舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習第八章立體幾何第4講直線平面平行的判定及性質(zhì)

第4講直線、平面平行的判定及性質(zhì)1．直線與平面平行(1)判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(01))a?α,\o(□,\s\up3(02))b?α,\o(□,\s\up3(03))a∥b))?a∥α(2)性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(04))a∥α,\o(□,\s\up3(05))a?β,\o(□,\s\up3(06))α∩β＝b))?a∥b2．平面與平面平行(1)判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條eq\o(□,\s\up3(07))相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(08))a?α,\o(□,\s\up3(09))b?α,\o(□,\s\up3(10))a∩b＝P,\o(□,\s\up3(11))a∥β,\o(□,\s\up3(12))b∥β))?α∥β(2)性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面eq\o(□,\s\up3(13))相交，那么它們的eq\o(□,\s\up3(14))交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(15))α∥β,\o(□,\s\up3(16))α∩γ＝a,\o(□,\s\up3(17))β∩γ＝b))?a∥b1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.4．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．5．夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．6．經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．7．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．8．如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．1．已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，且在平面α內(nèi)C．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)答案B解析過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條，因為點P在平面α內(nèi)，所以這條直線也應(yīng)該在平面α內(nèi)．2．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，則α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要條件．根據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行，反之也成立．因此B中的條件是α∥β的充要條件．故選B.3．(2022·山西晉城模擬)下列四個正方體中，A，B，C為所在棱的中點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是()答案B解析在B中，如圖，連接MN，PN，∵A，B，C為正方體所在棱的中點，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC?平面ABC，DE，EF?平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.4．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出下列五個結(jié)論：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因為矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，所以O(shè)為BD的中點．在△PBD中，因為M為PB的中點，所以O(shè)M為△PBD的中位線，所以O(shè)M∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因為M∈PB，所以O(shè)M與平面PBA，平面PBC相交．5.(2021·江西南昌模擬)如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.答案eq\f(5,2)解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA·CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).6．已知下列命題：①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內(nèi)；②若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α；③若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線都是異面直線；④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線一定與該平面相交；⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面；⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b.其中正確的命題是________．答案①⑤解析若直線與平面有兩個公共點，由公理1可得直線在平面內(nèi)，故①正確；若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，故②錯誤；若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的任意直線可能是異面直線或相交直線，故③錯誤；如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故④錯誤；若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線無公共點，即平行或異面，故⑤正確；若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b或a，b異面，故⑥錯誤．考向一有關(guān)平行關(guān)系的判斷例1(1)已知兩條不同的直線a，b，兩個不同的平面α，β，有如下命題：①若a∥α，b?α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若α∥β，a?α，b?β，則a∥b.其中正確命題的個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯誤；若a∥α，b∥α，則a與b平行、相交或異面，故②錯誤；若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點，即a∥β，故③正確；若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點，得a，b平行或異面，故④錯誤．故選C.(2)(2021·合肥模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，則下列命題正確的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案C解析取B1C1的中點為Q，連接MQ，NQ，由三角形中位線定理，得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形，得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，又MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D.故選C.解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題的注意點(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中，條件“線在面外”易忽視．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．1.(2021·重慶六校聯(lián)考)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案D解析對于A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以A的內(nèi)容是α∥β的一個必要條件；同理，B，C的內(nèi)容也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以D的內(nèi)容是α∥β的一個充分條件．故選D.2．(2022·安慶模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，點P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則下面說法正確的是________(填序號)．①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三點共線；④平面MNQ∥平面APC.答案②③解析如圖，對于①，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN，易得AM，CN交于點P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的．對于②，由①知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q?平面APC.