七年級數(shù)學上冊培優(yōu)專題12 角中的動點問題-解析版

/培優(yōu)專題12角中的動態(tài)問題類型一：運動的三角尺問題1．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉180°．【解決問題】（1）在旋轉過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數(shù)量關系？（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運動過程中，如圖2，形成的三個角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當其中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．①第（2）問中旋轉后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？②在整個旋轉過程中，若旋轉時間記為t秒，當射線OC是“優(yōu)線”時，請直接寫出所有滿足條件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由見解析；（3）①是，理由見解析；②t=2，3，4，9，12【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形可得結論；（2）分別計算出角的度數(shù)可得結論；（3）①根據(jù)“優(yōu)線”的定義可判斷；②根據(jù)題意全面考慮所有可能并分類討論可得t的值．【詳解】（1）如圖，當OC在∠AOB內(nèi)部時，∠AOC+∠BOC=∠AOB，當OC在∠AOB外部時，∠AOC-∠BOC=∠AOB，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB（2）有，理由如下：射線OD平分∠AOB，射線OB平分∠COD．當運動時間為9秒時，∠AOC=15°×9=135°則∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°因為∠COD=90°，所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°∠BOC=∠BOD=45°所以射線OB平分∠COD又因為∠BOD=45°=∠AOB所以射線OD平分∠AOB（3）①是，理由如下：第（2）問中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°則∠AOB=2∠BOC所以OC是∠AOB的“優(yōu)線”．②由題意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，當∠BOC＝2∠AOC時，∠AOC＝30°，∴15t＝30，解得t＝2；當∠AO＝2∠AOC時，∠AOC＝45°，∴15t＝45，解得t＝3；當∠AOC＝2∠BOC時，∠AOC＝60°，∴15t＝60，解得t＝4；當∠AOB＝2∠BOC時，∠AOC＝135°，∴15t＝135，解得t＝9；當∠AOC＝2∠AOB時，∠AOC＝180°，∴15t＝180，解得t＝12．綜上，t＝2，3，4，9，12．【點睛】本題主要考查了三角尺中角度的計算，幾何圖形中角的計算，根據(jù)題意全面考慮所有可能以分類討論是解題的關鍵．2．（2022·河南·鄭州中學七年級期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，樂樂同學利用一副三角板能畫出來的角是______；（填序號）(2)在探究過程中，愛動腦筋的樂樂想起了圖形的運動方式有多種．如圖1，她先用三角板畫出了直線EF，然后將一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的頂點，與60°角（∠COD）的頂點互相重合，且邊OA，OC都在直線EF上．固定三角板COD不動，將三角板AOB繞點O按順時針方向每秒旋轉5°（如圖2），當邊OB第一次落在射線OF上時停止，是否存在一個時間t（秒）使∠BOC＝3∠AOD？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①④(2)存在當或時，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角板的特點求解即可；（2）分兩種情況當OA在∠DOE內(nèi)時，當OA在∠DOE外部時，利用角之間的關系求解即可．（1）解：∵一副三角板有的度數(shù)為30°，45°，60°，90°，∴用一副三角板可以畫出的角的度數(shù)為15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能畫出25°，35°，65°，故答案為：①④；（2）解：存在當或時，，理由如下：由題意得：，，，∴，，分兩種情況：當OA在∠DOE內(nèi)時，如圖2-1所示，∴，∵，∴，解得，∵，∴符合題意；當OA在∠DOE外部時，如圖2-2所示∴，∵，∴，解得，∵，∴符合題意；∴當或時，．【點睛】本題主要考查了三角板和幾何中角度的計算，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．3．