2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修4示范教案：第三章第二節(jié)簡(jiǎn)單的三角恒等變換（第一課時(shí)）Word版含解析

第三章第二節(jié)簡(jiǎn)單的三角恒等變換第一課時(shí)作者：房增鳳eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析本節(jié)主要包括利用已有的十一個(gè)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用．本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來展現(xiàn)的，通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象和變換目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力．本節(jié)把三角恒等變換的應(yīng)用放在三角變換與三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系上，從而使三角函數(shù)性質(zhì)的研究得到延伸．三角恒等變換不同于代數(shù)變換，后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換，變換內(nèi)容比較單一．而對(duì)于三角變換，不僅要考慮三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)方面的差異，還要考慮三角函數(shù)式所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換．從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個(gè)切入點(diǎn)，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，是三角恒等變換的重要特點(diǎn)．三維目標(biāo)1．通過經(jīng)歷二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力．2．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形，體會(huì)三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用．3．通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象進(jìn)行對(duì)比、分析，促使學(xué)生形成對(duì)解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)訓(xùn)練．2．三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)．教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力．課時(shí)安排2課時(shí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一，三角函數(shù)主要有以下三個(gè)基本的恒等變換：代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換．前面已經(jīng)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的恒等變換，本節(jié)將綜合運(yùn)用和(差)角公式、倍角公式進(jìn)行更加豐富的三角恒等變換．思路2.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明，都離不開三角恒等變換．學(xué)習(xí)了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活，同時(shí)也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺(tái)．對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①α與有什么關(guān)系？②如何建立cosα與sin2之間的關(guān)系？③sin2＝，cos2＝，tan2＝這三個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)？④通過上面的三個(gè)問題，你能感覺到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎？⑤證明1sinαcosβ＝[sinα＋β＋sinα－β]；2sinθ＋sinφ＝2sincos.并觀察這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有何不同？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想關(guān)于余弦的二倍角公式cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，將公式中的α用eq\f(α,2)代替，解出sin2eq\f(α,2)即可．教師對(duì)學(xué)生的討論進(jìn)行提問，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：α是eq\f(α,2)的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以eq\f(α,2)代替α，即得cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2).①在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq\f(α,2)代替α，即得cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1，所以cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2).②將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除，即得tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).③教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的①②③式，可讓學(xué)生總結(jié)出下列特點(diǎn)：(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù)；(2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的)．教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點(diǎn)，并告訴學(xué)生這些特點(diǎn)在三角恒等變形中將經(jīng)常用到．提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中引起注意．同時(shí)還要強(qiáng)調(diào)，本例的結(jié)果還可表示為：sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，并稱之為半角公式(不要求記憶)，符號(hào)由eq\f(α,2)所在象限決定．對(duì)于問題⑤：(1)如果從右邊出發(fā)，僅利用和(差)的正弦公式作展開合并，就會(huì)得出左式．