基于傅里葉結合小波分析的漸進成形回彈補償

基于傅里葉結合小波分析的漸進成形回彈補償

在大復雜零件的加工中，有必要采用多工作路徑的彎變形方法。這種方法是一種柔性的板料形成工藝。將工作場所的復雜零件離散，將工作場所的復雜幾何信息轉換為多個單通道的彎曲參數(shù)，然后通過計算機數(shù)字控制每條構件的進給量和凸模的壓縮性，從而實現(xiàn)高精度工作所必需的折疊變形。由于彎曲變形不可避免地存在返回，回波是板料折疊半徑和彎曲角度的變化，降低了零件的幾何精度，并影響了后續(xù)安裝。近年來結合有限元模擬技術和實驗等手段,研究出多種模具型面修正的補償算法.W.Gan等提出了位移修正法(DAM),J.Weiher等提出了平滑的位移修正法(SDAM),A.P.Karafillis等提出了反向補償法.Cheng等提出了一種加速的回彈補償算法,雖獲得更快的收斂速度,但易趨于局部優(yōu)化,難以獲得更高的全局總體精度.Webb等提出了成形傳遞函數(shù)法(DTFM),該方法通過尋找實驗模具形狀和沖壓件形狀之間的傳遞函數(shù)來計算模具型面的修正量,但使用的傅里葉變換是一種全局變換,易丟失局部信息.本文嘗試在傅里葉變換和小波變換相結合的基礎上,采用離線的閉環(huán)成形方法進行折彎凸模型面修正.1閉合矩陣法的形成1.1成形過程傳遞函數(shù)板材多道漸進折彎是離散的成形過程,采用小增量線性化簡化,將離線閉環(huán)控制系統(tǒng)視為小增量線性離散系統(tǒng),如圖1所示.圖中:p*為成形件目標形狀;di為第i次成形時凸模型面形狀;pi為第i次成形件形狀;Δdi=di-di-1為凸模型面修正量;ei=p*-pi為成形件形狀誤差;gp為成形過程傳遞函數(shù);gc為離線閉環(huán)系統(tǒng)控制函數(shù).由于di和pi在本次成形前是未知的,反饋量只能取前一次結果di-1和pi-1,因此需要在模型中加入延時z-1.1.2初始成形工藝參數(shù)的修正傳遞函數(shù)反映的是折彎凸模型面到漸進成形后工件型面的變化關系.漸進成形過程與模具形狀、成形工藝參數(shù)及成形件材料等諸多因素有關.工件材料確定后,成形件的幾何形狀(p)主要取決于折彎凸模形狀(d)和成形工藝參數(shù)(Γ),三者的關系可表達為p=f(x)?(1)式中x=(d,Γ).設初始的凸模形狀和初始成形工藝參數(shù)為x0=(d0,Γ0),回彈補償實際上是對d0進行修正,將式(1)在初始狀態(tài)點x0處泰勒展開得p=f(x0)+f(x0)′(x-x0)+?+[f(x0)(n)/n!](x-x0)n+Rn(x)?(2)式中Rn(x)=[f(sx)(n+1)/(n+1)!](x-x0)(n+1)(0<s<1).因展開式中兩階以上多項式值接近于零,故可忽略,式(2)可近似表示為Δp=gpΔd?(3)式中:Δp=p-p0;Δd=d-d0;gp=(?p/?d)|d=d0.按圖1所示,定義控制系統(tǒng)總增益k=gcgp,控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為pi/p*=gcgpz/[z(z-1)]=kz/[z(z-1)],其閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(z)=k/(z-1+k).(4)1.3閉環(huán)控制穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性可采用離散根軌跡法進行分析研究.系統(tǒng)的離散根軌跡是閉環(huán)特征根在z平面上移動的軌跡,因此用z平面上系統(tǒng)根軌跡可求解閉環(huán)穩(wěn)定性.按照式(4),該閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程可表示為D(z)=z-1+k=0.當k從0→∞時,用Matlab繪制z平面上閉環(huán)控制系統(tǒng)根軌跡.得到當k=1時,線性離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的且系統(tǒng)響應速度最快,因此當k=1時推導出的凸模修正算法將使成形件形狀以最快速度收斂到目標形狀.2基于余弦變換的逆變換傅里葉變換(FT)是一種全局變換,而小波變換具有良好的時域和頻域局部特性.小波分析的存在性和證明都依賴于傅里葉分析,它不能完全取代傅里葉分析.因此,應通過它們的組合,將凸模和成形件型面形狀數(shù)據的傅里葉時域表示變換為小波頻域表示.小波函數(shù)若選取形如香農小波類型的函數(shù),則可以利用FT實現(xiàn)小波變換.即離散信號的小波變換及逆變換可以通過FT得到.