廣東省梅州市蕉嶺中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

廣東省梅州市蕉嶺中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.2．下列大小關(guān)系正確的是A. B.C. D.3．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．函數(shù)的定義域是（）A.（-1，1） B.C.（0，1） D.5．已知函數(shù)則（）A.－ B.2C.4 D.116．已知，若，則x的取值范圍為（）A. B.C. D.7．容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表：組號12345678頻數(shù)1013141513129第3組的頻數(shù)和頻率分別是（）A.和14 B.14和C.和24 D.24和8．(程序如下圖）程序的輸出結(jié)果為A.3，4 B.7，7C.7，8 D.7，119．設(shè)四邊形為平行四邊形，，若點(diǎn)滿足，，則A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則，則A. B.C.2 D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知長方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，，，則球的表面積為___________.12．函數(shù)的最小正周期是________.13．已知命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________14．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是________15．已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則f＝________.16．已知函數(shù)f(x)=①f(5)=______；②函數(shù)f(x)與函數(shù)y=(三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）若是定義在上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）條件下，若，求函數(shù)的零點(diǎn)18．求函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)區(qū)間；19．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱⊥底面，，分別為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）若求三棱錐的體積20．若函數(shù)的自變量的取值范圍為時(shí)，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“和諧區(qū)間”.（1）先判斷“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是否正確，再寫出函數(shù)“和諧區(qū)間”；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（i）求的“和諧區(qū)間”；（ii）若函數(shù)的圖象是在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有個(gè)元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】利用三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，則，解得，因此，.故選：A.2、C【解題分析】根據(jù)題意，由于那么根據(jù)與0,1的大小關(guān)系比較可知結(jié)論為，選C.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的值域點(diǎn)評：主要是利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來比較大小，屬于基礎(chǔ)題3、C【解題分析】本題首先可根據(jù)方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根得出、，然后設(shè)，分為、兩種情況進(jìn)行討論，最后根據(jù)對稱軸的相關(guān)性質(zhì)以及的大小即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榉匠檀嬖趦蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，，解得或，設(shè)，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)不同實(shí)數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根在區(qū)間上，所以，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.4、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)的特征，建立不等式求解即可.【題目詳解】要使有意義，則，所以函數(shù)的定義域是.故選：B5、C【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的分段條件，先求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的分段條件，代入準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.6、C【解題分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域，再解抽象不等式.【題目詳解】函數(shù)的定義域需滿足，解得：，并且在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以，即，解得：或.故選：C【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域，尤其是容易忽略函數(shù)的定義域.7、B【解題分析】根據(jù)樣本容量和其它各組的頻數(shù)，即可求得答案.【題目詳解】由題意可得：第3組頻數(shù)為，故第3組的頻率為，故選：B8、D【解題分析】∵變量初始值X=3，Y=4，∴根據(jù)X=X+Y得輸出的X=7.又∵Y=X+Y，∴輸出的Y=11.故選D.9、D【解題分析】令，則，，故選D10、B【解題分析】因?yàn)?，所以，故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】求得長方體外接球的半徑，從而求得球的表面積.【題目詳解】由題知，球O的半徑為，則球O的表面積為故答案為：12、【解題分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式，求出函數(shù)的周期即可.【題目詳解】函數(shù)中，.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.13、【解題分析】此題實(shí)質(zhì)上是二次不等式的恒成立問題，因?yàn)?，函?shù)的圖象拋物線開口向上，所以只要判別式不大于0即可【題目詳解】解：因?yàn)槊}“，”是真命題，所以不等式在上恒成立由函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線可知，判別式即解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查全稱命題或存在性命題的真假及應(yīng)用，解題要注意的范圍，如果，一定要注意數(shù)形結(jié)合；還應(yīng)注意條件改為假命題，有時(shí)考慮它的否定是真命題，求出的范圍．本題是一道基礎(chǔ)題14、4【解題分析】由基本不等式及正實(shí)數(shù)、滿足，可得的最大值.【題目詳解】由基本不等式，可得正實(shí)數(shù)、滿足，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最大值為，故答案為：4.15、【解題分析】根據(jù)圖象過點(diǎn)的坐標(biāo)，求得冪函數(shù)解析式，再代值求得函數(shù)值即可.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)為y＝xα(α為常數(shù)).∵函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，∴2＝4α，∴α＝，∴f(x)＝，∴f＝.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)解析式的求解，以及冪函數(shù)函數(shù)值的求解，屬綜合簡單題.16、①.-14【解題分析】①根據(jù)函數(shù)解析式，代值求解即可；②在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，即可數(shù)形結(jié)合求得結(jié)果.【題目詳解】①由題可知：f5②根據(jù)f(x)的解析式，在同一坐標(biāo)系下繪制f(x)與y=(數(shù)形結(jié)合可知，兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn).故答案為：-14；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和【解題分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)得即可求實(shí)數(shù)的值；（2），計(jì)算令，則即可.試題解析：(1)解：∵是定義在上的偶函數(shù).∴，即故.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意（2）依題意.則由，得，令，則解得.即.∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和.18、定義域?yàn)?，值域?yàn)椋f減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.【解題分析】由函數(shù)的解析式有意義列出不等式，可求得其定義域，由，結(jié)合基本不等式，可求得函數(shù)的值域，令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足且，因?yàn)榉匠?，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)橛钟?，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，令，根?jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】（1）可證平面，從而得到.（2）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，故可求三棱錐的體積【題目詳解】（1）因?yàn)閭?cè)棱⊥底面，平面，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，故，而，故平面，而平面，故.（2）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，且，故，因?yàn)槿庵校瑐?cè)棱⊥底面，故三棱柱為直棱柱，故⊥底面，因?yàn)榈酌?，故，而，故平面，而，?【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.又三棱錐的體積的計(jì)算需選擇合適的頂點(diǎn)和底面，此時(shí)頂點(diǎn)到底面的距離容易計(jì)算.20、（1）正確，；（2）（i）和，（ii）存在符合題意，理由見解析.【解題分析】（1）根據(jù)和諧區(qū)間的定義判斷兩個(gè)函數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)是奇函數(shù)求出的解析式，再利用“和諧區(qū)間”的定義求出的“和諧區(qū)間”，（ii）由（i）可得的解析式，由與都是奇函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，由單調(diào)性求出的端點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得臨界值即可求解.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，任意的，則，所以時(shí)，沒有“和諧區(qū)間”，同理時(shí)，沒有“和諧區(qū)間”，所以“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是正確的，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以值域?yàn)椋?，所以，所以，是方程的兩?因?yàn)?，解得，所以函?shù)的“和諧區(qū)間”為.【小問2詳解】（i）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，可得，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，，所以，，所以，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，即，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，且，所以，，所以在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是，同理可得，在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.所以的“和諧區(qū)間”是和，（ii）存在，理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是以在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，所以若集合恰含有個(gè)元素，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第三象限.因?yàn)榕c都是奇函數(shù)，所以只需考慮與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以曲線的兩個(gè)端點(diǎn)為，.因?yàn)?，所以的零點(diǎn)是，，或所以當(dāng)?shù)膱D象過點(diǎn)時(shí)，，；當(dāng)圖象過點(diǎn)