所以C1Q∥平面APC是正確的．對于③，由①知，A，P，M三點共線是正確的．對于④，由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．精準設(shè)計考向，多角度探究突破考向二直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度用線線(面面)平行證明線面平行例2(1)(2021·四川省名校聯(lián)盟模擬)如圖，四邊形ABCD為矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求證：BF∥平面CDE.證明證法一：如圖，在ED上取點N，使DN＝AF，連接NC，NF，∵AF∥DN，且AF＝DN，∴四邊形ADNF為平行四邊形，∴AD∥FN，且AD＝FN，又四邊形ABCD為矩形，AD∥BC且AD＝BC，∴FN∥BC，且FN＝BC，∴四邊形BCNF為平行四邊形，∴BF∥NC，∵BF?平面CDE，NC?平面CDE，∴BF∥平面CDE.證法二：如題圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∵AB?平面CDE，CD?平面CDE，∴AB∥平面CDE.又AF∥ED，∵AF?平面CDE，ED?平面CDE，∴AF∥平面CDE.∵AF∩AB＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE，又BF?平面ABF，∴BF∥平面CDE.(2)(2021·石家莊模擬)如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．求證：BD∥平面FGH.證明證法一：連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺DEF－ABC中，由AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則M為CD的中點，又因為H為BC的中點，所以HM∥BD.因為HM?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺DEF－ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，BE∥HF.在△ABC中，因為G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.又因為GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度用線面平行證明線線平行例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴AP∥OM.又MO?平面BDM，AP?平面BDM，∴AP∥平面BDM.∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，且AP?平面PAHG，∴AP∥GH.1．判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．2．證明線線平行的三種方法(1)利用平行公理(a∥b，b∥c?a∥c)．(2)利用線面平行的性質(zhì)定理(a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b)．3.如圖，已知正三棱柱(底面是正三角形，側(cè)面是矩形的棱柱)ABC－A′B′C′中，D是AA′上的點，E是B′C′的中點，且A′E∥平面DBC′.試判斷D點在AA′上的位置，并給出證明．解D為AA′的中點．證明如下：取BC的中點F，連接AF，EF，設(shè)EF與BC′交于點O，易證A′E綊AF.易知A′，E，F(xiàn)，A共面，因為A′E∥平面DBC′，A′E?平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO.所以A′E∥DO.在平行四邊形A′EFA中，因為O是EF的中點(因為EC′∥BC，且EC′＝BF)，所以D點為AA′的中點．4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個動點，E為PD的中點，O為AC的中點．(1)求證：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF.證明(1)因為四邊形ABCD為菱形，O為AC的中點，所以O(shè)為BD的中點，又因為E為PD的中點，所以O(shè)E∥PB.因為OE?平面PAB，PB?平面PAB，所以O(shè)E∥平面PAB.(2)過E作EG∥FD交AP于點G，連接CG，F(xiàn)O.因為EG∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF.所以EG∥平面BDF.因為E為PD的中點，EG∥FD，所以G為PF的中點，因為AF＝1，PA＝3，所以F為AG的中點，又因為O為AC的中點，所以O(shè)F∥CG.因為CG?平面BDF，OF?平面BDF，所以CG∥平面BDF.因為EG∩CG＝G，EG?平面CGE，CG?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又因為CE?平面CGE，所以CE∥平面BDF.考向三面面平行的判定與性質(zhì)例4(2022·柳州模擬)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)求證：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，求證：B1D1∥l.證明(1)由題設(shè)知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，且BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．5．(2021·洛陽模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．解(1)證明：∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱錐P－ABM的體積V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).

1．(2021·九江一中模擬)已知α，β表示兩個不同的平面，直線m是α內(nèi)一條直線，則“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由α∥β，m?α，可得m∥β；反過來，由m∥β，m?α，不能推出α∥β.綜上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件．2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析A中，兩直線可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交；C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確，故選D.3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面答案A解析由長方體的性質(zhì)，知EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.故選A.4.(2022·河南平頂山高三開學(xué)摸底)如圖，在三棱臺A1B1C1－ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，點M是△A1B1C1內(nèi)的一個動點(含邊界)，且有平面BDM∥平面A1C，則動點M的軌跡是()A．平面B．直線C．線段，但只含1個端點D．圓答案C解析因為平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1＝DM，平面A1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以DM∥A1C1，過D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(圖略)，則點M的軌跡是線段DE1(不包括點D)．5.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，給出下列四個推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推斷正確的序號是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案A解析因為在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，所以FG∥BC1，如圖，連接AD1，因為BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因為FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正確；連接A1C1，因為E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，所以EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，所以EF與平面BC1D1相交，故②錯誤；因為F，G分別是B1C1，BB1的中點，所以FG∥BC1，因為FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正確；因為EF與平面BC1D1相交，所以平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A.6.(2022·臨川摸底)如圖，L，M，N分別為正方體對應(yīng)棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是()A．垂直 B．相交不垂直C．平行 D．重合答案C解析如圖，分別取另三條棱的中點A，B，C，連接AM，MB，BN，NC，CL，LA，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因為PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.7.