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廣東省梅州市蕉嶺中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.角的終邊經(jīng)過點(diǎn),且,則()A. B.C. D.2.下列大小關(guān)系正確的是A. B.C. D.3.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.4.函數(shù)的定義域是()A.(-1,1) B.C.(0,1) D.5.已知函數(shù)則()A.- B.2C.4 D.116.已知,若,則x的取值范圍為()A. B.C. D.7.容量為100的樣本數(shù)據(jù),按從小到大的順序分為8組,如下表:組號12345678頻數(shù)1013141513129第3組的頻數(shù)和頻率分別是()A.和14 B.14和C.和24 D.24和8.(程序如下圖)程序的輸出結(jié)果為A.3,4 B.7,7C.7,8 D.7,119.設(shè)四邊形為平行四邊形,,若點(diǎn)滿足,,則A. B.C. D.10.已知函數(shù),則,則A. B.C.2 D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知長方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,若,,,則球的表面積為___________.12.函數(shù)的最小正周期是________.13.已知命題“,”是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________14.若正實(shí)數(shù)滿足,則的最大值是________15.已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),則f=________.16.已知函數(shù)f(x)=①f(5)=______;②函數(shù)f(x)與函數(shù)y=(三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)(1)若是定義在上的偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;(2)在(1)條件下,若,求函數(shù)的零點(diǎn)18.求函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)區(qū)間;19.如圖,在三棱柱中,側(cè)棱⊥底面,,分別為棱的中點(diǎn)(1)求證:;(2)若求三棱錐的體積20.若函數(shù)的自變量的取值范圍為時(shí),函數(shù)值的取值范圍恰為,就稱區(qū)間為的一個(gè)“和諧區(qū)間”.(1)先判斷“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是否正確,再寫出函數(shù)“和諧區(qū)間”;(2)若是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.(i)求的“和諧區(qū)間”;(ii)若函數(shù)的圖象是在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象,是否存在實(shí)數(shù),使集合恰含有個(gè)元素,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.21.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)取值范圍.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】利用三角函數(shù)的定義可求得的值,再利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得,則,解得,因此,.故選:A.2、C【解題分析】根據(jù)題意,由于那么根據(jù)與0,1的大小關(guān)系比較可知結(jié)論為,選C.考點(diǎn):指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的值域點(diǎn)評:主要是利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來比較大小,屬于基礎(chǔ)題3、C【解題分析】本題首先可根據(jù)方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根得出、,然后設(shè),分為、兩種情況進(jìn)行討論,最后根據(jù)對稱軸的相關(guān)性質(zhì)以及的大小即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榉匠檀嬖趦蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根,所以,,解得或,設(shè),對稱軸為,當(dāng)時(shí),因?yàn)閮蓚€(gè)不同實(shí)數(shù)根在區(qū)間上,所以,即,解得,當(dāng)時(shí),因?yàn)閮蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根在區(qū)間上,所以,即,解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選:C.4、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)的特征,建立不等式求解即可.【題目詳解】要使有意義,則,所以函數(shù)的定義域是.故選:B5、C【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的分段條件,先求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【題目詳解】由題意,函數(shù),可得,所以.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的分段條件,代入準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查運(yùn)算與求解能力.6、C【解題分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域,再解抽象不等式.【題目詳解】函數(shù)的定義域需滿足,解得:,并且在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,且,所以,即,解得:或.故選:C【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)性和定義域,尤其是容易忽略函數(shù)的定義域.7、B【解題分析】根據(jù)樣本容量和其它各組的頻數(shù),即可求得答案.【題目詳解】由題意可得:第3組頻數(shù)為,故第3組的頻率為,故選:B8、D【解題分析】∵變量初始值X=3,Y=4,∴根據(jù)X=X+Y得輸出的X=7.又∵Y=X+Y,∴輸出的Y=11.故選D.9、D【解題分析】令,則,,故選D10、B【解題分析】因?yàn)?,所以,故選B.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】求得長方體外接球的半徑,從而求得球的表面積.【題目詳解】由題知,球O的半徑為,則球O的表面積為故答案為:12、【解題分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式,求出函數(shù)的周期即可.【題目詳解】函數(shù)中,.