2022-2023學(xué)年江西省宜春市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省宜春市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而可求解.【詳解】由得，所以，故選：A2．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算求解即可得切線方程.【詳解】因為函數(shù)，所以，則，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：C.3．已知直線與圓相交于、兩點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】求出圓心坐標與半徑，再求出圓心到直線的距離，最后根據(jù)弦長公式計算可得.【詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以．故選：A4．“錦里開芳宴，蘭缸艷早年.”元宵節(jié)是中國非常重要的傳統(tǒng)節(jié)日，某班級準備進行“元宵福氣到”抽獎活動福袋中裝有標號分別為1，2，3，4，5的五個相同小球，從袋中一次性摸出三個小球，若號碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎.若有5名同學(xué)參與此次活動，則恰好3人獲獎的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出抽一次獲獎的概率，設(shè)5人中獲獎人數(shù)為，則，然后由二項分布的概率公式計算概率．【詳解】每次抽獎中，總情況數(shù)為種，獲獎的共有這4種，所以，設(shè)5人中獲獎人數(shù)為，則，所以，故選：C.5．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1千克蓮藕，成本增加0.5元.種植萬千克蓮藕的銷售額（單位：萬元）是（是常數(shù)），若種植2萬千克，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（

）A．8萬千克 B．6萬千克 C．3萬千克 D．5萬千克【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出銷售利潤的函數(shù)解析式，，根據(jù)種植2萬千克，利潤是2.5萬元，求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出答案.【詳解】解：種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元)為，，即，，當時，，解得，故，，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，利潤最大.故選：B6．數(shù)列滿足，?，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項，再分離參數(shù)，借助數(shù)列單調(diào)性求解作答.【詳解】因為數(shù)列滿足，則，而，因此數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，即，又?，因此對恒成立，即，而數(shù)列是遞增數(shù)列，則當時，，有，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B7．已知雙曲線的上、下焦點分別為、，過點且與一條漸近線垂直的直線與的上支交于點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)雙曲線的焦距為，不妨取的一條漸近線為，進而取線段的中點為，結(jié)合雙曲線的定義，求得，進而結(jié)合勾股定理建立關(guān)系得，再求離心率即可.【詳解】解：設(shè)雙曲線的焦距為，則不妨取的一條漸近線為，則直線的方程為，設(shè)垂足為，則易知，，因為，所以，由雙曲線的定義知，設(shè)線段的中點為，則，所以，所以，在中，，即，所以，化簡整理得，所以，離心率為.故選：C8．若函數(shù)有兩個極值點，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，，由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進而再根據(jù)，得到的范圍，再由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因為，所以，令，因為函數(shù)有兩個極值點，，所以函數(shù)在上有兩個不等實根，則，解得，因為，且，，所以，且，所以，．令函數(shù)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍為．故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由在上有兩個不等實根，求得a的范圍，進而再根據(jù)，得到的范圍而得解.二、多選題9．下列式子求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及加減乘除和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A,,故A正確，對于B,,故B錯誤，對于C，，故C正確，對于D，，故D錯誤，故選：AC10．設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項積為，若，則（

）A． B．當時，C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標和的性質(zhì)和應(yīng)用判斷ABC，根據(jù)基本不等式的應(yīng)用判斷D.【詳解】A選項：因為，所以，所以A不正確；B選項：因為，，則，所以，所以，所以B正確；C選項：因為，所以，所以，所以C正確；D選項：，當且僅當時，等號成立．所以D正確．故選：BCD．11．設(shè)，則下列說法正確的是（

