂直的判定定理易證BC⊥平面PAB，AE【解答】

解：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，

PA,AB?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，因為AE?平面PAB，

所以BC⊥AE，又16.【答案】20π【解析】【分析】

將鱉臑P?ADE放入長方體中，利用長方體體對角線長表示出鱉臑P?ADE半徑，利用外接球體積求解出PA；通過長度關(guān)系可確定陽馬P?ABCD的外接球球心為PC中點，從而可得半徑，代入表面積公式求得外接球表面積．

本題考查多面體的外接球體積和表面積的相關(guān)計算，關(guān)鍵是能夠根據(jù)多面體的特征確定球心的位置，進而求得半徑，是中檔題．

【解答】

解：鱉臑P?ADE可看做如下圖所示的長方體的一部分：

則長方體外接球即為鱉臑P?ADE的外接球，

∴外接球半徑為：12ED2+AD2+PA2=128+PA2，

又43π×(117.【答案】解：(1)因為a+c=b(3sinA+cosA)，

由正弦定理可得sinA+sinC=sinB(3sinA+cosA)，

即sinA+sin(A+B)=sinB(3sinA+cosA)，

叫sinA+sinAcosB=3sinAsin【解析】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及利用向量的數(shù)量積求向量的模，屬于中檔題．

(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，以及正弦定理，可得由正弦定理可得sinA+sinC=sinB(3sinA+18.【答案】解：(1)設(shè)這20人的平均年齡為x=設(shè)第80百分位數(shù)為a，由5×0.02+(2)由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為故各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取4人和2人，設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x4，x5，方差分別為s4則x4=37，x5=設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為z，方差為s2則z=4x因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這m人中年齡在35～45歲的所有人的年齡方差約為

【解析】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，頻數(shù)與頻率關(guān)系的應(yīng)用，百分位數(shù)以及平均數(shù)的求解，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，是中檔題．

(1(2)利用分層抽樣得第四組和第五組分別抽取4人和2人，進而設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x4，x5，方差分別為s42，19.【答案】解：(1)設(shè)A={甲同學(xué)答對第一題}，B={乙同學(xué)答對第一題}，

則P(A)=p，P(B)=q，

設(shè)C={甲、乙二人均答對第一題}，D={甲、乙二人恰有一人答對第一題}，

則C=AB，D=AB?+A?B，

∵二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，

∴A與B相互獨立，AB?與A?B相互互斥，

∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=pq，

P(D)=P(AB?+A?B)=【解析】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．

(1)設(shè)A={甲同學(xué)答對第一題}，B={乙同學(xué)答對第一題}，則P(A)=p，P(B)=q，設(shè)C={甲、乙二人均答對第一題}，D={甲、乙二人恰有一人答對第一題}，則C=AB，D=AB?+A?B，則P(C)=P(A20.【答案】解：(1)用a，b分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用c，d，e，則所有選科組合的樣本空間Ω=∴n(設(shè)M=“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則M∴n(∴P(2)設(shè)甲、乙、丙三人每人的選科組合符合醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的事件分別是N1，N由題意知事件N1，N2，由(1)知記N=“甲、乙、丙三人中恰好有一人的選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則N易知事件N1N2N3根據(jù)互斥事件概率加法公式得P==245

【解析】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．

(1)由古典概型的概率公式可解；

21.【答案】證明：(1)由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．

因為E為BC的中點，所以AE⊥BC

又BC/?/AD，因此AE⊥AD

因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE

而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A

所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD

所以AE⊥PD．

解：(2)設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH．

由(1)知AE⊥平面PAD

所以∠EHA為EH與平面PAD所成的角，

在Rt△EAH中，AE=3，

所以當(dāng)AH最短時，∠EHA最大，即當(dāng)AH⊥PD時，∠EHA最大．

因為sin∠EHA=155，此時tan∠EHA=AEAH=3AH=62

因此AH=2.又AD=2，

所以∠ADH=45°，所以PA=2．

解法一：因為PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD，

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

過O作OS⊥AF于S