（2022·福建福州·七年級期末）一副三角尺（分別含∠B＝∠AOB＝45°，∠A＝90°和∠D＝30°，∠COD＝60°，∠C＝90°）按如圖所示擺放使得B、O、D三點共線．將三角尺ABO繞點O以每秒4°的速度順時針旋轉，當邊AO與OD重合時停止運動，設三角尺ABO的運動時間為t秒．(1)當t＝10時，∠AOD＝°．(2)求出當t為何值時，邊AO平分∠COD．(3)若在三角尺ABO開始旋轉的同時，三角尺OCD也繞點O以每秒1°的速度逆時針旋轉，當三角尺ABO停止旋轉時，三角尺OCD也停止旋轉．在旋轉過程中，是否存在某一時刻使∠AOD＝2∠BOC，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)95(2)秒(3)21秒或27秒【分析】（1）根據(jù)t=10算出旋轉的度數(shù)，從而得到∠AOD；（2）畫出圖形，求出∠AOD的度數(shù)，再求出旋轉角，除以轉動速度即可；（3）分當OB在OC左側和當OB在OC右側兩種情形，結合圖形分別求解．(1)解：當t＝10時，三角尺ABO旋轉了4×10=40°，∴∠AOD=180°-45°-40°=95°；(2)當邊AO平分∠COD時，∵∠COD=60°，∴∠AOC=∠AOD=30°，∴旋轉角為：180°-45°-30°=105°，∴t=105÷4=；(3)存在，理由是：在旋轉過程中，∠AOD=180°-45°-（4+1）t=135°-5t，當OB在OC左側時，∠BOC=180°-60°-（4+1）t=120°-5t，135°-5t=2（120°-5t），解得：t=21；當OB在OC右側時，∠BOC+∠AOD=60°-45°=15°，∴∠AOD=×15°=10°，∴t=（180°-45°）÷（4+1）=27；綜上：t的值為21秒或27秒．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的變化，角平分線的定義，角的計算，利用三角板的特殊角，分清運動的情形是解題的關鍵．4．（2021·福建三明·七年級期末）一副三角尺按照如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點以每秒的速度順時針旋轉，當邊與刻度線重合時停止運動.設三角尺的運動時間為（秒）（1）當秒時，邊經(jīng)過的量角器刻度線對應的度數(shù)為_;（2）秒時，邊平分;（3）若在三角尺開始旋轉的同時，三角尺也繞點以每秒的速度逆時針旋轉，當三角尺停止旋轉時，三角尺也停止旋轉，①當為何值時，邊平分;②在旋轉過程中，是否存在某一時刻，使得.若存在，請求出的值;若不存在，請說明理由.【答案】（1）115°；（2）26.25；（3）①21秒，②秒或秒【分析】（1）秒時，邊經(jīng)過量角器刻度對應的度數(shù)是，由由旋轉知，，進而即可得到答案；（2）由旋轉知，旋轉角為度，根據(jù)題意，列出關于t的方程，即可求解；（3）①類似（2）題方法，列出關于t的方程，即可求解；②分兩種情況：當邊在邊左側時，當邊在邊右側時，用含t的代數(shù)式分別表示出與，進而列出方程，即可求解．【詳解】當秒時，由旋轉知，，是等腰直角三角形，，即：秒時，邊經(jīng)過量角器刻度對應的度數(shù)是，旋轉秒時，邊經(jīng)過量角器刻度對應的度數(shù)是，故答案為：；由旋轉知，旋轉角為度，邊平分且，，解得：，故答案為:；①同的方法得：，解得：；②當邊在邊左側時，由旋轉知，，，，，解得：，當邊在邊右側時，由旋轉知，，或，，或，解得：(不合題意舍去)或，綜上所述：秒或秒時，．【點睛】本題主要考查一元一次方程與角的和差倍分關系的綜合，根據(jù)等量關系，列出一元一次方程，是解題的關鍵．類型二：角的動線問題5．（2020·河南平頂山·七年級期末）如圖①，直線上依次有、、三點，若射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉，同時射線繞點沿逆時針方向以每秒的速度旋轉，如圖②，設旋轉時間為秒（）．（1）__________度，__________度．（用含的代數(shù)式表示）（2）在運動過程中，當?shù)扔跁r，求的值．（3）在旋轉過程中是否存在這樣的，使得射線平分或(，均為小于的角)？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．

【答案】（1）度，度；（2）當?shù)扔跁r，t=20或40；（3）射線平分或時，t=18或36.【分析】（1）∠POA的度數(shù)等于OA旋轉速度乘以旋轉時間，∠QOB的度數(shù)等于OB旋轉速度乘以旋轉時間；（2）分OA與OB相遇前，∠AOB=60°，和OA與OB相遇后，∠AOB=60°，兩種情況，列出關于t的等式，解出即可；（3）分OB平分∠AOQ和OB平分∠AOP兩種情況，列出關于t的等式，解出即可.【詳解】（1）度，度；（2）①OA與OB相遇前，∠AOB=60°，；②OA與OB相遇后，∠AOB=60°，，綜上，當?shù)扔跁r，t=20或40；（3）①OB平分∠AOQ時，∠AOQ=2∠BOQ，；②OB平分∠AOP時，∠AOP=2∠BOP，，綜上，射線平分或時，t=18或36.【點睛】本題是對角度動態(tài)問題的考查，熟練掌握角的計算和角平分線性質的運用，準確根據(jù)題意列出方程是解決本題的關鍵，難度相對較大.6．