）A． B．C．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項 D．【答案】BD【分析】對于A，令，從而即可判斷；對于B，令，結(jié)合A的結(jié)論，即可判斷；對于C，由二次項的展開式中系數(shù)的特征即可判斷；對于D，利用二次項的展開式公式求出即可判斷.【詳解】解：對于A，令得，故A不正確；對于B，令得，而由A知：，因此，故B正確；對于C，因為的展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，故C不正確；對于D，因為的展開式中，，所以，，因此，，所以，故D正確．故選：BD.12．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是的極小值點B．函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為C．函數(shù)有且只有1個零點D．不存在正實數(shù)k，使成立【答案】AB【分析】對A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求極值點；對B：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運算；對C：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析零點問題；對D：結(jié)合選項C中的結(jié)論分析判斷.【詳解】對A：函數(shù)的定義域為，，當時，；當時，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A正確；對B：設(shè)直線與函數(shù)的圖像相切，切點坐標為，由，可得，解得，所以，即切點為，則切點到直線的距離為，即函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為，故B正確；對C：因為，所以，當時，；當時，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)不存在零點，故C不正確，對D：由選項C可知：，即恒成立，所以存在正實數(shù)k，使恒成立，故D錯誤．故選：AB．【點睛】方法點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、零點問題和不等式問題等，基礎(chǔ)性與綜合性并舉，對考生的邏輯推理能力、運算求解能力、分析問題和解決問題的能力等思維能力要求比較高．注意極值點和零點都是數(shù)，不是點，不要混淆．對于選項B，注意數(shù)形結(jié)合，將直線平移，使之與曲線相切，求出切點，再利用點到直線的距離公式求解．三、填空題13．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【分析】先求定義域，求導(dǎo)后令求得不等式解集，結(jié)合定義域最終求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域為，，令得：，結(jié)合定義域，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：14．盲盒常指裝有不同公仔手辦，但消費者不能提前得知款式的盒裝玩具，一般按系列販售．它的隨機性和一些隱藏款吸引著很多年輕人重復(fù)購買．小明購買了5個冰墩墩單只盲盒，拆開后發(fā)現(xiàn)有2個相同的“竹林春熙”以及“冰雪派對”、“青云出岫”、“如意東方”各1個．小明想將這5個擺件排成一排，要求相同的擺件不相鄰．若相同擺件視為相同元素，則一共有種擺放方法．【答案】36【分析】利用插空法計算即可.【詳解】記2個相同的“竹林春熙”為A，A，“冰雪派對”為B，“青云出岫”為C，“如意東方”為D，先擺放B，C，D，一共有種擺放方式，再將2個A插空放入，有種擺放方式，所以，一共有種擺放方式．故答案為：36.15．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過F的直線交C于P、Q兩點，交l于點M，且，則．【答案】9【分析】根據(jù)拋物線的定義及，利用比例關(guān)系求解即可.【詳解】過分別作準線的垂線，垂足分別為，準線與軸交于，如圖，由知，，準線，所以，根據(jù)拋物線定義得，，因為，所以，又，所以為中位線，所以，所以，所以，所以，所以，故答案為：916．已知，對，且，恒有，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)對條件做出的解釋構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】對，且，恒有，即，所以函數(shù)是增函數(shù)，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故恒成立，即，設(shè)，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即；故答案為：.四、解答題17．已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，成等比數(shù)列可得，與進行聯(lián)立即可求解；（2）由（1）得，利用裂項相消法即可.【詳解】（1）設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為，首項為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即①，又，所以②，聯(lián)立①②解得，故.（2）由（1）可知，，所以數(shù)列的前n項和.18．已知函數(shù)在處取得極小值-2.(1)求實數(shù)的值；(2)若，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，求解即可.（2）問題等價于，利用導(dǎo)數(shù)法求得的最大值和最小值，從而可以求解.【詳解】（1），因為函數(shù)在處取得極小值-2，所以，即，解得．經(jīng)檢驗，當，時，在處取到極小值，所以，.（2）由（1）可知，，則令，解得或，而，所以當，時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.又所以當時，.若，都有成立，只需，所以.故實數(shù)的取值范圍為.19．已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點，現(xiàn)在將沿著CD進行翻折，使得翻折后S點在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點，如圖乙所示.(1)證明：平面SBC；(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取SB的中點為N，連接MN，CN，先證MNCD為平行四邊形，可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）易得平面SBC的法向量，根據(jù)平面法向量的求法求出平面ADS的法向量，代入向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：取SB的中點為N，連接MN，CN，如圖所示：在圖甲中，∵C，D分別為SB，SA上的中點，∴，，又∵M，N分別為SA，SB的中點，∴，，∴MNCD為平行四邊形，∴，又∵平面SBC，平面SBC，∴平面SBC.（2）∵，∴，，，∴平面SBC，又平面ABCD，平面平面ABCD，因為S點在底面的投影H在線段BC上，∴平面ABCD，∴.SC與平面ABCD所成角的平面角為，，過H作，則HP，HB，HS兩兩互相垂直，以H為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，易知為平面SBC的一個法向量；設(shè)為平面ADS的一個法向量，則有，可取，設(shè)平面ADS與平面SBC所成銳二面角的大小為，則，所以平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.20．已知正項數(shù)列中，．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)計算即可得解；（2）利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）當時，，解得，由當時，，得當時，，兩式相減得，即，又，所以，又適合上式，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以；（2），則，，兩式相減得，所以.21．已知橢圓過點，且離心率為(1)求橢圓E的標準方程；(2)若直線l與橢圓E相切，過點作直線l的垂線，垂足為N，O為坐標原點，證明：為定值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓過點，得到，再由橢圓的離心率為，求出的值，從而求到橢圓的標準方程；（2）對直線的斜率為0、斜率不存在及斜率存在且不為0三種情況討論，從而求出，得到結(jié)論.【詳解】（1）因為橢圓過點，所以，又，，所以，得到，所以橢圓的標準方程為.（2）當直線斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，消去并整理，得，因為直線與橢圓有且只有一個公共點，所以方程有兩個相等的根，，化簡整理得因為直線與垂直，所以直線的方程為，聯(lián)立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，為定值；當直線斜率為0時，直線，過點作直線的垂線，則垂線方程為，此時或，，為定值；當直線斜率不存在時，直線，過點作直線的垂線，則垂線方程為，此時或，，為定值；綜上所述，，為定值.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分，和討論導(dǎo)函數(shù)的正負，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求解即可；（3）結(jié)合前面的解析，取時，則，利用不等式的放縮即可證明.【詳解】（1）由題意可知的定義