分布參數(shù)系統(tǒng)能控能觀性問題的統(tǒng)一處理

論文中英文摘要作者姓名：付曉玉論文題目：分布參數(shù)系統(tǒng)能控能觀性問題的統(tǒng)一處理作者簡介：付曉玉，女，1979年9月出生，2002年9月至2008年7月師從于四川大學(xué)張旭教授，先后獲得碩士、博士學(xué)位。中文摘要數(shù)學(xué)控制論是由L.S.Pontryagin、R.Bellman和R.E.Kalman在上世紀(jì)50年代末創(chuàng)立的，可分為有限維系統(tǒng)的控制理論和無限維系統(tǒng)(亦稱分布參數(shù)系統(tǒng))的控制理論兩大部分；或者分為確定性系統(tǒng)的控制理論和隨機(jī)系統(tǒng)的控制理論這兩部分。在實(shí)際問題中，有限維系統(tǒng)往往只是無限維系統(tǒng)一定程度的近似。另一方面，絕大多數(shù)隨機(jī)控制系統(tǒng)也都是無限維的。因此，可以說分布參數(shù)系統(tǒng)控制理論是整個(gè)數(shù)學(xué)控制論的關(guān)鍵部分。在2006年和2010年的ICM(國際數(shù)學(xué)家大會(huì))上有1個(gè)大會(huì)報(bào)告和5個(gè)特邀報(bào)告是關(guān)于分布參數(shù)控制理論的工作。分布參數(shù)控制系統(tǒng)的能控能觀性理論起源于上世紀(jì)六十年代，它是分布參數(shù)控制理論的基礎(chǔ)。該領(lǐng)域經(jīng)典文獻(xiàn)為D.L.Russell(SIAMRev.，20(1978),639-739)和J.L.Lions(SIAMRev.,30(1988),1-68)等人的工作。由于刺激了偏微分方程相關(guān)問題的深入研究，J.L.Lions的工作引發(fā)了關(guān)于分布參數(shù)控制系統(tǒng)能控能觀性理論的大量工作。該理論40余年的歷史，尤其是近20年的飛速發(fā)展，積累了很多方法和結(jié)果。但這些方法和結(jié)果，各自為政”，缺乏有機(jī)的聯(lián)系和統(tǒng)一的處理。本文致力于用統(tǒng)一的觀點(diǎn)和方法來研究確定性分布參數(shù)系統(tǒng)的能控能觀性問題。熟知，分布參數(shù)系統(tǒng)的能控能觀性強(qiáng)烈地依賴于系統(tǒng)本身的特性，如時(shí)間可逆與否，典型的例子分別是波動(dòng)方程與熱傳導(dǎo)方程。現(xiàn)在已經(jīng)清楚，這兩類方程的能控能觀性有著本質(zhì)的差別。自然地，人們希望知道這兩類不同系統(tǒng)的能控能觀性理論是否還有某種聯(lián)系。特別地，如能建立拋物和雙曲方程在某種意義下統(tǒng)一的能控能觀性理論，則是一個(gè)很有意義的工作。該問題最早由分布參數(shù)系統(tǒng)理論的創(chuàng)始人之一D.L.Russell在“StudiesinAppl.Math.,52(1973),189-212”中提出并給出初步結(jié)果。關(guān)于拋物和雙曲方程能控能觀性理論的有機(jī)聯(lián)系，可見A.Lopez-X.Zhang-E.Zuazua(2000)，X.Zhang(2001)以及W.Li-X.Zhang(2005)等人的工作，但關(guān)于這兩類方程的能控能觀性問題的統(tǒng)一處理則沒有進(jìn)一步的工作。在這篇學(xué)位論文中，我們發(fā)現(xiàn)；從同一類“類拋物”微分算子(即沒有橢圓性條件)的逐點(diǎn)估計(jì)出發(fā)，可推導(dǎo)出關(guān)于拋物方程、雙曲方程、Schrodinger方程和板方程的所有已知的基于整體Carleman估計(jì)而得到的能控能觀性結(jié)果。同時(shí)，作為它進(jìn)一步的應(yīng)用，本文給出了一個(gè)新的關(guān)于復(fù)Ginzburg-Landau方程的能控能觀性結(jié)果。這樣，在一定程度上，本文給出一個(gè)適用于分布參數(shù)系統(tǒng)能控能觀性問題的一個(gè)較為統(tǒng)一的處理方法。全文共分四章，其中第一章給出了這種統(tǒng)一處理的方法，并且也是其它各章的基礎(chǔ)。在本文的第一章，我們建立了形如(a+琳)氣+*氣■(t,爐.)的二階形式偏微分算子j,k=1的一個(gè)基本的帶權(quán)恒等式。通過選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)a,P和(bj?，我們可以利用這個(gè)統(tǒng)一的恒等式推導(dǎo)出關(guān)于拋物算子、雙曲算子以及Schrodinger算子等的逐點(diǎn)估計(jì)。以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步可以分別得到相應(yīng)控制系統(tǒng)的能控能觀性結(jié)果。該工作發(fā)表于“C.R.Math.Acad.Sci.Paris,342(2006),579-584”。當(dāng)知名數(shù)學(xué)家E.Zuazua(ICM特邀報(bào)告人)得知這一結(jié)果后，在其關(guān)于領(lǐng)域進(jìn)展的長篇綜述報(bào)告“ControllabilityandObservabilityofPartialDifferentialEquations:SomeResultsandOpenProblems,inHandbookofDifferentialEquations:EvolutionaryDifferentialEquations,vol.3,Elsevier,2006,527-621”中專門用一段正面評(píng)論評(píng)述之，尤其是肯定了上述統(tǒng)一性方法。