《垂直于直徑的弦》

什么是軸對(duì)稱圖形？我們學(xué)過哪些軸對(duì)稱圖形？

如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形．回顧線段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圓任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸．圓有哪些對(duì)稱軸？OOABCDE

是軸對(duì)稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．

下圖是軸對(duì)稱圖形嗎？已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．求證：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒證明：連結(jié)OA、OB，則OA＝OB．∵CD

⊥AB

∴

∠OEA=∠OEB=90°∵OE=OE

∴Rt△AEO≌Rt△BEO

∴AE=BE∵CD

⊥AB

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱∵CD是直徑

∴兩半圓關(guān)于CD對(duì)稱

∴AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒DOABEC

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．知識(shí)要點(diǎn)DOABEC垂徑定理AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①直徑過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧題設(shè)結(jié)論DOABEC垂徑定理將題設(shè)與結(jié)論調(diào)換一個(gè)，命題還成立嗎？①直徑過圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．命題DOABEC已知：CD是直徑，AB是弦，CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒命題垂徑定理的推論1一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直．因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立．OABMNCD注意為什么強(qiáng)調(diào)這里的弦不是直徑？平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。R(shí)要點(diǎn)DOABEC垂徑定理推論①直徑過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧題設(shè)結(jié)論DOABEC

這五條進(jìn)行排列組合，會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)命題？條件結(jié)論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧．平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．

弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧．垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心，并且平分弦和所對(duì)的另一條弧．平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。椒窒宜鶎?duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心，并且垂直平分弦．3．垂徑定理的推論垂徑定理三角形d+h=rdhar有哪些等量關(guān)系？

在a，d，r，h中，已知其中任意兩個(gè)量，可以求出其它兩個(gè)量．

你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長）為37.4，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m．

趙州橋主橋拱的半徑是多少？實(shí)際問題垂徑定理的應(yīng)用解：由題意可知：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2BODACR解得R≈27.9（m）在Rt△OAD中，即：R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m．OA2=AD2+OD2

你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長）為37.4，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m．∵OE過圓心，OE⊥AB∴

練習(xí)1．在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm．在Rt△AEO中，，OE過圓心。

練習(xí)2．在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形．

練習(xí)3．在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD．證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO4．一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧CD，點(diǎn)O是弧CD的圓心），其中CD=600m，E為弧CD上的一點(diǎn)，且OE⊥CD垂足為F，EF=90m．求這段彎路的半徑．解:連接OC．●OCDEF┗

OE過圓心。練習(xí)4．已知：⊙O中弦AB∥CD．求證：AC＝BD⌒⌒證明：作直徑MN⊥AB．∵AB∥CD，∴MN⊥CD．則AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．MCDABON課堂小結(jié)1．圓是軸對(duì)稱圖形任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸．O

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。瓺OABEC2．垂徑定理平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．垂徑定理推論知識(shí)要點(diǎn)

經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件．4．解決有關(guān)弦的問題

課堂練習(xí)：1．在直徑是20cm的⊙O中，的度數(shù)是60°，那么弦AB的弦心距是________．cm2．弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為________．cm3．已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．解：連結(jié)OA．過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3cm，AE＝BE．∵AB＝8cm∴AE