2022-2023學(xué)年江西省宜春市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省宜春市高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.【詳解】由得，所以，故選：A2．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求解即可得切線方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：C.3．已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以．故選：A4．“錦里開芳宴，蘭缸艷早年.”元宵節(jié)是中國(guó)非常重要的傳統(tǒng)節(jié)日，某班級(jí)準(zhǔn)備進(jìn)行“元宵福氣到”抽獎(jiǎng)活動(dòng)福袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的五個(gè)相同小球，從袋中一次性摸出三個(gè)小球，若號(hào)碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng).若有5名同學(xué)參與此次活動(dòng)，則恰好3人獲獎(jiǎng)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出抽一次獲獎(jiǎng)的概率，設(shè)5人中獲獎(jiǎng)人數(shù)為，則，然后由二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算概率．【詳解】每次抽獎(jiǎng)中，總情況數(shù)為種，獲獎(jiǎng)的共有這4種，所以，設(shè)5人中獲獎(jiǎng)人數(shù)為，則，所以，故選：C.5．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬(wàn)千克，每種植1千克蓮藕，成本增加0.5元.種植萬(wàn)千克蓮藕的銷售額（單位：萬(wàn)元）是（是常數(shù)），若種植2萬(wàn)千克，利潤(rùn)是2.5萬(wàn)元，則要使利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕（

）A．8萬(wàn)千克 B．6萬(wàn)千克 C．3萬(wàn)千克 D．5萬(wàn)千克【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出銷售利潤(rùn)的函數(shù)解析式，，根據(jù)種植2萬(wàn)千克，利潤(rùn)是2.5萬(wàn)元，求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出答案.【詳解】解：種植萬(wàn)千克蓮藕的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為，，即，，當(dāng)時(shí)，，解得，故，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，利潤(rùn)最大.故選：B6．?dāng)?shù)列滿足，?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)，再分離參數(shù)，借助數(shù)列單調(diào)性求解作答.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，則，而，因此數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，即，又?，因此對(duì)恒成立，即，而數(shù)列是遞增數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且與一條漸近線垂直的直線與的上支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)雙曲線的焦距為，不妨取的一條漸近線為，進(jìn)而取線段的中點(diǎn)為，結(jié)合雙曲線的定義，求得，進(jìn)而結(jié)合勾股定理建立關(guān)系得，再求離心率即可.【詳解】解：設(shè)雙曲線的焦距為，則不妨取的一條漸近線為，則直線的方程為，設(shè)垂足為，則易知，，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義知，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以，所以，在中，，即，所以，化簡(jiǎn)整理得，所以，離心率為.故選：C8．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，由在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍，再由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以函數(shù)在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，因?yàn)椋?，，所以，且，所以，．令函?shù)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍為．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍而得解.二、多選題9．下列式子求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及加減乘除和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,,故A正確，對(duì)于B,,故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故C正確，對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：AC10．設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)和應(yīng)用判斷ABC，根據(jù)基本不等式的應(yīng)用判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以A不正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，，則，所以，所以，所以B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以，所以C正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以D正確．故選：BCD．11．設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng) D．【答案】BD【分析】對(duì)于A，令，從而即可判斷；對(duì)于B，令，結(jié)合A的結(jié)論，即可判斷；對(duì)于C，由二次項(xiàng)的展開式中系數(shù)的特征即可判斷；對(duì)于D，利用二次項(xiàng)的展開式公式求出即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，令得，故A不正確；對(duì)于B，令得，而由A知：，因此，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榈恼归_式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)榈恼归_式中，，所以，，因此，，所以，故D正確．故選：BD.12．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是的極小值點(diǎn)B．函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線的最短距離為C．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)D．不存在正實(shí)數(shù)k，使成立【答案】AB【分析】對(duì)A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)；對(duì)B：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析運(yùn)算；對(duì)C：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析零點(diǎn)問(wèn)題；對(duì)D：結(jié)合選項(xiàng)C中的結(jié)論分析判斷.【詳解】對(duì)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A正確；對(duì)B：設(shè)直線與函數(shù)的圖像相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可得，解得，所以，即切點(diǎn)為，則切點(diǎn)到直線的距離為，即函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線的最短距離為，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)不存在零點(diǎn)，故C不正確，對(duì)D：由選項(xiàng)C可知：，即恒成立，所以存在正實(shí)數(shù)k，使恒成立，故D錯(cuò)誤．