二重積分的概念課件

第二十一章重積分§1二重積分的概念§2直角坐標系下的二重積分的計算§3格林公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件§4二重積分的變量變換（換元積分法）§5三重積分的概念§6重積分的應用第二十一章重積分§1二重積分的概念§1二重積分的概念一、平面圖形的面積二、問題的提出三、二重積分的定義四、二重積分存在的條件五、二重積分的性質(zhì)§1二重積分的概念一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積為了研究定義在平面點集上二元函數(shù)的積分，Doxy設(shè)平面圖形D有界,

i則存在一個矩形R,使得為了考察D的面積，先用一組平行于坐標軸的直線網(wǎng)T分割D，如圖T的網(wǎng)眼（小矩形）

i可以分為三類：(1)

i上的點均是D內(nèi)的點；(2)

i上的點均是D的外點；(3)

i上的點含有D的邊界點。首先討論平面有界圖形的面積。一、平面圖形的面積為了研究定義在平面點集上二元函數(shù)的積分，DDoxy(1)(1)(1)(1)(3)(3)(3)(3)(2)(2)(2)將屬于直線網(wǎng)T的第(1)類小矩形的面積作和，記為將屬于直線網(wǎng)T的第(1)類與第(3)類小矩形的面積作和，記為則有由確界原理可知：對于平面圖形D的所有直線網(wǎng)的分割T，記為于是有(1)Doxy(1)(1)(1)(1)(3)(3)(3)(3)(2定義1則稱D為可求面積，并將定理21.1.1證明過程完全類似于定積分.推論定理21.1.2定理21.1.3定理21.1.4定義1則稱D為可求面積，并將定理21.1.1證明過程完全類柱體體積=底面積×高特點：平頂柱體體積=？特點：曲頂1.曲頂柱體的體積二、問題的提出曲頂柱體柱體體積=底面積×高特點：平頂柱體體積=？特點：曲頂1.曲曲頂柱體：以曲面∑：z=f(x,y)為頂，一般z=f(x,y)在D上連續(xù)。以平面有界區(qū)域D為底，側(cè)面是柱面，該柱面以D為準線，母線平行于z軸。還有其他類型的柱面。曲頂柱體：以曲面∑：z=f(x,y)為頂，以平面有界區(qū)域D為步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，采用類似于求曲邊梯形面積方法步驟如下：用若干個小平先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，采?D

z

=f(x,y)yxz(1)分割(2)作近似(3)求和(4)取極限令?Dz=f(x,y)yxz(1)分割(2)作近將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量2、求平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D，在點(x,y)處的面密度為

(x,y)

，假定

(x,y)在D上連續(xù)，平面薄片的質(zhì)量為多少？

將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似所有小塊質(zhì)量之和2定義1設(shè)f(x,y)在有界閉域D上有界，若對于D的任意分割和在

i上任意取(

i

,

i)，作積、作和，存在，則稱其為f(x,y)在D上的二重積分，記為三、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素分劃細度若極限簡單的說定義1設(shè)f(x,y)在有界閉域D上有界，若對于定義2設(shè)f(x,y)是定義在可求面積的有界閉域D上的函數(shù),J為一個常數(shù),若>0,總>0,使得對于D的任意分割T,當他的分割細度||T||<,屬于T的所有積分和均有則稱函數(shù)f(x,y)在D上可積,數(shù)J稱為f(x,y)在D上的二重積分.積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素分劃細度定義2設(shè)f(x,y)是定義在可求面積的有界閉域當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積;當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值.若位于xoy面上方柱體的體積為正值；位于xoy面下方柱體的體積為負值，二重積分的幾何意義是柱體的體積的代數(shù)和。曲頂柱體體積平面薄片的質(zhì)量對二重積分定義的說明：(1)二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分和介點選取是任意的。(2)二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積;當被積函數(shù)小于零時在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分在直角坐標系中可寫為D則面積元素為積分變量二重積分的具體形式dxdy(3)與定積分相似,若函數(shù)f(x,y)在D上可積,可采用特殊的分割,特殊的取點方式得一積分和的極限就為二重積分值.在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)四、二重積分可積的條件什么樣的函數(shù)可積?類似于定積分1必要條件屬于分割T的上和屬于分割T的下和定理21.2.5四、二重積分可積的條件什么樣的函數(shù)可積?類似于定積分1必2可積的充分條件上和、下和的性質(zhì)類似于定積分于是有2可積的充要條件定理21.1.6定理21.1.7定理21.1.8定理21.1.9〖證明〗見教材P215-2162可積的充分條件上和、下和的性質(zhì)類似于定積分于是有2性質(zhì)3對區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若

為D的面積,性質(zhì)5若在D上特殊地則有性質(zhì)1當k為常數(shù)時，性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）五、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)3對區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若為D的面積,性質(zhì)5若在D上特性質(zhì)6性質(zhì)7（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）性質(zhì)6性質(zhì)7（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）解例1不作計算，估計在D上由性質(zhì)6知區(qū)域D的面積,解例1不作計算，估計在