遼寧省2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

遼寧省2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．點(diǎn)直線中，被圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程為（）A. B.C. D.2．已知，則為（）A. B.2C.3 D.或33．下列命題中正確的是（）A. B.C. D.4．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，，則A. B.C. D.5．已知函數(shù)(其中)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖像是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的最小值和最小正周期為（）A.1和2π B.0和2πC.1和π D.0和π7．設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，則等于（）A.4 B.C. D.28．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（）A. B.C. D.9．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線上，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.存在點(diǎn)，使得平面平面10．“角為第二象限角”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．計(jì)算：_______12．某同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)，給出下列結(jié)論：①對(duì)任意成立；②函數(shù)的值域是；③若，則一定有；④函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)．則正確結(jié)論的序號(hào)是_______.13．函數(shù)為奇函數(shù)，且對(duì)任意互不相等的，，都有成立，且，則的解集為______14．已知且，則的最小值為______________15．如下圖所示，三棱錐外接球的半徑為1，且過球心，圍繞棱旋轉(zhuǎn)后恰好與重合.若，則三棱錐的體積為_____________.16．給出如下五個(gè)結(jié)論：①存在使②函數(shù)是偶函數(shù)③最小正周期為④若是第一象限的角，且，則⑤函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱其中正確結(jié)論序號(hào)為______________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若冪函數(shù)在其定義域上是增函數(shù).（1）求的解析式；（2）若，求的取值范圍.18．已知函數(shù)滿足，且.（1）求a和函數(shù)的解析式；（2）判斷在其定義域的單調(diào)性.19．已知.（1）若是奇函數(shù)，求的值，并判斷的單調(diào)性（不用證明）；（2）若函數(shù)在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.20．某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示）,該扇環(huán)是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn),的兩條線段圍成．設(shè)圓弧和圓弧所在圓的半徑分別為米,圓心角為θ（弧度）(1)若,,求花壇的面積；(2)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮花壇邊緣（實(shí)線部分）的裝飾問題,已知直線部分的裝飾費(fèi)用為60元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米,預(yù)算費(fèi)用總計(jì)1200元,問線段AD的長(zhǎng)度為多少時(shí),花壇的面積最大？21．已知.（1）若關(guān)于x的不等式的解集為區(qū)間，求a的值；（2）設(shè)，解關(guān)于x的不等式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】要使得直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線必過圓心，利用斜率公式求得斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，即可求解.【題目詳解】由題意，圓，可得圓心坐標(biāo)為，要使得直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線必過圓心，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即所求直線的方程為.故選：A.2、C【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域求解.【題目詳解】因?yàn)?，所以故選：C3、A【解題分析】利用平面向量的加法、加法法則可判斷ABD選項(xiàng)的正誤，利用平面向量數(shù)量積可判斷C選項(xiàng)的正誤.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.4、B【解題分析】分析：直接利用余弦定理求cosA.詳解：由余弦定理得cosA=故答案為B.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)余弦定理的掌握水平.(2)已知三邊一般利用余弦定理：.5、A【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】由圖象可知：，因?yàn)?，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函?shù)是減函數(shù)，，所以選項(xiàng)A符合，故選：A6、D【解題分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最小值和最小正周期【題目詳解】解：∵，∴當(dāng)＝﹣1時(shí)，f（x）取得最小值，即f（x）min；又其最小正周期Tπ，∴f（x）的最小值和最小正周期分別是：，π故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦函數(shù)的周期性與最值，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題7、A【解題分析】求出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是B，再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.【題目詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是故選：A8、A【解題分析】根據(jù)題意并結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】由題意得，設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，即，則，解得，故函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.故選：.9、D【解題分析】對(duì)A,根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可.對(duì)B,利用平面幾何方法證明，再證明平面即可.對(duì)C,根據(jù)三棱錐以為底,且同底高不變,故體積不變判定即可.對(duì)D,根據(jù)與平面有交點(diǎn)判定即可.【題目詳解】在A中,因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn),所以,故A正確;在B中,因?yàn)?,故,故.故,又有,所以平面,故B正確；在C中,三棱錐以面為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故C正確.在D中,與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn),使得平面平面,故D錯(cuò)誤.故選：D.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面位置關(guān)系，考查棱錐的體積，考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，判斷線面垂直的方法主要有：

線面垂直的判定定理，直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；

面面垂直的性質(zhì)定理，若兩平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的垂直于另一個(gè)平面；

