山東省泰安市泰安一中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題含解析

山東省泰安市泰安一中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)，若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．函數(shù)，的最小值是（）A. B.C. D.3．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無法判斷4．函數(shù)（且）圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最大值為A. B.C. D.5．如圖，正方體中，①與平行；②與垂直；③與垂直以上三個命題中，正確命題的序號是（）A.①② B.②③C.③ D.①②③6．下列四個集合中，是空集的是（）A. B.C. D.7．在正方體中，分別是的中點，則直線與平面所成角的余弦值為A. B.C. D.8．盡管目前人類還無法精準(zhǔn)預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系式為．年月日，日本東北部海域發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是年月日我國四川九寨溝縣發(fā)生里氏級地震的（）A.倍 B.倍C.倍 D.倍9．設(shè)集合，，則（）A.{2，3} B.{1，2，3}C.{2，3，4} D.{1，2，3，4}10．下圖記錄了某景區(qū)某年月至月客流量情況：根據(jù)該折線圖，下列說法正確的是（）A.景區(qū)客流量逐月增加B.客流量的中位數(shù)為月份對應(yīng)的游客人數(shù)C.月至月的客流量情況相對于月至月波動性更小，變化比較平穩(wěn)D.月至月的客流量增長量與月至月的客流量回落量基本一致二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.12．當(dāng)時，，則a的取值范圍是________.13．函數(shù)f（x），若f（a）＝4，則a＝_____14．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是_________.15．若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立（或和恒成立），則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數(shù)，，若函數(shù)和之間存在隔離直線，則實數(shù)b的取值范圍是______16．已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點，，動點P滿足若點P為曲線C，求此曲線的方程；已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與中的曲線C只有一個公共點，求直線l的方程18．已知函數(shù)（其中，，）圖象上兩相鄰最高點之間距離為，且點是該函數(shù)圖象上的一個最高點（1）求函數(shù)的解析式；（2）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若恒有，求實數(shù)的最小值.19．在單位圓中，已知第二象限角的終邊與單位圓的交點為，若.（1）求、、的值；（2）分別求、、的值.20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的取值；（2）方程在上有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)滿足對任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.21．設(shè)S＝{x|x＝m＋n，m、n∈Z}(1)若a∈Z，則a是否是集合S中的元素？(2)對S中的任意兩個x1、x2，則x1＋x2、x1·x2是否屬于S？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，令得或（1）若，即時，在上無零點，此時，∴在[1,+∞)上有兩個零點，符合題意；（2）若，即時，在(?∞,1)上有1個零點，∴在上只有1個零點，①若，則，∴，解得，②若，則，∴在上無零點，不符合題意；③若，則，∴在上無零點，不符合題意；綜上a的取值范圍是．選B點睛：解答本題的關(guān)鍵是對實數(shù)a進行分類討論，根據(jù)a的不同取值先判斷函數(shù)在(?∞,1)上的零點個數(shù)，在此基礎(chǔ)上再判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，看是否滿足有兩個零點即可2、D【解題分析】利用基本不等式可求得的最小值.【題目詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：D.3、A【解題分析】由已知條件求出的值，則可得冪函數(shù)的解析式，再利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可【題目詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，可得，解得或當(dāng)時，；當(dāng)時，因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故又，所以，所以，則故選：A4、D【解題分析】∵由得，∴函數(shù)（且）的圖像恒過定點，∵點在直線上，∴，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，∴，∴最大值為，故選D【名師點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤5、C【解題分析】根據(jù)線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，即可得到正確答案【題目詳解】解：對于①，在正方體中，由圖可知與異面，故①不正確對于②，因為，不垂直，所以與不垂直，故②不正確對于③，在正方體中，平面，又∵平面，∴與垂直.故③正確故選：C【題目點撥】此題考查線線平行、線線垂直，考查學(xué)生的空間想象能力和對線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)的理解與掌握，屬基礎(chǔ)題6、D【解題分析】對每個集合進行逐一檢驗，研究集合內(nèi)的元素是否存在即可選出.【題目詳解】選項A，；選項B，；選項C，；選項D，，方程無解，.選:D.7、C【解題分析】設(shè)正方體的棱長為，如圖，連接，它們交于，連接，則平面，而，故就是直線與平面所成的余角，又為直角三角形且，所以，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，選C.點睛：線面角的計算往往需要先構(gòu)造面的垂線，必要時還需將已知的面的垂線適當(dāng)平移才能構(gòu)造線面角，最后把該角放置在容易計算的三角形中計算其大小.8、C【解題分析】設(shè)里氏級和級地震釋放出的能量分別為和,可得出，利用對數(shù)的運算性質(zhì)可求得的值，即可得解.【題目詳解】設(shè)里氏級和級地震釋放出的能量分別為和,由已知可得，則，故故選：C.9、A【解題分析】根據(jù)集合的交集運算直接可得答案.【題目詳解】集合，，則,故選：A.10、C【解題分析】根據(jù)折線圖，由中位數(shù)求法、極差的意義，結(jié)合各選項的描述判斷正誤即可.【題目詳解】A：景區(qū)客流量有增有減，故錯誤；B：由圖知：按各月份客流量排序為且是10個月份的客流量，因此數(shù)據(jù)的中位數(shù)為月份和月份對應(yīng)客流量的平均數(shù)，故錯誤；C：由月至月的客流量相對于月至月的客流量：極差較小且各月份數(shù)據(jù)相對比較集中，故波動性更小，正確；D：由折線圖知：月至月的客流量增長量與月至月的客流量回落量相比明顯不同，故錯誤.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、120【解題分析】利用扇形的面積公式求解.【題目詳解】由題意得：扇形弧長為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：12012、【解題分析】分類討論解一元二次不等式，然后確定參數(shù)范圍【題目詳解】，若，則或，此時時，不等式成立，若，則或，要滿足題意，則，即綜上，故答案為：13、1或8【解題分析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，分別計算出的值，然后在檢驗.【題目詳解】當(dāng)時，,解得，滿足條件.當(dāng)時，,解得，滿足條件所以或8.故對答案為：1或8【題目點撥】本題考查分段函數(shù)根據(jù)函數(shù)值求自變量，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】首先根據(jù)函數(shù)的解析式確定，再利用換元法將函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點的問題，轉(zhuǎn)化為方程區(qū)間上有兩個不同根的問題，由此列出不等式組解得答案.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則，故由可知：，當(dāng)時，，顯然不符合題意，故，又函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，等價于在區(qū)間上有兩個不同的根，設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的根，等價于在區(qū)間上有兩個不同的根，由得，要使區(qū)間上有兩個不同的根，需滿足a2-5a+1>06a故答案為：15、【解題分析】由已知可得、恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】因為函數(shù)和之間存在隔離直線，所以當(dāng)時，可得對任意的恒成立，則，即，所以；當(dāng)時，對恒成立，即恒成立，又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16、【解題分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，即可得的單增區(qū)間，即可求解.【題目詳解】函數(shù)的對稱軸是，開口向上，若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解題分析】設(shè)，由動點P滿足，列出方程，即可求出曲線C的方程設(shè)直線l在坐標(biāo)軸上的截距為a，當(dāng)時，直線l與曲線C有兩個公共點，已知矛盾；當(dāng)時，直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)由直線l與曲線C只有一個公共點，即可求出直線l的方程【題目詳解】設(shè)，點，，動點P滿足，整理得：，曲線C方程為設(shè)直線l的橫截距為a，則直線l的縱截距也為a，當(dāng)時，直線l過，設(shè)直線方程為把代入曲線C的方程，得：，，直線l與曲線C有兩個公共點，已知矛盾；當(dāng)時，直線方程為，把代入曲線C的方程，得：，直線l與曲線C只有一個公共點，，解得，直線l的方程為或【題目點撥】本題主要考查了曲線軌跡方程的求法，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直接法求軌跡的方法，以及合理使用直線與圓的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18、（1）（2）最小值為4【解題分析】（1）由圖象上兩相鄰最高點之間的距離為，可知周期,點是該函數(shù)圖象上的一個最高點,可知,故，將點代入解析式即可得，函數(shù)解析式即可求得；（2）利用函數(shù)平移的性質(zhì)即可求得平移后的函數(shù)，由恒有，可知函數(shù)在處取得最大值，即可求出實數(shù)取最小值.【小問1詳解】根據(jù)題意得函數(shù)的周期為，即,故，∵點是該函數(shù)圖象上的一個最高點，∴，即，將點代入函數(shù)解析式得，，即,則，又∵，∴,故.【小問2詳解】∵函數(shù)，∴∵恒有成立，∴在處取得最大值,則，，得∵，，故當(dāng)時，實數(shù)取最小值4.19、（1），，（2），，【解題分析】（1）先由三角函數(shù)的定義得到，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進行求解；（2）利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值.【小問1詳解】解：由三角函數(shù)定義，得，由得，又因為為第二象限角，所以，則；【小問2詳解】解：由誘導(dǎo)公式，得:，則，.20、（1）2，（2）或（3）存在，【解題分析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可求得答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在上只有一個交點.由函數(shù)的單調(diào)性和最值可求得實數(shù)的取值范圍；（3）由（1）可知，由已知得，成立，令，其對稱軸，分，，討論函數(shù)的最小值，建立不等式，求解即可.【小問1詳解】解：由得.令，解得，∴函數(shù)的最大值為2，此時；【小問2詳解】解：方程在上有且有一個解，即函數(shù)與函數(shù)在上只有一個交點.∵，∴.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，.∴或；【小問3詳解】解：由（1）可知，∴.實數(shù)滿足對任意，都存在，使得成立，即成立，令，其對稱軸，∵，∴①當(dāng)時，即，，∴；②當(dāng)，即時，，∴；③當(dāng)，即時，，∴.綜上可得，存在滿足題意的實數(shù)，的取值范圍是.21、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】（1）由a＝a＋0×即可判斷；（2）不妨設(shè)x1＝m＋n，x2＝p＋q，經(jīng)過運算得x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)，x1·x2＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，即可判斷.試題解析：(1)a是集合S的元素，因為a＝a＋0×∈S(2)不妨設(shè)x1＝m＋n，x2＝p＋q，m、n、p、q∈Z則x1＋x2＝(m＋n)