2024屆吉林省吉林市第五十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆吉林省吉林市第五十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，且，則A. B.C. D.2．已知直線的斜率為1，則直線的傾斜角為A. B.C. D.3．函數(shù)部分圖像如圖所示，則的值為（）A. B.C. D.4．設(shè)a，bR，，則（）A. B.C. D.5．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.3，則a，b，c三者的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.6．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．繆天榮，浙江人，著名眼科專家、我國(guó)眼視光學(xué)的開拓者.上世紀(jì)年代，我國(guó)使用“國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)視力表”檢測(cè)視力，采用“小數(shù)記錄法”記錄視力數(shù)據(jù)，繆天榮發(fā)現(xiàn)其中存在不少缺陷.經(jīng)過年苦心研究，年，他成功研制出“對(duì)數(shù)視力表”及“分記錄法”.這是一種既符合視力生理又便于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的視力檢測(cè)系統(tǒng)，使中國(guó)的眼視光學(xué)研究站在了世界的巔峰.“分記錄法”將視力和視角（單位：）設(shè)定為對(duì)數(shù)關(guān)系：.如圖，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表中最大視標(biāo)的視角為，則對(duì)應(yīng)的視力為.若小明能看清的某行視標(biāo)的大小是最大視標(biāo)的（相應(yīng)的視角為），取，則其視力用“分記錄法”記錄（）A. B.C. D.8．已知第二象限角的終邊上有異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，且，若，則的最小值為（）A. B.3C. D.49．設(shè)a>0，b>0，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.-3a10．如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面面積為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．三條直線兩兩相交，它們可以確定的平面有______個(gè).12．___________13．已知且，則的最小值為______________14．若兩平行直線2x+y-4=0與y=-2x-k-2的距離不大于,則k的取值范圍是____15．下列說法中，所有正確說法的序號(hào)是__________①終邊落在軸上角的集合是；②函數(shù)圖象一個(gè)對(duì)稱中心是；③函數(shù)在第一象限是增函數(shù)；④為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度16．已知?jiǎng)t_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（且）.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）若，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若且在上最小值為，求m的值.18．已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.(1)當(dāng)切線的長(zhǎng)度為時(shí)，求線段PM長(zhǎng)度.(2)若的外接圓為圓，試問：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)求線段長(zhǎng)度的最小值19．計(jì)算下列各式的值（1）（2）20．如圖，在三棱錐中，.（1）畫出二面角的平面角，并求它的度數(shù)；（2）求三棱錐的體積.21．提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況.在一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度(單位：千米/小時(shí))和車流密度(單位：輛/千米)滿足關(guān)系式：.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度是千米/小時(shí).（1）若車流速度不小于千米/小時(shí)，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)的車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值(精確到輛/小時(shí))，并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】分析：直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到m的方程，即得m的值.詳解：∵，∴，故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)該這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.(2)設(shè)=,=，則2、A【解題分析】設(shè)直線的傾斜角為，則由直線的斜率，則故故選3、C【解題分析】根據(jù)的最值得出，根據(jù)周期得出，利用特殊點(diǎn)計(jì)算，從而得出的解析式，再計(jì)算.【題目詳解】由函數(shù)的最小值可知：，函數(shù)的周期：，則，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得：，令可得：，則函數(shù)的解析式為：，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.4、D【解題分析】利用不等式的基本性質(zhì)及作差法，對(duì)結(jié)論逐一分析，選出正確結(jié)論即可.【題目詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則，所以，即，∴，，即，故B錯(cuò)誤；∵由，因，所以，又因?yàn)椋裕?，故C錯(cuò)誤；由可得，，故D正確.故選：D.5、D【解題分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出大小關(guān)系【題目詳解】∵a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.30.3∈（0，1），則a，b，c三者的大小關(guān)系是b＞c＞a.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、A【解題分析】解兩個(gè)不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【題目詳解】解不等式可得，解不等式可得或，因?yàn)榛?