線面垂直的性質(zhì)定理，兩條平行線中有一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直；

面面平行的性質(zhì)定理，直線垂直于兩平行平面之一，必然垂直于另一個(gè)平面10、B【解題分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【題目詳解】當(dāng)角為第二象限角時(shí)，，所以，故充分；當(dāng)時(shí)，或，所以在第二象限或在第三象限，故不必要；故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】求出的值，求解計(jì)算即可.【題目詳解】故答案為：12、①②③【解題分析】由奇偶性判斷①，結(jié)合①對(duì)，，三種情況討論求值域，判斷②，由單調(diào)性判斷③，由③可知的圖像與函數(shù)的圖像只有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而判斷④，從而得出答案【題目詳解】①，即，故正確；②當(dāng)時(shí)，，由①可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域是，正確；③當(dāng)時(shí)，，由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知，在上是增函數(shù)，由①可知在上也是增函數(shù)，所以若，則一定有，正確；④由③可知的圖像與函數(shù)的圖像只有兩個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤綜上正確結(jié)論的序號(hào)是①②③【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，值域等，屬于一般題13、【解題分析】由條件可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，分和利用單調(diào)性可解.【題目詳解】因?yàn)?，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，所以在上單調(diào)遞減，且.當(dāng)時(shí)，不等式，得；當(dāng)時(shí)，不等式，得.綜上，不等式的解集為.故答案：14、9【解題分析】因?yàn)榍?，所以取得等?hào)，故函數(shù)的最小值為9.，答案為9.15、【解題分析】作于，可證得平面，得，得等邊三角形，利用是球的直徑，得，然后計(jì)算出，再應(yīng)用棱錐體積公式計(jì)算體積【題目詳解】∵圍繞棱旋轉(zhuǎn)后恰好與重合，∴，作于，連接，則，，∴又過球心，∴，而，∴，同理，，，由，，，得平面，∴故答案為：【題目點(diǎn)撥】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查求棱錐的體積，解題關(guān)鍵是作于，利用旋轉(zhuǎn)重合，得平面，這樣只要計(jì)算出的面積，即可得體積，這樣作圖可以得出，為旋轉(zhuǎn)所形成的二面角的平面角，這里容易出錯(cuò)在誤認(rèn)為旋轉(zhuǎn)，即為．旋轉(zhuǎn)是旋轉(zhuǎn)形成的二面角為．應(yīng)用作出二面角的平面角16、②③【解題分析】利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐一判斷即可.【題目詳解】對(duì)于①，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，，顯然為偶函數(shù)，故正確；對(duì)于③，∵y＝sin（2x）的最小正周期為π，∴y＝|sin（2x）|最小正周期為．故正確；對(duì)于④，令α，β，滿足，但，故錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，令則故對(duì)稱中心為，故錯(cuò)誤.故答案為：②③【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查輔助角公式和誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解題分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的概念，以及冪函數(shù)單調(diào)性，求出，即可得出解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將不等式化為，求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又是增函數(shù)，即，，則；（2）因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以由可得，解得或的取值范圍是或.18、（1）；；（2）在其定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù).【解題分析】（1）由，可得，再由，可求出的值，從而可得函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行判斷即可【題目詳解】解：（1）由，得，，得；所以；（2）該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以在其定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù).19、(1)答案見解析；(2)【解題分析】(1)函數(shù)為奇函數(shù)，則，據(jù)此可得，且函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)原問題等價(jià)于在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的根，換元令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍是.試題解析：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以；在上是單調(diào)遞增函數(shù);(2)

在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的根，即方程在區(qū)間(0,1)上有兩個(gè)不同的根，所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根，畫出函數(shù)在(1,2)上的圖象,如下圖,由圖知,當(dāng)直線y=a與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),所以的取值范圍為.點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會(huì)使得問題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）；（2）當(dāng)線段的長(zhǎng)為5米時(shí)，花壇的面積最大.【解題分析】(1)根據(jù)扇形的面積公式,求出兩個(gè)扇形面積之差就是所求花壇的面積即可；(2)利用弧長(zhǎng)公式根據(jù)預(yù)算費(fèi)用總計(jì)1200元可得到等式,再求出花壇的面積的表達(dá)式,結(jié)合得到的等式,通過配方法可以求出面積最大時(shí),線段AD的長(zhǎng)度.【題目詳解】(1)設(shè)花壇面積為S平方米.答：花壇的面積為；(2)圓弧長(zhǎng)為米，圓弧的長(zhǎng)為米，線段的長(zhǎng)為米由題意知，即*，，由*式知，，記則所以=當(dāng)時(shí)，取得最大值，即時(shí)，花壇的面積最大，答：當(dāng)線段的長(zhǎng)為5米時(shí)，花壇的面積最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查了弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、（1）；（2）答案見解析.