但為了更好地發(fā)揮本例的訓(xùn)練功能，把兩個(gè)三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點(diǎn)作為思考的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.從方程角度看這個(gè)等式，sinαcosβ，cosαsinβ分別看成兩個(gè)未知數(shù)．二元方程要求得確定解，必須有2個(gè)方程，這就促使學(xué)生考慮還有沒有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相應(yīng)的以sinαcosβ，cosαsinβ為未知數(shù)的二元一次方程組，就容易得到所需要的結(jié)果．(2)由(1)得到以和的形式表示的積的形式后，解決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與(1)沒有什么區(qū)別．只需做個(gè)變換，令α＋β＝θ，α－β＝φ，則α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2)，代入(1)中的式子即得(2)中的式子．證明：(1)因?yàn)閟in(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)，可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①設(shè)α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2).把α，β的值代入①，即得sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2).教師給學(xué)生適時(shí)引導(dǎo)，指出這兩個(gè)方程所用到的數(shù)學(xué)思想，可以總結(jié)出在本例的證明過程中用到了換元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，從而把包含α，β的三角函數(shù)式變換成θ，φ的三角函數(shù)式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通過解方程求得x，這就是方程思想的體現(xiàn)．討論結(jié)果：①α是eq\f(α,2)的二倍角．②sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2).③④⑤略(見活動(dòng))．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1化簡(jiǎn)eq\f(1＋sinx－cosx,1＋sinx＋cosx).活動(dòng)：此題考查公式的應(yīng)用，利用倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解題．教師提醒學(xué)生注意半角公式和倍角公式的區(qū)別，它們的功能各異，本質(zhì)相同，具有對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系．解：原式＝eq\f(2sin2\f(x,2)＋2sin\f(x,2)cos\f(x,2),2cos2\f(x,2)＋2sin\f(x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(2sin\f(x,2)sin\f(x,2)＋cos\f(x,2),2cos\f(x,2)cos\f(x,2)＋sin\f(x,2))＝taneq\f(x,2).點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)基本知識(shí)的考查，重在讓學(xué)生理解倍角公式與半角公式的內(nèi)在聯(lián)系.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)．解：原式＝sin50°(1＋eq\f(\r(3)sin10°,cos10°))＝sin50°·eq\f(2\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°)＝2sin50°·eq\f(sin30°cos10°＋cos30°sin10°,cos10°)＝2cos40°·eq\f(sin40°,cos10°)＝eq\f(sin80°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.例2已知sinx－cosx＝eq\f(1,2)，求sin3x－cos3x的值．活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用立方差公式對(duì)原式變換化簡(jiǎn)，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此題后，教師引導(dǎo)學(xué)生深挖本例的思想方法，由sinx·cosx與sinx±cosx之間的轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生的運(yùn)算、化簡(jiǎn)能力及整體代換思想．本題也可直接應(yīng)用上述公式求之，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝eq\f(11,16).此方法往往適用于sin3x±cos3x的化簡(jiǎn)問題之中．解：由sinx－cosx＝eq\f(1,2)，得(sinx－cosx)2＝eq\f(1,4)，即1－2sinxcosx＝eq\f(1,4)，∴sinxcosx＝eq\f(3,8).∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝eq\f(1,2)(1＋eq\f(3,8))＝eq\f(11,16).點(diǎn)評(píng)：本題考查的是公式的變形、化簡(jiǎn)、求值，注意公式的靈活運(yùn)用和化簡(jiǎn)的方法.變式訓(xùn)練已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，則cos2θ的值是__________．答案：－eq\f(7,25)例3已知eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，求證：eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝1.活動(dòng)：此題可從多個(gè)角度進(jìn)行探究，由于所給的條件等式與所要證明的等式形式一致，只是將A，B的位置互換了，因此應(yīng)從所給的條件等式入手，而條件等式中含有A，B角的正、余弦，可利用平方關(guān)系來減少函數(shù)的種類．從結(jié)構(gòu)上看，已知條件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代換．證明一：∵eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，∴cos4A·sin2B＋sin4A·cos2B＝sin2B·cos2∴cos4A(1－cos2B)＋sin4A·cos2B＝(1－cos2B)cos2即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝∴(cos2A－cos2B)2＝∴cos2A＝cos2B∴sin2A＝sin2B∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝cos2B＋sin2B＝1.證明二：令eq\f(cos2A,cosB)＝cosα，eq\f(sin2A,sinB)＝sinα，則cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.