分布參數(shù)系統(tǒng)能控能觀性問題的統(tǒng)一處理

論文中英文摘要作者姓名：付曉玉論文題目：分布參數(shù)系統(tǒng)能控能觀性問題的統(tǒng)一處理作者簡介：付曉玉，女，1979年9月出生，2002年9月至2008年7月師從于四川大學張旭教授，先后獲得碩士、博士學位。中文摘要數(shù)學控制論是由L.S.Pontryagin、R.Bellman和R.E.Kalman在上世紀50年代末創(chuàng)立的，可分為有限維系統(tǒng)的控制理論和無限維系統(tǒng)(亦稱分布參數(shù)系統(tǒng))的控制理論兩大部分；或者分為確定性系統(tǒng)的控制理論和隨機系統(tǒng)的控制理論這兩部分。在實際問題中，有限維系統(tǒng)往往只是無限維系統(tǒng)一定程度的近似。另一方面，絕大多數(shù)隨機控制系統(tǒng)也都是無限維的。因此，可以說分布參數(shù)系統(tǒng)控制理論是整個數(shù)學控制論的關鍵部分。在2006年和2010年的ICM(國際數(shù)學家大會)上有1個大會報告和5個特邀報告是關于分布參數(shù)控制理論的工作。分布參數(shù)控制系統(tǒng)的能控能觀性理論起源于上世紀六十年代，它是分布參數(shù)控制理論的基礎。該領域經(jīng)典文獻為D.L.Russell(SIAMRev.，20(1978),639-739)和J.L.Lions(SIAMRev.,30(1988),1-68)等人的工作。由于刺激了偏微分方程相關問題的深入研究，J.L.Lions的工作引發(fā)了關于分布參數(shù)控制系統(tǒng)能控能觀性理論的大量工作。該理論40余年的歷史，尤其是近20年的飛速發(fā)展，積累了很多方法和結果。但這些方法和結果，各自為政”，缺乏有機的聯(lián)系和統(tǒng)一的處理。本文致力于用統(tǒng)一的觀點和方法來研究確定性分布參數(shù)系統(tǒng)的能控能觀性問題。熟知，分布參數(shù)系統(tǒng)的能控能觀性強烈地依賴于系統(tǒng)本身的特性，如時間可逆與否，典型的例子分別是波動方程與熱傳導方程?，F(xiàn)在已經(jīng)清楚，這兩類方程的能控能觀性有著本質的差別。自然地，人們希望知道這兩類不同系統(tǒng)的能控能觀性理論是否還有某種聯(lián)系。特別地，如能建立拋物和雙曲方程在某種意義下統(tǒng)一的能控能觀性理論，則是一個很有意義的工作。該問題最早由分布參數(shù)系統(tǒng)理論的創(chuàng)始人之一D.L.Russell在“StudiesinAppl.Math.,52(1973),189-212”中提出并給出初步結果。關于拋物和雙曲方程能控能觀性理論的有機聯(lián)系，可見A.Lopez-X.Zhang-E.Zuazua(2000)，X.Zhang(2001)以及W.Li-X.Zhang(2005)等人的工作，但關于這兩類方程的能控能觀性問題的統(tǒng)一處理則沒有進一步的工作。在這篇學位論文中，我們發(fā)現(xiàn)；從同一類“類拋物”微分算子(即沒有橢圓性條件)的逐點估計出發(fā)，可推導出關于拋物方程、雙曲方程、Schrodinger方程和板方程的所有已知的基于整體Carleman估計而得到的能控能觀性結果。同時，作為它進一步的應用，本文給出了一個新的關于復Ginzburg-Landau方程的能控能觀性結果。這樣，在一定程度上，本文給出一個適用于分布參數(shù)系統(tǒng)能控能觀性問題的一個較為統(tǒng)一的處理方法。全文共分四章，其中第一章給出了這種統(tǒng)一處理的方法，并且也是其它各章的基礎。在本文的第一章，我們建立了形如(a+琳)氣+*氣■(t,爐.)的二階形式偏微分算子j,k=1的一個基本的帶權恒等式。通過選取適當?shù)暮瘮?shù)a,P和(bj?，我們可以利用這個統(tǒng)一的恒等式推導出關于拋物算子、雙曲算子以及Schrodinger算子等的逐點估計。以此為基礎，進一步可以分別得到相應控制系統(tǒng)的能控能觀性結果。該工作發(fā)表于“C.R.Math.Acad.Sci.Paris,342(2006),579-584”。當知名數(shù)學家E.Zuazua(ICM特邀報告人)得知這一結果后，在其關于領域進展的長篇綜述報告“ControllabilityandObservabilityofPartialDifferentialEquations:SomeResultsandOpenProblems,inHandbookofDifferentialEquations:EvolutionaryDifferentialEquations,vol.3,Elsevier,2006,527-621”中專門用一段正面評論評述之，尤其是肯定了上述統(tǒng)一性方法。其原話是“RecentlyaunifiedapproachforCarlemaninequalitiesforparabolicandhyperbolicequationshasbeenpresentedin[72]”，該工作還被T.Kim等在“ActaMath.Appl.Sin.Engl.Ser.,24(2008)，265-280”中公開評價為“...valuableworksinthisfield”，被知名數(shù)學家M.Yamamoto關于領域進展的長篇綜述報告“Carlemanestimatesforparabolicequationsandapplications，Inverseproblem,25(2009),123013，75pages”弓I用。作為帶權恒等式的應用之一，在本文第二章，我們主要討論了當非線性函數(shù)在無窮遠處超線性增長時一類高維變系數(shù)半線性雙曲型方程的整體精確能控性。關于非線性雙曲型方程的整體精確能控性前人僅有為數(shù)不多的工作，如D.L.Lukes(1972),O.Yu.Imanuvilov(1989),I.Lasiecka-R.Triggiani(1991),L.Li-X.Zhang(2000),X.Zhang(2000),E.Zuazua(1991,1993)等。主要困難是如何建立線性化系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的顯式能觀性估計，尤其是當非線性函數(shù)在無窮遠處超線性增長時。值得指出的是，當非線性函數(shù)不是整體Lipschitz連續(xù)時，非線性雙曲方程的整體精確能控性問題相當困難。