，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7、C【解題分析】將代入，求出的值，即可得解.【題目詳解】將代入函數(shù)解析式可得.故選：C.8、B【解題分析】根據(jù)，得到，從而得到，進(jìn)而得到，再利用“1”的代換以及基本不等式求解.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以，又第二象限角的終邊上有異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：B9、D【解題分析】由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.10、D【解題分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為菱形，從而可求出截面的面積.【題目詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵搸缀误w為正四棱柱，∴故四邊形為平行四邊形，所以，又，∴，同理，且，所以過，，三點(diǎn)平面截正四棱柱所得的截面為菱形，所以該菱形的面積為.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1或3【解題分析】利用平面的基本性質(zhì)及推論即可求出.【題目詳解】設(shè)三條直線為，不妨設(shè)直線，故直線與確定一個(gè)平面，（1）若直線在平面內(nèi)，則直線確定一個(gè)平面；（2）若直線不在平面內(nèi)，則直線確定三個(gè)平面；故答案為：1或3；12、【解題分析】利用、兩角和的正弦展開式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得答案.【題目詳解】故答案為：.13、9【解題分析】因?yàn)榍遥匀〉玫忍?hào)，故函數(shù)的最小值為9.，答案為9.14、【解題分析】利用平行線之間的距離及兩直線不重合列出不等式，求解即可【題目詳解】y＝﹣2x﹣k﹣2的一般式方程為2x+y+k+2＝0，則兩平行直線的距離d得，|k+6|≤5，解得﹣11≤k≤﹣1，當(dāng)k+2＝﹣4，即k＝﹣6，此時(shí)兩直線重合，所以k的取值范圍是故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩平行直線間的距離，考查兩直線平行的條件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、②④【解題分析】當(dāng)時(shí)，，終邊不在軸上，①錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，②正確；函數(shù)的單調(diào)性相對(duì)區(qū)間而言，不能說在象限內(nèi)單調(diào)，③錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，④正確.故填②④16、【解題分析】因?yàn)?，所以三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）為奇函數(shù)，證明見解析.（2）.（3）.【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義可得證；（2）由（1）得出是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，再判斷出是上的單調(diào)遞增，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而可求解；（3）利用，可得到，所以，令，則，進(jìn)而對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱軸討論求得最值即可求出的值.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，又，∴為奇函?shù).【小問2詳解】解：，∵，∴，或（舍）.∴單調(diào)遞增.又∵為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，∴，∴所以不等式等價(jià)于，，，∴.故的取值范圍為.【小問3詳解】解：，解得（舍），，令，∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得（舍），當(dāng)時(shí)，，解得（舍），綜上，.18、（1）8（2）（3）【解題分析】（1）根據(jù)圓中切線長(zhǎng)的性質(zhì)得到；（2）設(shè)，經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，圓N的方程為化簡(jiǎn)求值即可；（3）（Ⅲ）求出點(diǎn)M到直線AB的距離，利用勾股定理，即可求線段AB長(zhǎng)度的最小值.解析：（1）由題意知，圓M的半徑r=4，圓心M(0，6)，設(shè)PA是圓的一條切線，(2)設(shè)，經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，圓心，半徑為得圓N的方程為即，有由，解得或圓過定點(diǎn)(3)圓N的方程，即①圓即②②-①得：圓M與圓N相交弦AB所在直線方程為：圓心M(0,6)到直線AB的距離弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，線段AB長(zhǎng)度有最小值.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；再者在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；圓的問題經(jīng)常應(yīng)用的性質(zhì)有垂徑定理的應(yīng)用，切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用.19、（1）；（2）1.【解題分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)計(jì)算即得；（2）利用同角關(guān)系式、輔助角公式可得原式，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即得.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式.20、⑴⑵.【解題分析】(1)取中點(diǎn)，連接、,是二面角的平面角,進(jìn)而求出此角度數(shù)即可；(2)利用等積法或割補(bǔ)法求體積.試題解析：⑴取中點(diǎn)，連接、，，，，且平面，平面，是二面角平面角.在直角三角形中，在直角三角形中，是等邊三角形，⑵解法1：，又平面，平面平面，且平面平面在平面內(nèi)作于，則平面，即是三棱錐的高.在等邊中，，三棱錐的體積.解法2：平面在等邊中，的面積，三棱錐的體積.21、（1）；（2）最大值約為3250輛/小時(shí)，車流密度約為87輛/千米.【解題分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范圍（2）由（1）求得函數(shù)，分別利用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式分段求得最大值，比較可得【題目詳解】解：（1）由題意知當(dāng)(輛/千米)時(shí)，(千米/小時(shí))，代入得，