兩式相加，得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝eq\f(cos4B,cos2B)＋eq\f(sin4B,sin2B)＝cos2B＋sin2B＝1.點(diǎn)評(píng)：要善于從不同的角度來觀察問題，本例從角與函數(shù)的種類兩方面觀察，利用平方關(guān)系進(jìn)行了合理消元.變式訓(xùn)練在銳角三角形ABC中，A、B、C是它的三個(gè)內(nèi)角，記S＝eq\f(1,1＋tanA)＋eq\f(1,1＋tanB)，求證：S<1.證明：∵S＝eq\f(1＋tanA＋1＋tanB,1＋tanA1＋tanB)＝eq\f(1＋tanA＋tanB＋1,1＋tanA＋tanB＋tanAtanB)又A＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0，∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1證明eq\f(1＋sinx,cosx)＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．活動(dòng)：解：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)＋\f(x,2),cos\f(π,4)＋\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)cos\f(x,2)＋cos\f(π,4)sin\f(x,2),cos\f(π,4)cos\f(x,2)－sin\f(π,4)sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2))，由左右兩邊的角之間的關(guān)系，想到分子分母同乘以coseq\f(x,2)＋sineq\f(x,2)，得eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(1＋sinx,cosx).方法二：從左邊入手，分子分母運(yùn)用二倍角公式的變形，降倍升冪，得eq\f(1＋sinx,cosx)＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2)).由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以coseq\f(x,2)，得eq\f(1＋tan\f(x,2),1－tan\f(x,2))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan\f(x,2),1－tan\f(π,4)tan\f(x,2))＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是半角公式的靈活運(yùn)用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法.變式訓(xùn)練已知α，β∈(0，eq\f(π,2))且滿足：3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．解法一：3sin2α＋2sin2β＝1?3sin2α＝1－2sin2β，即3sin2α＝cos2β，①3sin2α－2sin2β＝0?3sinαcosα＝sin2β，②①2＋②2：9sin4α＋9sin2αcos2α＝1，即9sin2α(sin2α＋cos2α)＝1，∴sin2α＝eq\f(1,9).∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＝eq\f(1,3).∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·3sinαcosα＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3×eq\f(1,3)＝1.∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋2β∈(0，eq\f(3π,2))．∴α＋2β＝eq\f(π,2).解法二：3sin2α＋2sin2β＝1?cos2β＝1－2sin2β＝3sin2α，3sin2α－2sin2β＝0?sin2β＝eq\f(3,2)sin2α＝3sinαcosα，∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝cosα·3sin2α－sinα·3sinαcosα＝0.∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋2β∈(0，eq\f(3π,2))．∴α＋2β＝eq\f(π,2).解法三：由已知3sin2α＝cos2β，eq\f(3,2)sin2α＝sin2β，兩式相除，得tanα＝cot2β，∴tanα＝tan(eq\f(π,2)－2β)．∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴tanα>0.∴tan(eq\f(π,2)－2β)>0.又∵β∈(0，eq\f(π,2))，∴－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)－2β<eq\f(π,2).結(jié)合tan(eq\f(π,2)－2β)>0，得0<eq\f(π,2)－2β<eq\f(π,2).∴由tanα＝tan(eq\f(π,2)－2β)，得α＝eq\f(π,2)－2β，即α＋2β＝eq\f(π,2).例2求證：eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α).活動(dòng)：證明三角恒等式，一般要遵循“由繁到簡(jiǎn)”的原則，另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法．證明：證法一：左邊＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α)＝右邊．∴原式成立．證法二：右邊＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝左邊．∴原式成立．點(diǎn)評(píng)：此題進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生三角恒等式的變形，靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式的能力以及邏輯推理能力.變式訓(xùn)練求證：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).分析：運(yùn)用比例的基本性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)原式等價(jià)于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)，此式右邊就是tan2θ.證明：原等式等價(jià)于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝tan2θ.而上式左邊＝eq\f(sin4θ＋1－cos4θ,sin4θ＋1＋cos4θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋2sin22θ,2sin2θcos2θ＋2cos22θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋sin2θ,2cos2θsin2θ＋cos2θ)＝tan2θ＝右邊．∴上式成立，即原等式得證.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．若sinα＝eq\f(5,13)，α在第二象限，則taneq\f(α,2)的值為()A．5B．－5C.