在我們的工作之前，關于這個問題的進展僅有兩篇文章討論，分別是“E.Zuazua,Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire,10(1993),109-129”(只考慮了一維的情形)和“L.Li-X.Zhang,J.Math.Anal.Appl.,250(2000),589-597”(只考慮了高維時主部為常系數(shù)情形)。在本章，采用不同于L.Li-X.Zhang(2000)中的方法，我們得到了更為一般的高維變系數(shù)半線性雙曲型方程的整體內部精確能控性結果。該工作發(fā)表于“SIAMJ.ControlOptim.,46(2007),1578-1614”，并被領域的知名數(shù)學家I.Lasiecka等的文章引用?；谠撜轮形覀兘⒌恼wCarleman估計，L.Tebou在文“ESAIMControlOptim.Calc.Var.,14(2008),561-574”中得到了帶有內部阻尼項的半線性雙曲型方程的穩(wěn)定性結果。在其文章中他明確寫0“UsingaCarlemanestimate[Duyckaerts,ZhangandZuazua,Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire(toappear);Fu,YongandZhang,SIAMJ.Contr.Opt.，46(2007)，1578-1614],weprovethat...”以及“Theconstructivemethodthatwehavedeveloped criticallyreliesontheCarlemanestimatein[10,11]”。作為帶權恒等式的又一應用，在本文第三章，我們得到了關于復Ginzburg-Landau方程的能控能觀性結果。該方程是在力學、物理學以及其它領域中提出的一個簡化的數(shù)學模型。它具有豐富的物理背景，比如著名的Taylor-Couette流，平面Poiseuille流以及化學湍流的問題都將涉及Ginzburg-Landau方程。然而，據(jù)作者所知，以前尚沒有文獻對復Ginzburg-Landau方程的能控能觀性問題作過研究。我們的工作發(fā)表于“J.Funct.Anal.,257(2009),1333-1354”。有關方法和結果被領域名家L.Rosier等在“Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire，26(2009)，649-673”中拓廣到更一般的情形。作為帶權恒等式的另一個應用，在本文第四章，我們討論了具有低階項的板方程組的能觀性不等式及其最優(yōu)性。該工作發(fā)表于“PhaseSpaceAnalysisofPartialDifferentialEquations,A.Boveetal,eds.,Birkhauser,2006,117-132”，并被領域的知名數(shù)學家E.Hebey的研究生教材《AnIntroductiontoFourthOrderNonlinearWaveEquations》以及M.Yamamoto等的文章引用。此外，在攻博期間及獲得博士學位后一年內，我們還開展了如下研究：1)作為帶權恒等式的又一應用，研究了具有任意小邊界阻尼項的雙曲型方程的長時間行為。該問題最早由G.Lebeau和L.Robbiano在“DukeMath.J.,86(1997),465-491”中提出，并在系數(shù)和邊界無窮次光滑的假定下給出了波方程的對數(shù)衰減結果。我們在關于系數(shù)和區(qū)域邊界最佳的光滑性假設條件下得到了具有任意小邊界阻尼項的雙曲方程的對數(shù)衰減結果。該工作發(fā)表于“Comm.PartialDifferentialEquations,34(2009),957-975”，并被知名數(shù)學家C.J.K.Batty等的文章引用；2)在另一篇(與他人)合作的工作中，給出了帶一般雙曲型記憶核的熱傳導方程能控性及非能控的較為完整的分析。該工作發(fā)表于“J.DifferentialEquations,247(2009),2395-2439”，并被領域的知名數(shù)學家L.Pandolfi的綜述文章“On-lineinputidentificationandapplicationtoactivenoisecancellation,AnnualReviewsinControl,2010,17pages,Publishedonline”弓I用。關鍵詞：偏微分算子，能控性，能觀性，整體Carleman估計，逐點估計Aunifiedtreatmentoncontrollability/observability

problemsfordistributedparametersystemsFuXiaoyuABSTRACTMathematicalControlTheory,foundedbyL.S.Pontryagin,R.BellmanandR.E.Kalman,beganatthelate1950s.Itcanbedividedintofinitedimensionalcontroltheoryandinfinitedimensionalcontroltheory(alsocalleddistributedparametercontroltheory),orintodeterministicsystemcontroltheoryandstochasticsystemcontroltheory.Inpractice,afinitedimensionalsystemisusually,tosomeextent,onlyanapproximationofsomeinfinitedimensionalsystem.Ontheotherhand,mostofthestochasticcontrolsystemsareinfinite-dimensional.Therefore,thedistributedparametercontroltheoryisthekeypartofmathematicalcontroltheory.Inthisrespect,wementionthat,intheICM’2006andICM’2010thereare1plenarytalkandfiveinvitedtalksaddressingdistributedparametercontroltheory.Thecontrollability/observabilitytheoryofdistributedparametercontrolledsystemsoriginatedinthesixtiesoflastcentury,whichisthebasisofdistributedparametercontroltheory.Classicalliteraturesinthisfieldare“D.L.Russell,SIAMRev.,20(1978),639-739"and"J.L.Lions,SIAMRev.,30(1988),1-68".Sinceitstimulatedmanydeepresearchesonrelatedproblemsinpartialdifferentialequations,J.L.Lions’sworktriggeredextensiveworksaddressingthecontrollabilityandobservabilitytheoryofdistributedparametercontrolledsystems.Thereexistalargenumberofapproachesandresultsinthistheoryinitshistoryofmorethan40years,especiallyaftertherecent20yearsrapiddevelopment.However,these"fragmented"methodsandresultslackoforganiclinksandaunifiedtreatment.Thispaperisdevotedtoastudyofthecontrollability/observabilityproblemsofdistributedparametersystembymeansofaunifiedviewpointandmethod.Itiswell-knownthatthecontrollability/observabilityofinfinitedimensionalsystemdependsstronglyonthenatureofthesystem,saytimereversibilityornot.Typicalexamplesarethewaveequationandtheheatequation.Itisclearnowthatthereexistessentialdifferencesbetweenthecontrollabilityandobservabilitytheoriesforthesetwoequations.Naturally,oneexpectstoknowwhethertherearesomerelationshipsbetweenthesesystemsofdifferentnature.Especially,itwouldbequiteinterestingtoestablishaunifiedcontrollability/observabilitytheoryforparabolicequationsandhyperbolicequations.ThisproblemwasposedbyD.L.Russell,oneofthefounderinthefield,inhispaper“StudiesinAppl.Math.,52(1973),189-212”，inwhichonecanalsofindsomepreliminaryresultinthisrespect.Asfortheconnectionbetweenthecontrollability/observabilitytheoriesofthesetwosystems,werefertotheworksbyA.Lopez-X.Zhang-E.Zuazua(2000),X.Zhang(2001)andW.Li-X.Zhang(2005),etc.However,thereexistsnofurtherresultconcerningtheunifiedtreatmentonthecontrollability/observabilityofthesetwotypeequations.Inthisthesis,wefindthat,startingfromabasicidentityof“parabolic-like”differentialoperator(i.e.withoutellipticcondition),onecandeducealltheknowncontrollability/observabilityresultsfortheparabolic,hyperbolic,SchrodingerandplateequationsthatarederivedviaCarlemanestimate.Meanwhile,anewcontrollability/observabilityresultisestablishedforthecomplexGinzburg-Landauequation.Consequently,tosomeextent,wepresentaunifiedtreatmentonthecontrollability/observabilityproblemsfordistributedparametersystems.Thisthesisisdividedintofourchapters.Theunifiedtreatmentmethodisgiveninthefirstchapter,whichconstitutesalsothebasisforotherchapters.InChapter1,afundamentalweightedidentityforthepartialdifferentialoperator(a+?P淚+*d(bjk(t,x)d)isestablished.Bysuitablychoosingfunctionsa,pand(bjk)j,k=1onecanobtainpoint-wiseestimatesfortheparabolicoperator,hyperbolicoperatorandSchrodingeroperator,etc.Basedonthis,onecandeducethecontrollability/observabilityresultforthecorrespondingcontrolsystem.Thisresultwasannouncedin“C.R.Math.Acad.Sci.Paris,342(2006),579—584”.WhenE.Zuazuaknewthisresult,inhislongsurveyarticle“HandbookofDifferentialEquations:EvolutionaryDifferentialEquations,vol.3,Elsevier,2006,527—621”heremarkedthat“RecentlyaunifiedapproachforCarlemaninequalitiesforparabolicandhyperbolicequationshasbeenpresentedin[72]...”.Itwasevaluatedtobe“...valuableworksinthisfield”byT.Kimetalinthepaper“ActaMath.Appl.Sin.Engl.Ser.,24(2008),265-280”.Meanwhile,M.Yamamotoquotethisworkinhislongsurvey“Inverseproblem,25(2009),123013,75pages”.Asoneoftheapplicationsoftheaboveweightedidentity,inChapter2wediscusstheglobalexactcontrollabilityforaclassofmultidimensionalsemilinearhyperbolicequationswithasuperlinearnonlinearityandvariablecoefficients.Thereexistsveryfewworksontheglobalexactcontrollabilityfornonlinearhyperbolicequations,e.g.,D.L.Lukes(1972),O.Yu.Imanuvilov(1989),I.Lasiecka-R.Triggiani(1991),L.Li-X.Zhang(2000),X.Zhang(2000),E.Zuazua(1991,1993),etc.Themaindifficultyishowtoestablishthedesiredexplicitobservabilityestimateforthedualsystemofthelinearizedequations,especiallywhenthenonlinearityisallowedtogrowsuperlinearlyatinfinity.Itisworthymentionthat,whenthenonlinearitiesarenotassumedtobeglobalLipschitzcontinuous,thestudyoftheglobalexactcontrollabilityfornonlinearhyperbolicequationisquitedifficult.Beforethiswork,theonlytwoearlierprogressesinthisproblemare“E.Zuazua,Ann.Inst.H.PoincareAnal.NonLineaire,10(1993),109-129"(studyingtheprobleminonedimension)and“L.Li-X.Zhang,J.Math.Anal.Appl.,250(2000),589-597"(addressingthemultidimensionalproblemwithconstantcoefficientprincipalpart).Inthischapter,byadoptingamethodwhichisdifferentfromthatinL.Li-X.Zhang(2000),weobtaintheglobalexactinternalcontrollabilityforamoregeneralsemilinearhyperbolicequationwithvariablecoefficients.Thisresultwaspublishedin“SIAMJ.ControlOptim.,46(2007),1578-1614".Asanotherapplicationoftheaboveweightedidentity,inChapter3,weobtainthecontrollability/observabilityresultforthecomplexGinzburg-Landauequation.Thisequationisasimplifiedmathematicalmodelappearedinmechanics,physicsandotherareas.Ithasanumberofphysicalbackgrounds,suchasthefamousTaylor-Couetteflow,planePoiseuilleflow,andchemicalturbulence.However,tothebestoftheauthor’sknowledge,previouslythereisnoreferenceaddressingthecontrollability/observabilityproblemforthisequation.Thisresultwaspublishedin“J.Funct.Anal.,257(2009),1333-1354".Asonemoreapplicationoftheaboveweightedidentity,inChapter4,wederiveasharpobservabilityinequalityforplateequationswithlowerordertermsanddiscussalsoitsoptimality.Thisresultwaspublishedin“PhaseSpaceAnalysisofPartialDifferentialEquations,A.Boveetaleds.,Birkhauser,2006,117-132".ThisworkwasquotedbyE.Hebeyinhisgraduatetextbook“AnIntroductiontoFourthOrderNonlinearWaveEquations".Besidestheaboveworks,duringthePhDstudyandtheone-yearperiodaftergraduation,we