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.13、【解題分析】此題實(shí)質(zhì)上是二次不等式的恒成立問題,因?yàn)?,函?shù)的圖象拋物線開口向上,所以只要判別式不大于0即可【題目詳解】解:因?yàn)槊}“,”是真命題,所以不等式在上恒成立由函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線可知,判別式即解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查全稱命題或存在性命題的真假及應(yīng)用,解題要注意的范圍,如果,一定要注意數(shù)形結(jié)合;還應(yīng)注意條件改為假命題,有時(shí)考慮它的否定是真命題,求出的范圍.本題是一道基礎(chǔ)題14、4【解題分析】由基本不等式及正實(shí)數(shù)、滿足,可得的最大值.【題目詳解】由基本不等式,可得正實(shí)數(shù)、滿足,,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,故的最大值為,故答案為:4.15、【解題分析】根據(jù)圖象過點(diǎn)的坐標(biāo),求得冪函數(shù)解析式,再代值求得函數(shù)值即可.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)為y=xα(α為常數(shù)).∵函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),∴2=4α,∴α=,∴f(x)=,∴f=.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)解析式的求解,以及冪函數(shù)函數(shù)值的求解,屬綜合簡單題.16、①.-14【解題分析】①根據(jù)函數(shù)解析式,代值求解即可;②在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,即可數(shù)形結(jié)合求得結(jié)果.【題目詳解】①由題可知:f5②根據(jù)f(x)的解析式,在同一坐標(biāo)系下繪制f(x)與y=(數(shù)形結(jié)合可知,兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn).故答案為:-14;三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)有兩個(gè)零點(diǎn),分別為和【解題分析】(1)由函數(shù)為偶函數(shù)得即可求實(shí)數(shù)的值;(2),計(jì)算令,則即可.試題解析:(1)解:∵是定義在上的偶函數(shù).∴,即故.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意(2)依題意.則由,得,令,則解得.即.∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),分別為和.18、定義域?yàn)?,值域?yàn)椋f減區(qū)間為,遞增區(qū)間為.【解題分析】由函數(shù)的解析式有意義列出不等式,可求得其定義域,由,結(jié)合基本不等式,可求得函數(shù)的值域,令,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】由題意,函數(shù)有意義,則滿足且,因?yàn)榉匠?,所以,解得,所以函?shù)的定義域?yàn)橛钟?,因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),等號成立,所以,所以函數(shù)的值域?yàn)?,令,根?jù)對勾函數(shù)的性質(zhì),可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.19、(1)見解析;(2).【解題分析】(1)可證平面,從而得到.(2)取的中點(diǎn)為,連接,可證平面,故可求三棱錐的體積【題目詳解】(1)因?yàn)閭?cè)棱⊥底面,平面,所以,因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,故,而,故平面,而平面,故.(2)取的中點(diǎn)為,連接.因?yàn)?,故,故,因?yàn)?,故,且,故,因?yàn)槿庵校瑐?cè)棱⊥底面,故三棱柱為直棱柱,故⊥底面,因?yàn)榈酌?,故,而,故平面,而,?【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛:線線垂直的判定可由線面垂直得到,也可以由兩條線所成的角為得到,而線面垂直又可以由面面垂直得到,解題中注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.又三棱錐的體積的計(jì)算需選擇合適的頂點(diǎn)和底面,此時(shí)頂點(diǎn)到底面的距離容易計(jì)算.20、(1)正確,;(2)(i)和,(ii)存在符合題意,理由見解析.【解題分析】(1)根據(jù)和諧區(qū)間的定義判斷兩個(gè)函數(shù)即可;(2)(i)根據(jù)是奇函數(shù)求出的解析式,再利用“和諧區(qū)間”的定義求出的“和諧區(qū)間”,(ii)由(i)可得的解析式,由與都是奇函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn),由單調(diào)性求出的端點(diǎn)坐標(biāo),代入可得臨界值即可求解.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?,且為奇函?shù),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,任意的,則,所以時(shí),沒有“和諧區(qū)間”,同理時(shí),沒有“和諧區(qū)間”,所以“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是正確的,在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,所以值域?yàn)椋?,所以,所以,是方程的兩?因?yàn)?,解得,所以函?shù)的“和諧區(qū)間”為.【小問2詳解】(i)因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),,所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),所以,所以當(dāng)時(shí),,可得,設(shè),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以,,所以,,所以,是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根,即,是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根,且,所以,,所以在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是,同理可得,在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.所以的“和諧區(qū)間”是和,(ii)存在,理由如下:因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是以在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象,所以若集合恰含有個(gè)元素,等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),且一個(gè)交點(diǎn)在第一象限,一個(gè)交點(diǎn)在第三象限.因?yàn)榕c都是奇函數(shù),所以只需考慮與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,所以曲線的兩個(gè)端點(diǎn)為,.因?yàn)?,所以的零點(diǎn)是,,或所以當(dāng)?shù)膱D象過點(diǎn)時(shí),,;當(dāng)圖象過點(diǎn)
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