線性代數(shù)（第五版）-矩陣的初等變換與線性方程組

第三章矩陣的初等變換

與線性方程組知識(shí)點(diǎn)回顧：克拉默法則結(jié)論

1如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P.24定理4）結(jié)論1′如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.（P.24定理4'）設(shè)用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零.線性方程組的解受哪些因素的影響？§1矩陣的初等變換一、初等變換的概念二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系四、初等變換的應(yīng)用引例：求解線性方程組①②③④一、矩陣的初等變換①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④取x3

為自由變量，則令x3=c

，則恒等式①②③④三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個(gè)方程，記作；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍，記作.

其逆變換是：結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過(guò)程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算．iji×ki＋kjiji×ki×kjiji÷ki－kj定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對(duì)調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換增廣矩陣結(jié)論：對(duì)原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對(duì)增廣矩陣的變換.①②③÷2①②③④①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④B5

對(duì)應(yīng)方程組為令x3=c

，則備注帶有運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“=”．例如：矩陣加法 ＋數(shù)乘矩陣、矩陣乘法 ×矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)）方陣的行列式 |?|不帶運(yùn)算符的矩陣運(yùn)算，用“～”．例如：初等行變換初等列變換有限次初等行變換有限次初等列變換行等價(jià)，記作列等價(jià)，記作二、矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對(duì)稱性若，則；傳遞性若，則．行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：左上角是一個(gè)單位矩陣，其它元素全為零.行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個(gè)參數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡(jiǎn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣三者之間的包含關(guān)系注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．

行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)型是所有與A等價(jià)的矩陣集合中，形狀最簡(jiǎn)單的矩陣.結(jié)論任何矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等變換結(jié)論有限次初等行變換定義：由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.對(duì)調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位陣單位陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系(1)對(duì)調(diào)單位陣的第

i,j行（列），記作

E5(3,5)記作

Em(i,j)．(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E5(3(5))記作

Em(i(k))．(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

E5(35(k))記作

Em(ij(k))．

以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．?兩種理解！結(jié)論把矩陣A的第i行與第j行對(duì)調(diào)，即.把矩陣A的第i列與第j列對(duì)調(diào)，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.性質(zhì)1

設(shè)A是一個(gè)m×n

矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左行右列.初等變換初等變換的逆變換初等矩陣?因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?因?yàn)椤皩?duì)于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?初等變換初等變換的逆變換初等矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?性質(zhì)2

方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2…,Pl

．這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位陣.其實(shí)，可逆矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣也是單位陣．推論1

方陣

A可逆的充要條件是.推論2

方陣

A與B等價(jià)的充要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使PAQ=B

.定理1（P61）設(shè)與為

矩陣，則證即

性質(zhì)2A為可逆方陣存在有限個(gè)初等方陣必要性充分性（1）利用初等變換求逆陣P：例１四、初等變換的應(yīng)用

解注意：這里可逆陣P不唯一（2）利用初等變換求逆陣：若作初等行變換時(shí),出現(xiàn)全行為0，則矩陣的行列式等于0。結(jié)論：矩陣不可逆!求逆時(shí),若用初等行變換必須堅(jiān)持始終,不能夾雜任何列變.注：

解例2

解練習(xí)即初等行變換例3解列變換列變換小結(jié)1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是: