空間向量及其線性運算 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.1.1空間向量及其線性運算1.了解空間向量的概念.2.掌握空間向量的加減運算、數(shù)乘運算.（重點）3.共線向量及共面向量的應用.(重點、難點)學習目標：1分鐘情景引入

太原崛圍上風景秀美，在崛圍山風景區(qū)航空飛行營地，2018年舉行了“綠宇杯”山西滑翔傘邀請賽。這是一個做滑翔傘運動的場景.可以想象,在滑翔過程中,飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力.思考：這些力在同一個平面上嗎？起點終點概念與向量a長度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量

空間向量的相關(guān)概念

長度為0的向量模為1的向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量方向相同且模相等的向量∥∥ABa

對于任意一個空間向量，我們都可以將其放在一個平面內(nèi)研究，這時這個空間向量就是我們熟悉的平面向量了.

α空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點重合.如圖所示，已知向量a,b，以任意點O為起點，作向量.思考：在同一平面α內(nèi)嗎？思考：任意兩個空間向量是否可以成為同一平面內(nèi)的兩個向量？baOba因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.問題

在學習完平面向量的相關(guān)概念后，我們研究了平面向量的線性運算，你能類比平面向量，研究空間向量的線性運算嗎？思考

空間中的任意兩個向量是不是共面的？是，空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.空間向量的線性運算加法

減法數(shù)乘

空間向量的運算（同平面向量）當λ＝0時，λa＝0想一想

向量起點的選擇對向量線性運算的結(jié)果有影響嗎？沒有影響，向量起點可以平移到任何位置.空間向量的運算律

思考

怎樣作圖表示三個向量的和，作出的和向量是否與相加的順序有關(guān)？可以利用三角形法則和平行四邊形法則作出三個向量的和.加法運算是對有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.思考

由數(shù)乘λa＝0，可否得出λ＝0?不能.λa＝0?λ＝0或a＝0.

探究

如圖示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′(底面是平行四邊形的四棱柱)中，分別標出，表示的向量.從中體會向量加法運算的交換律及結(jié)合律.一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系？ACDBC′D′B′A′三個不共面的向量的和與這三個向量的關(guān)系：三個不共面的向量的和就是以這三個不共面的向量為鄰邊的平行六面體的對角線所在向量.另外，利用向量加法的交換律和結(jié)合律，還可以得到:有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.教材第5頁練習ACDBC′D′B′A′?E?F教材第5頁練習ACDBC′D′B′A′?E?F新知探索

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新知探索

概念生成共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA向量可以進行平移平行即共面問題

平面向量基本定理是什么？

向量可以進行平移平面向量基本定理也可以是共面向量定理概念生成注意：（1）向量可以進行平移的（2）空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面的了。(3)判斷三個向量是否共面

ABCDA1B1C1D1例題講解OABCDEFGH思路探究：欲證四點共面，只需證明共面.而由已知

共面，可以利用向量運算由共面的表達式推得

共面的表達式.例：如圖，已知平行四邊形，過平面外一點，作射線

，在四條射線上分別取點,使

.

求證：四點共面.

考點：空間中四點共面的判定.OABCDEFGH是平行四邊形由向量共面的充要條件可知，共面,又過同一點,從而四點共面.證明：.AMC