其原話是“RecentlyaunifiedapproachforCarlemaninequalitiesforparabolicandhyperbolicequationshasbeenpresentedin[72]”，該工作還被T.Kim等在“ActaMath.Appl.Sin.Engl.Ser.,24(2008)，265-280”中公開評(píng)價(jià)為“...valuableworksinthisfield”，被知名數(shù)學(xué)家M.Yamamoto關(guān)于領(lǐng)域進(jìn)展的長篇綜述報(bào)告“Carlemanestimatesforparabolicequationsandapplications，Inverseproblem,25(2009),123013，75pages”弓I用。作為帶權(quán)恒等式的應(yīng)用之一，在本文第二章，我們主要討論了當(dāng)非線性函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處超線性增長時(shí)一類高維變系數(shù)半線性雙曲型方程的整體精確能控性。關(guān)于非線性雙曲型方程的整體精確能控性前人僅有為數(shù)不多的工作，如D.L.Lukes(1972),O.Yu.Imanuvilov(1989),I.Lasiecka-R.Triggiani(1991),L.Li-X.Zhang(2000),X.Zhang(2000),E.Zuazua(1991,1993)等。主要困難是如何建立線性化系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)的顯式能觀性估計(jì)，尤其是當(dāng)非線性函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處超線性增長時(shí)。值得指出的是，當(dāng)非線性函數(shù)不是整體Lipschitz連續(xù)時(shí)，非線性雙曲方程的整體精確能控性問題相當(dāng)困難。在我們的工作之前，關(guān)于這個(gè)問題的進(jìn)展僅有兩篇文章討論，分別是“E.Zuazua,Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire,10(1993),109-129”(只考慮了一維的情形)和“L.Li-X.Zhang,J.Math.Anal.Appl.,250(2000),589-597”(只考慮了高維時(shí)主部為常系數(shù)情形)。在本章，采用不同于L.Li-X.Zhang(2000)中的方法，我們得到了更為一般的高維變系數(shù)半線性雙曲型方程的整體內(nèi)部精確能控性結(jié)果。該工作發(fā)表于“SIAMJ.ControlOptim.,46(2007),1578-1614”，并被領(lǐng)域的知名數(shù)學(xué)家I.Lasiecka等的文章引用?；谠撜轮形覀兘⒌恼wCarleman估計(jì)，L.Tebou在文“ESAIMControlOptim.Calc.Var.,14(2008),561-574”中得到了帶有內(nèi)部阻尼項(xiàng)的半線性雙曲型方程的穩(wěn)定性結(jié)果。在其文章中他明確寫0“UsingaCarlemanestimate[Duyckaerts,ZhangandZuazua,Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire(toappear);Fu,YongandZhang,SIAMJ.Contr.Opt.，46(2007)，1578-1614],weprovethat...”以及“Theconstructivemethodthatwehavedeveloped criticallyreliesontheCarlemanestimatein[10,11]”。作為帶權(quán)恒等式的又一應(yīng)用，在本文第三章，我們得到了關(guān)于復(fù)Ginzburg-Landau方程的能控能觀性結(jié)果。該方程是在力學(xué)、物理學(xué)以及其它領(lǐng)域中提出的一個(gè)簡化的數(shù)學(xué)模型。它具有豐富的物理背景，比如著名的Taylor-Couette流，平面Poiseuille流以及化學(xué)湍流的問題都將涉及Ginzburg-Landau方程。然而，據(jù)作者所知，以前尚沒有文獻(xiàn)對(duì)復(fù)Ginzburg-Landau方程的能控能觀性問題作過研究。我們的工作發(fā)表于“J.Funct.Anal.,257(2009),1333-1354”。有關(guān)方法和結(jié)果被領(lǐng)域名家L.Rosier等在“Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire，26(2009)，649-673”中拓廣到更一般的情形。作為帶權(quán)恒等式的另一個(gè)應(yīng)用，在本文第四章，我們討論了具有低階項(xiàng)的板方程組的能觀性不等式及其最優(yōu)性。