如圖，在多面體ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，則()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF答案A解析如圖所示，取DG的中點M，連接AM，F(xiàn)M，則由已知條件易證得四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM，又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四邊形ABFM是平行四邊形，∴BF∥AM，又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD，故選A.8.如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上一點，當PA∥平面EBF時，eq\f(PF,FC)＝()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案D解析如圖，連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又因為AD∥BC，E為AD的中點，所以△AEG∽△CBG，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).9.(2021·河北衡水中學(xué)月考)在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45,2) B．eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析如圖，取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又因為D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也分別為AS，SC的中點，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．因為AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\f(1,2)AC·eq\f(1,2)SB＝eq\f(45,2).10．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(6) D．4答案C解析如圖所示，易知截面是菱形．分別取棱D1C1，AB的中點E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，CF，CE，則菱形A1ECF為符合題意的截面．連接EF，A1C，易知EF＝2eq\r(2)，A1C＝2eq\r(3)，EF⊥A1C，所以截面的面積S＝eq\f(1,2)EF·A1C＝2eq\r(6).故選C.11.如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′＝4，點E，F(xiàn)，G，H，M分別是邊AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中點，動點P在四邊形EFGH的內(nèi)部運動，并且始終有MP∥平面ACC′A′，則動點P的軌跡長度為()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4答案D解析如圖，連接MF，F(xiàn)H，MH，因為M，F(xiàn)，H分別為BC，AB，A′B′的中點，所以MF∥平面AA′C′C，F(xiàn)H∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M與線段FH上任意一點的連線都平行于平面AA′C′C，所以點P的運動軌跡是線段FH，其長度為4，故選D.12.(2021·重慶聯(lián)考)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，且eq\f(DE,EB)＝eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，則eq\f(CG,CC1)＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)答案B解析如圖所示，延長AE交CD于H，連接FH，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，則△DEH∽△BEA，所以eq\f(DH,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,2).因為平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C1＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四邊形CDD1C1是平行四邊形，所以△DFH∽△C1GD1，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(DH,C1D1)，因為eq\f(DH,C1D1)＝eq\f(DH,AB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(1,2)，因為eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以eq\f(CG,CC1)＝eq\f(1,3)，故選B.13．(2021·滄州七校聯(lián)考)有以下三種說法，其中正確的是________．①若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線；②若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a不可能與α平行；③若直線a，b滿足a∥b，則a平行于經(jīng)過b的任何平面．答案①解析若直線a與平面α相交，則α內(nèi)不存在與a平行的直線，是真命題，故①正確；若直線b∥平面α，直線a與直線b垂直，則直線a可能與α平行，故②錯誤；若直線a，b滿足a∥b，則直線a與直線b可能共面，故③錯誤．14．(2022·山西長治模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1cm，過AC作平行于體對角線BD1的截面，則截面面積為________cm2.答案eq\f(\r(6),4)解析如圖所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F為AC與BD的交點，所以E為DD1的中點．所以S△ACE＝eq\f(1,2)AC×EF＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)(cm2)．15.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析如圖所示，連接AC，易知MN∥平面ABCD，MN?平面MNQP，平面MNQP∩平面ABCD＝PQ，∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC.∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3).∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2,3)×eq\r(2)a＝eq\f(2\r(2),3)a.16．(2021·湖南郴州模擬)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝AD＝AA1＝2DC，Q為棱CC1上一動點，過直線AQ的平面分別與棱BB1，DD1交于點P，R，則下列結(jié)論正確的是________(填序號)．①對于任意的點Q，都有AP∥RQ；②對于任意的點Q，四邊形APQR不可能為平行四邊形；③存在點Q，使得直線BC∥平面APQR.答案①②③解析因為AB∥CD，AA1∥DD1，所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1.因為平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，平面APQR∩平面DCC1D1＝RQ，所以AP∥RQ，可知①正確；若AR∥PQ，因為D1D∥C1C，AR∩D1D＝R，PQ∩C1C＝Q，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，顯然不符合題意，所以AR與PQ不平行，所以四邊形APQR不可能為平行四邊形，可知②正確；如圖，延長CD至M，使得DM＝CD，連接AM，RM，則四邊形ABCM是矩形，所以BC∥AM.當R，Q，M三點共線時，AM?平面APQR，所以BC∥平面APQR，可知③正確．17.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1G與EB平行且相等，所以四邊形A1EBG是平行四邊形．所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.18．(2022·安徽合肥模擬)如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，連接AE，設(shè)AE與DF的交點為O，連接MO，因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點，又M為AB的中點，所以MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又因為BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的對邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又因為DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，N為AD的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，因為BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.19．(2021·蘭州模擬)如圖，