故選：AB．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、零點(diǎn)問(wèn)題和不等式問(wèn)題等，基礎(chǔ)性與綜合性并舉，對(duì)考生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力等思維能力要求比較高．注意極值點(diǎn)和零點(diǎn)都是數(shù)，不是點(diǎn)，不要混淆．對(duì)于選項(xiàng)B，注意數(shù)形結(jié)合，將直線平移，使之與曲線相切，求出切點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解．三、填空題13．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【分析】先求定義域，求導(dǎo)后令求得不等式解集，結(jié)合定義域最終求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，令得：，結(jié)合定義域，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：14．盲盒常指裝有不同公仔手辦，但消費(fèi)者不能提前得知款式的盒裝玩具，一般按系列販?zhǔn)郏碾S機(jī)性和一些隱藏款吸引著很多年輕人重復(fù)購(gòu)買．小明購(gòu)買了5個(gè)冰墩墩單只盲盒，拆開后發(fā)現(xiàn)有2個(gè)相同的“竹林春熙”以及“冰雪派對(duì)”、“青云出岫”、“如意東方”各1個(gè)．小明想將這5個(gè)擺件排成一排，要求相同的擺件不相鄰．若相同擺件視為相同元素，則一共有種擺放方法．【答案】36【分析】利用插空法計(jì)算即可.【詳解】記2個(gè)相同的“竹林春熙”為A，A，“冰雪派對(duì)”為B，“青云出岫”為C，“如意東方”為D，先擺放B，C，D，一共有種擺放方式，再將2個(gè)A插空放入，有種擺放方式，所以，一共有種擺放方式．故答案為：36.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線交C于P、Q兩點(diǎn)，交l于點(diǎn)M，且，則．【答案】9【分析】根據(jù)拋物線的定義及，利用比例關(guān)系求解即可.【詳解】過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸交于，如圖，由知，，準(zhǔn)線，所以，根據(jù)拋物線定義得，，因?yàn)椋?，又，所以為中位線，所以，所以，所以，所以，所以，故答案為：916．已知，對(duì)，且，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)條件做出的解釋構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】對(duì)，且，恒有，即，所以函數(shù)是增函數(shù)，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故恒成立，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即；故答案為：.四、解答題17．已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，成等比數(shù)列可得，與進(jìn)行聯(lián)立即可求解；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消法即可.【詳解】（1）設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即①，又，所以②，聯(lián)立①②解得，故.（2）由（1）可知，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．已知函數(shù)在處取得極小值-2.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，求解即可.（2）問(wèn)題等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)法求得的最大值和最小值，從而可以求解.【詳解】（1），因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值-2，所以，即，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，在處取到極小值，所以，.（2）由（1）可知，，則令，解得或，而，所以當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.又所以當(dāng)時(shí)，.若，都有成立，只需，所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點(diǎn)，現(xiàn)在將沿著CD進(jìn)行翻折，使得翻折后S點(diǎn)在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點(diǎn)，如圖乙所示.(1)證明：平面SBC；(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取SB的中點(diǎn)為N，連接MN，CN，先證MNCD為平行四邊形，可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）易得平面SBC的法向量，根據(jù)平面法向量的求法求出平面ADS的法向量，代入向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：取SB的中點(diǎn)為N，連接MN，CN，如圖所示：在圖甲中，∵C，D分別為SB，SA上的中點(diǎn)，∴，，又∵M(jìn)，N分別為SA，SB的中點(diǎn)，∴，，∴MNCD為平行四邊形，∴，又∵平面SBC，平面SBC，∴平面SBC.（2）∵，∴，，，∴平面SBC，又平面ABCD，平面平面ABCD，因?yàn)镾點(diǎn)在底面的投影H在線段BC上，∴平面ABCD，∴.SC與平面ABCD所成角的平面角為，，過(guò)H作，則HP，HB，HS兩兩互相垂直，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，易知為平面SBC的一個(gè)法向量；設(shè)為平面ADS的一個(gè)法向量，則有，可取，設(shè)平面ADS與平面SBC所成銳二面角的大小為，則，所以平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.20．已知正項(xiàng)數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，由當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，又，所以，又適合上式，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以；（2），則，，兩式相減得，所以.21．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓E相切，過(guò)點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓過(guò)點(diǎn)，得到，再由橢圓的離心率為，求出的值，從而求到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)直線的斜率為0、斜率不存在及斜率存在且不為0三種情況討論，從而求出，得到結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，又，，所以，得到，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，消去并整理，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等的根，，化簡(jiǎn)整理得因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的方程為，聯(lián)立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，為定值；當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則垂線方程為，此時(shí)或，，為定值；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則垂線方程為，此時(shí)或，，為定值；綜上所述，，為定值.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，和討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可；（3）結(jié)合前面的解析，取時(shí)，則，利用不等式的放縮即可證明.【詳解】（1）由題意可知的定義