該工作發(fā)表于“PhaseSpaceAnalysisofPartialDifferentialEquations,A.Boveetal,eds.,Birkhauser,2006,117-132”，并被領(lǐng)域的知名數(shù)學(xué)家E.Hebey的研究生教材《AnIntroductiontoFourthOrderNonlinearWaveEquations》以及M.Yamamoto等的文章引用。此外，在攻博期間及獲得博士學(xué)位后一年內(nèi)，我們還開展了如下研究：1)作為帶權(quán)恒等式的又一應(yīng)用，研究了具有任意小邊界阻尼項(xiàng)的雙曲型方程的長時(shí)間行為。該問題最早由G.Lebeau和L.Robbiano在“DukeMath.J.,86(1997),465-491”中提出，并在系數(shù)和邊界無窮次光滑的假定下給出了波方程的對(duì)數(shù)衰減結(jié)果。我們?cè)陉P(guān)于系數(shù)和區(qū)域邊界最佳的光滑性假設(shè)條件下得到了具有任意小邊界阻尼項(xiàng)的雙曲方程的對(duì)數(shù)衰減結(jié)果。該工作發(fā)表于“Comm.PartialDifferentialEquations,34(2009),957-975”，并被知名數(shù)學(xué)家C.J.K.Batty等的文章引用；2)在另一篇(與他人)合作的工作中，給出了帶一般雙曲型記憶核的熱傳導(dǎo)方程能控性及非能控的較為完整的分析。該工作發(fā)表于“J.DifferentialEquations,247(2009),2395-2439”，并被領(lǐng)域的知名數(shù)學(xué)家L.Pandolfi的綜述文章“On-lineinputidentificationandapplicationtoactivenoisecancellation,AnnualReviewsinControl,2010,17pages,Publishedonline”弓I用。關(guān)鍵詞：偏微分算子，能控性，能觀性，整體Carleman估計(jì)，逐點(diǎn)估計(jì)Aunifiedtreatmentoncontrollability/observability

problemsfordistributedparametersystemsFuXiaoyuABSTRACTMathematicalControlTheory,foundedbyL.S.Pontryagin,R.BellmanandR.E.Kalman,beganatthelate1950s.Itcanbedividedintofinitedimensionalcontroltheoryandinfinitedimensionalcontroltheory(alsocalleddistributedparametercontroltheory),orintodeterministicsystemcontroltheoryandstochasticsystemcontroltheory.Inpractice,afinitedimensionalsystemisusually,tosomeextent,onlyanapproximationofsomeinfinitedimensionalsystem.Ontheotherhand,mostofthestochasticcontrolsystemsareinfinite-dimensional.Therefore,thedistributedparametercontroltheoryisthekeypartofmathematicalcontroltheory.Inthisrespect,wementionthat,intheICM’2006andICM’2010thereare1plenarytalkandfiveinvitedtalksaddressingdistributedparametercontroltheory.Thecontrollability/observabilitytheoryofdistributedparametercontrolledsystemsoriginatedinthesixtiesoflastcentury,whichisthebasisofdistributedparametercontroltheory.Classicalliteraturesinthisfieldare“D.L.Russell,SIAMRev.,20(1978),639-739"and"J.L.Lions,SIAMRev.,30(1988),1-68".Sinceitstimulatedmanydeepresearchesonrelatedproblemsinpartialdifferentialequations,J.L.Lions’sworktriggeredextensiveworksaddressingthecontrollabilityandobservabilitytheoryofdistributedparametercontrolledsystems.Thereexistalargenumberofapproachesandresultsinthistheoryinitshistoryofmorethan40years,especiallyaftertherecent20yearsrapiddevelopment.However,these"fragmented"methodsandresultslackoforganiclinksandaunifiedtreatment.Thispaperisdevotedtoastudyofthecontrollability/observabilityproblemsofdistributedparametersystembymeansofaunifiedviewpointandmethod.Itiswell-knownthatthecontrollability/observabilityofinfinitedimensionalsystemdependsstronglyonthenatureofthesystem,saytimereversibilityornot.Typicalexamplesarethewaveequationandtheheatequation.Itisclearnowthatthereexistessentialdifferencesbetweenthecontrollabilityandobservabilitytheoriesforthesetwoequations.Naturally,oneexpectstoknowwhethertherearesomerelationshipsbetweenthesesystemsofdifferentnature.Especially,itwouldbequiteinterestingtoestablishaunifiedcontrollability/observabilitytheoryforparabolicequationsandhyperbolicequations.ThisproblemwasposedbyD.L.Russell,oneofthefounderinthefield,inhispaper“StudiesinAppl.Math.,52(1973),189-212”，inwhichonecanalsofindsomepreliminaryresultinthisrespect.Asfortheconnectionbetweenthecontrollability/observabilitytheoriesofthesetwosystems,werefertotheworksbyA.Lopez-X.Zhang-E.Zuazua(2000),X.Zhang(2001)andW.Li-X.Zhang(2005),etc.However,thereexistsnofurtherresultconcerningtheunifiedtreatmentonthecontrollability/observabilityofthesetwotypeequations.Inthisthesis,wefindthat,startingfromabasicidentityof“parabolic-like”differentialoperator(i.e.withoutellipticcondition),onecandeducealltheknowncontrollability/observabilityresultsfortheparabolic,hyperbolic,SchrodingerandplateequationsthatarederivedviaCarlemanestimate.Meanwhile,anewcontrollability/observabilityresultisestablishedforthecomplexGinzburg-Landauequation.Consequently,tosomeextent,wepresentaunifiedtreatmentonthecontrollability/observabilityproblemsfordistributedparametersystems.Thisthesisisdividedintofourchapters.Theunifiedtreatmentmethodisgiveninthefirstchapter,whichconstitutesalsothebasisforotherchapters.InChapter1,afundamentalweightedidentityforthepartialdifferentialoperator(a+?P淚+*d(bjk(t,x)d)isestablished.Bysuitablychoosingfunctionsa,pand(bjk)j,k=1onecanobtainpoint-wiseestimatesfortheparabolicoperator,hyperbolicoperatorandSchrodingeroperator,etc.Basedonthis,onecandeducethecontrollability/observabilityresultforthecorrespondingcontrolsystem.Thisresultwasannouncedin“C.R.Math.Acad.Sci.Paris,342(2006),579—584”.WhenE.Zuazuaknewthisresult,inhislongsurveyarticle“HandbookofDifferentialEquations:EvolutionaryDifferentialEquations,vol.3,Elsevier,2006,527—621”heremarkedthat“RecentlyaunifiedapproachforCarlemaninequalitiesforparabolicandhyperbolicequationshasbeenpresentedin[72]...”.Itwasevaluatedtobe“...valuableworksinthisfield”byT.Kimetalinthepaper“ActaMath.Appl.Sin.Engl.Ser.,24(2008),265-280”.Meanwhile,M.Yamamotoquotethisworkinhislongsurvey“Inverseproblem,25(2009),123013,75pages”.Asoneoftheapplicationsoftheaboveweightedidentity,inChapter2wediscusstheglobalexactcontrollabilityforaclassofmultidimensionalsemilinearhyperbolicequationswithasuperlinearnonlinearityandvariablecoefficients.Thereexistsveryfewworksontheglobalexactcontrollabilityfornonlinearhyperbolicequations,e.g.,D.L.Lukes(1972),O.Yu.Imanuvilov(1989),I.Lasiecka-R.Triggiani(1991),L.Li-X.Zhang(2000),X.Zhang(2000),E.Zuazua(1991,1993),etc.Themaindifficultyishowtoestablishthedesiredexplicitobservabilityestimateforthedualsystemofthelinearizedequations,especiallywhenthenonlinearityisallowedtogrowsuperlinearlyatinfinity.Itisworthymentionthat,whenthenonlinearitiesarenotassumedtobeglobalLipschitzcontinuous,thestudyoftheglobalexactcontrollabilityfornonlinearhyperbolicequationisquitedifficult.Beforethiswork,theonlytwoearlierprogressesinthisproblemare“E.Zuazua,Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire,10(1993),109-129"(studyingtheprobleminonedimension)and“L.Li-X.Zhang,J.Math.Anal.Appl.,250(2000),589-597"(addressingthemultidimensionalproblemwithconstantcoefficientprincipalpart).Inthischapter,byadoptingamethodwhichisdifferentfromthatinL.Li-X.Zhang(2000),weobtaintheglobalexactinternalcontrollabilityforamoregeneralsemilinearhyperbolicequationwithvariablecoefficients.Thisresultwaspublishedin“SIAMJ.ControlOptim.,46(2007),1578-1614".Asanotherapplicationoftheaboveweightedidentity,inChapter3,weobtainthecontrollability/observabilityresultforthecomplexGinzburg-Landauequation.Thisequationisasimplifiedmathematicalmodelappearedinmechanics,physicsandotherareas.Ithasanumberofphysicalbackgrounds,suchasthefamousTaylor-Couetteflow,planePoiseuilleflow,andchemicalturbulence.However,tothebestoftheauthor’sknowledge,previouslythereisnoreferenceaddressingthecontrollability/observabilityproblemforthisequation.Thisresultwaspublishedin“J.Funct.Anal.,257(2009),1333-1354".Asonemoreapplicationoftheaboveweightedidentity,inChapter4,wederiveasharpobservabilityinequalityforplateequationswithlowerordertermsanddiscussalsoitsoptimality.Thisresultwaspublishedin“PhaseSpaceAnalysisofPartialDifferentialEquations,A.Boveetaleds.,Birkhauser,2006,117-132".ThisworkwasquotedbyE.Hebeyinhisgraduatetextbook“AnIntroductiontoFourthOrderNonlinearWaveEquations".Besidestheaboveworks,duringthePhDstudyandtheone-yearperiodaftergraduation,we