( 線性代數(shù))向量與向量組的線性組合

向量與向量組的線性組合(一)向量及其線性運(yùn)算(二)向量組的線性組合

一個(gè)m

n矩陣的每一行都是由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組

其每一列都是由m個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組

在研究其他問題時(shí)也常遇到有序數(shù)組

這種有序數(shù)組稱為向量

(一)向量及其線性運(yùn)算定義3

1(向量)n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量

一般用

等希臘字母表示

有時(shí)也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

例如

都是向量

稱為n維行向量

其中ai(1

i

n)稱為向量

的第i個(gè)分量

稱為n維列向量

其中bi(1

i

n)稱為向量

的第i個(gè)分量

(一)向量及其線性運(yùn)算定義3

1(向量)n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量

一般用

等希臘字母表示

有時(shí)也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

例如

(一)向量及其線性運(yùn)算定義3

1(向量)n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量

一般用

等希臘字母表示

有時(shí)也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

(一)向量及其線性運(yùn)算定義3

1(向量)

所有分量均為零的向量稱為零向量

記為0

(0

0

0)

向量相等零向量和負(fù)向量n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量

一般用

等希臘字母表示

有時(shí)也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

兩個(gè)n維向量當(dāng)且僅當(dāng)它們各對(duì)應(yīng)分量都相等時(shí)

才是相等的

即對(duì)n維向量

(a1

a2

an)

(b1

b2

bn)

當(dāng)且僅當(dāng)ai

bi(i

1

2

n)時(shí)

n維向量

(a1

a2

an)的各分量的相反數(shù)組成的n維向量

稱為

的負(fù)向量

記為

即

(

a1

a2

an)

定義3

2(向量的和)

由向量加法及負(fù)向量的定義

可定義向量減法

(

)

(a1

a2

an)

(

b1

b2

bn)

(a1

b1

a2

b2

an

bn)定義3

3(向量的數(shù)乘)

向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算

兩個(gè)n維向量

(a1

a2

an)與

(b1

b2

bn)的各對(duì)應(yīng)分量之和所組成的向量

稱為向量

與

的和

記為

即

(a1

b1

a2

b2

an

bn)n維向量

(a1

a2

an)的各個(gè)分量都乘以k(k為一實(shí)數(shù))所組成的向量

稱為數(shù)k與向量

的乘積

記為k

即

k

(ka1

ka2

kan)

由題設(shè)條件

有

3

1

2

2

2

0

解

(二)向量組的線性組合x1

1

x2

2

xn

n

線性方程組的向量形式(二)向量組的線性組合x1

1

x2

2

xn

n

線性方程組的向量形式

線性方程組是否有解

就相當(dāng)于是否存在一組數(shù)

x1

k1

x2

k2

xn

kn

使線性關(guān)系式

k1

1

k2

2

kn

n

成立

即常數(shù)列向量

是否可以表示成上述系數(shù)列向量組

1

2

n的線性關(guān)系式

定義3

5(向量的線性組合與線性表示)

對(duì)于給定向量

1

2

s

如果存在一組數(shù)k1

k2

ks

使關(guān)系式

k1

1

k2

2

ks

s成立

則稱向量

是向量組

1

2

s的線性組合

或稱向量

可以由向量組

1

2

s線性表示

例如

(2

1

1)

1

(1

0

0)

2

(0

1

0)

3

(0

0

1)

顯然有

2

1

2

3即

是

1

2

3的線性組合

或說

可由

1

2

3線性表示

定義3

5(向量的線性組合與線性表示)

對(duì)于給定向量

1

2

s

如果存在一組數(shù)k1

k2

ks

使關(guān)系式

k1

1

k2

2

ks

s成立

則稱向量

是向量組

1

2

s的線性組合

或稱向量

可以由向量組

1

2

s線性表示

定理3

3(判斷法)

設(shè)向量

(b1

b2

bm)T

j

(a1j

a2j

amj)T(j

1

2

n)

則向量

可由向量組

1

2

n線性表示的充分必要條件是

以

1

2

n為列向量的矩陣與以

1

2

n

為列向量的矩陣有相同的秩

定義3

5(向量的線性組合與線性表示)

對(duì)于給定向量

1

2

s

如果存在一組數(shù)k1

k2

ks

使關(guān)系式

k1

1

k2

2

ks

s成立

則稱向量

是向量組

1

2

s的線性組合

或稱向量

可以由向量組

1

2

s線性表示

定理3

3(判斷法)

設(shè)向量

(b1

b2

bn)

j

(a1j

a2j

anj)

(j

1

2

n)

則向量

可由向量組

1

2

n線性表示的充分必要條件是

以

1T

2T

nT為列向量的矩陣與以

1T

2T

nT

T為列向量的矩陣有相同的秩

例2

任何一個(gè)n維向量

(a1

a2

an)都是n維向量組

1

(1

0

0)

2

(0

1

0)

n

(0

0

1)的線性組合

因?yàn)?/p>

a1

1

a2

2

an

n

向量組

1

2

n稱為Rn的初始單位向量組

例3

零向量是任何一組向量的線性組合

因?yàn)?/p>

0

0

1

0

2

0

s

例4

向量組

1

2

s中的任一向量

j(1

j

s)都是此向量組的線性組合

因?yàn)?/p>

j

0

1

1

j

0

s

例5

判斷向量

1

(4

3

1

11)與

2

(4

3

0

11)是否各為向量組

1

(1

2

1

5)

2

(2

1

1

1)的線性組合

若是

寫出表示式

例5

判斷向量

1

(4

3

1

11)與

2

(4

3

0

11)是否各為向量組

1

(1

2

1

5)

2

(2

1

1

1)的線性組合

若是

寫出表示式

向量組之間的線性表示設(shè)有兩個(gè)向量組

1

2

s(A)及

1

2

t(B)如果向量組(A)中每一向量都可由向量組(B)線性表示

則稱向量組(A)可由向量組(B)線性表示

定理3

4

如果向量組(A)可由向量組(B)線性表示

而向量組(B)又可由向量組(C)線性表示

則向量組(A)也可由向量組(C)線性表示

定義3

6(向量組的等價(jià)關(guān)系)

設(shè)有兩個(gè)向量組

1

2

s(A)及

1

2

t(B)如果向量組(A)

(B)可以相互線性表示

則稱向量組(A)與(B)等價(jià)

向量組等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)

(1)自反性任一向量組與其自身等價(jià)

(2)對(duì)稱性如果向量組(A)與(B)等價(jià)

則向量組(B)與(A)等價(jià)

(3)傳遞性如果向量組(A)與(B)等價(jià)

向量組(B)與(C)等價(jià)

則向量組(A)與(C)等價(jià)

例6

設(shè)向量組

(A)

1

(1

0

0)T

2

(0

1

0)T

3

(0

0

1)T(B)a1

(1

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

1

1)T(C)

1

(0

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

0

0)T試判斷三個(gè)向量組是否相互等價(jià)

因?yàn)?/p>

1

1

2

1

2

3

1

2

3所以向量組(B)可由向量組(A)線性表示

又

1

1

2

2

1

3

3

2所以向量組(A)可由向量組(B)線性表示

故向量組(A)與(B)等價(jià)

解

例6

設(shè)向量組

(A)

1

(1

0

0)T

2

(0

1

0)T

3

(0

0

1)T(B)a1

(1

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

1

1)T(C)

1

(0

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

0

0)T試判斷三個(gè)向量組是否相互等價(jià)