（2017·福建泉州·七年級階段練習）如圖，點A，B在以點O為圓心的圓上，且∠AOB=30°，如果甲機器人從點A出發(fā)沿著圓周按順時針方向以每秒5°的速度行駛；乙機器人同時從點B出發(fā)沿著圓周按逆時針方向行駛，速度是甲機器人的兩倍，經(jīng)過一段時間后，甲、乙分別運動到點C，D，當以機器人到達點B時，甲乙同時停止運動，設運動時間為t，(1)當t=2秒時，則∠COD的度數(shù)是________；并請你直接寫出用含t的代數(shù)式表示∠BOC，則∠BOC=________(2)探究：當時間為多少秒時，點C與點D相遇？(3)在機器人運動的整個過程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲運動的時間．【答案】(1)60°；30+5t(2)22秒(3)4秒，16秒，28秒【分析】（1）根據(jù)角的和差定義計算即可；（2）根據(jù)∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°，構建方程即可解決問題；（3）分三種情形討論，分別構建方程即可解決問題；（1）當t=2秒時，∠AOC=20°，∠BOD=10°，∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°，∠BOC=（30+5t）°，故答案為60°，（30+5t）°；（2）甲機器人的運動速度每秒為5°，乙機器人的運動速度為每秒10°，∴∠AOC=5t，則∠BOD=10t，∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°∴5t+10t+30=360，解得：t=22．所以，當時間為22秒時，點C與點D相遇．（3）分三種情況討論：①當OC，OD運動到如圖1所示的位置時，設甲的運動時間為t秒，則∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t=90，解得：t=4；②當OC，OD運動到如圖2所示的位置時，設甲的運動時間為t秒，則∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；③當OC，OD運動到如圖3所示的位置時，設甲的運動時間為t秒，則∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t﹣90=360，解得：t=28；綜上，甲運動的時間分別為4秒，16秒，28秒符合題意．【點睛】本題考查一元一次方程的應用、角的和差定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會正確尋找等量關系，構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．7．（2022·湖北武漢·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，則∠AOC＝∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于∠BOD＝∠AOD，稱射線OD是射線OB的伴隨線．【知識運用】（1）如圖2，∠AOB＝120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM＝°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是．（用含α的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如∠AOB＝180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉，當射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．②當t為多少秒時，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．【答案】（1）；（2）存在，t＝20秒或25秒；（3）或或或30s【分析】（1）根據(jù)伴隨線定義即可求解；（2）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后進行列式計算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后四個圖形進行計算即可．【詳解】解：（1）如圖，射線是OA的伴隨射線，,，同理，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，,射線OC是∠AOB的平分線，,=，故答案為：（2）射線OD與OA重合時，t＝＝36（秒）①當∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若在相遇之前，則180﹣5t﹣3t＝20，∴t＝20；若在相遇之后，則5t+3t﹣180＝20，∴t＝25；所以，綜上所述，當t＝20秒或25秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②相遇之前：（i）如圖1，OC是OA的伴隨線時，則∠AOC＝∠COD即

3t＝（180﹣5t﹣3t）∴t＝（ii）如圖2，OC是OD的伴隨線時，則∠COD＝∠AOC即180﹣5t﹣3t＝3t∴t＝相遇之后：（iii）如圖3，OD是OC的伴隨線時，則∠COD＝∠AOD即5t+3t﹣180＝（180﹣5t）∴t＝（iv）如圖4，OD是OA的伴隨線時，則∠AOD