若將信號進行偶延拓,則信號的FT變成信號的余弦變換,因此可以借助余弦變換來實現(xiàn)該非緊支集的正交小波變換及其逆變換.根據前面分析,當閉環(huán)控制系統(tǒng)總增益k=1時,可保證控制系統(tǒng)的“穩(wěn)、準、快”.由k=gcgp=1,得gc=g-1p.根據式(3),當Δd很小時,成形過程傳遞函數(shù)矩陣gp可以通過2次開環(huán)成形進行系統(tǒng)辨識得到的?gp來近似替代,即gp=?gp=Δp/Δd=(p2-p1)/(d2-d1),于是gc=g-1p=(d2-d1)/(p2-p1),式中d1,d2,p1和p2按FT和小波變換方法轉換成空間頻域的參數(shù)表示形式.以大寫字母設定為相應的小波變換頻域表示,上式改寫為Gc=G-1p=?G-1p=ΔDΔΡ=D2-D1Ρ2-Ρ1.假設第一次閉環(huán)成形時,凸模型面為d*時對應成形件形狀為目標工件形狀p*,那么凸模型面修正前后形狀偏差Δd′=d*-d1,成形件形狀偏差Δp′=p*-p1,凸模和成形工件的三維曲面采用小波變換頻域表示,根據以上推導,即Gc=(D2-D1)/(p2-p1)=(D*-D1)/(p*-p1)整理得D*=D1+(D2-D1)(p*-p1)/(p2-p1),該式為離線閉環(huán)凸模修正算法公式.對D*進行小波逆變換就可得到凸模型面離散數(shù)據點集.實際成形過程中需進行多次離線閉環(huán)迭代修正,才能獲得更高的成形精度.設迭代次數(shù)為i,離線閉環(huán)凸模修正的迭代算法為Di+1=Di+(Ρ*-Ρi)?G-1p.3實際應用3.1回彈半徑的確定已知工件長11535mm,高453mm,其截面橢圓長軸為574mm,短半軸為255mm,板厚t=7mm.板材牌號為WELDOX900,其屈服強度σ=950.8MPa,彈性模量E=203130MPa,密度ρ=7830kg/m3,泊松比λ=0.284,應變硬化指數(shù)為0.156,各向異性系數(shù)為1.023.如圖2所示,規(guī)劃該工件(按中性層)要經9道次(工步)折彎.確保每一道次的回彈圓弧段的圓心在小半橢圓上,每一道次的回彈圓弧段的中心在大半橢圓上.由幾何作圖得到2個同心半橢圓的最大偏置值為201.5mm,這將使得每一道次的回彈圓弧段為逼近大半橢圓的最理想曲線.圖中每一道次工件的回彈半徑均為R=201.5mm-t/2=198mm,由回彈半徑數(shù)學模型公式求解得到凸模半徑r=142mm.同時確定另外2個凸模半徑r2=139mm,r3=145mm,凸模寬度b=200mm,凹模開口w=240mm.這3套模具參數(shù)用于隨后的工件成形回彈實驗的數(shù)值模擬.3.2板料回彈過程ABAQUS算法非常適合多道次漸進折彎工藝的數(shù)值模擬.采用適合動態(tài)和非線性分析的ABAQUS/Explicit顯式模塊模擬板料成形過程,適合靜態(tài)和穩(wěn)態(tài)分析的ABAQUS/Standard隱式模塊模擬板料的回彈過程.選取金屬板材的尺寸為1237mm×500mm×7mm,板材牌號為WELDOX900.凸模的沖壓速度設定為8mm/s.質量放大系數(shù)取10.工件的折彎道次為9,每一道次的板料進給量和回彈角來自于成形工藝的幾何規(guī)劃如圖2所示.建立一個多道漸進折彎成形的三維有限元模型.板材被劃分為13851個節(jié)點和4500個單元(ABAQUStypeS8R),為變形體.凸凹模為解析剛體.金屬板與凸凹模接觸條件遵循主從面搜尋算法、罰函數(shù)接觸力算法及庫侖摩擦定律,其中板料與凸凹模具的摩擦系數(shù)取0.12.板材成形遵循Hill各向異性屈服準則.3.3復合曲面模優(yōu)化在同一坐標系中,采用GeomagicQualify將模擬的成形件曲面上單元節(jié)點與目標工件CAD模型進行配準,經離散CAD模型可得到在配準狀態(tài)下各自的點云.數(shù)據被讀入Matlab,利用griddata對其進行插值,得到規(guī)則網格,實現(xiàn)點云數(shù)據規(guī)則化.然后采用凸模修正算法,在Matlab平臺上求解得到凸模型面修正后的網格.最后,對由凸模型面網格轉換而來的點云進行曲面重構,且對重構后的三維曲面進行低通濾波降噪處理,得到理想的凸模CAD實體模型,其截面如圖3所示.它由3個圓弧段型面組合而成,該復合曲面模優(yōu)化修正了傳統(tǒng)折彎模的單一圓弧段型面.經過第3次凸模修正后模擬成形的工件與目標工件幾乎是相同的.圖4顯示的是凸模迭代修正后成形工件的歸一化均方根形狀誤差(δ)隨凸模修正迭代循環(huán)次數(shù)n的變化.δ=(Ν∑k=1Δz2k/Ν)1/2,式中:Δzk為第k個均分點在高度方向上成形工件與目標工件的形狀位置差值;N為橢圓長半軸上均分點總數(shù)(取N=22).可以看出,工件形狀誤差收斂速度非?？?3次迭代循環(huán)后就