高中數(shù)學一輪復習考點專題65 直線的方程與性質(zhì) (含解析)

PAGE微專題65直線的方程與性質(zhì)一、基礎知識：（一）直線的要素與方程：1、傾斜角：若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交，則以SKIPIF1<0軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與SKIPIF1<0重合所成的角稱為直線SKIPIF1<0的傾斜角，通常用SKIPIF1<0表示（1）若直線與SKIPIF1<0軸平行（或重合），則傾斜角為SKIPIF1<0（2）傾斜角的取值范圍SKIPIF1<02、斜率：設直線的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的正切值稱為直線的斜率，記為SKIPIF1<0（1）當SKIPIF1<0時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）SKIPIF1<0越大，直線越陡峭（5）斜率SKIPIF1<0的求法：已知直線上任意兩點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即直線的斜率是確定的，與所取的點無關。3、截距：若直線SKIPIF1<0與坐標軸分別交于SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線4、直線方程的五種形式：首先在直角坐標系中確定一條直線有兩種方法：一種是已知直線上一點與直線的方向（即斜率），另一種是已知兩點（兩點確定一條直線），直線方程的形式與這兩種方法有關（1）一點一方向：①點斜式：已知直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直線上一點SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0證明：設直線SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0，根據(jù)斜率計算公式可得：SKIPIF1<0，所以直線上的每一點都應滿足：SKIPIF1<0，即為直線方程②斜截式：已知直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，縱截距SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0證明：由縱截距為SKIPIF1<0可得直線與SKIPIF1<0軸交點為SKIPIF1<0，從而利用點斜式得：SKIPIF1<0化簡可得：SKIPIF1<0（2）兩點確定一條直線：③兩點式：已知直線SKIPIF1<0上的兩點SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0④截距式：若直線SKIPIF1<0的橫縱截距分別為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0證明：從已知截距可得：直線上兩點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑤一般式：由前幾類直線方程可知：直線方程通常由SKIPIF1<0的一次項與常數(shù)項構(gòu)成，所以可將直線的通式寫為：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不同時為0），此形式稱為直線的一般式一般式方程的作用：可作為直線方程的最終結(jié)果可用于判定直線的平行垂直關系點到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式5、五種直線形式所不能表示的直線：（1）點斜式，斜截式：與斜率相關，所以無法表示斜率不存在的直線（即豎直線）（2）截距式：①截距不全的直線：水平線，豎直線②截距為0的直線：過原點的直線6、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）（二）直線位置關系：1、在解析幾何中直線的位置關系有三種：平行，相交（包含垂直），重合如果題目中提到“兩條直線”，則不存在重合的情況，如果只是SKIPIF1<0，則要考慮重合的情況。2、直線平行的條件（1）斜截式方程：設直線SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②若直線SKIPIF1<0的斜率存在，則SKIPIF1<0（2）一般式方程：設SKIPIF1<0，則①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中至少一個成立，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0（此條件適用于所有直線）3、直線垂直的條件：（1）斜截式方程：設直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2）一般式方程：設SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<04、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律：可選擇與一般式方程SKIPIF1<0對應的向量：SKIPIF1<0，即有：SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的關系即可代表SKIPIF1<0的關系，例如：SKIPIF1<0（注意驗證是否會出現(xiàn)重合的情況）SKIPIF1<0（三）距離問題：1、兩點間距離公式：設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<02、點到直線距離公式：設SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<03、平行線間的距離：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0（四）對稱問題1、中心對稱：（1）幾何特點：若SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0點中心對稱，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點（2）解析特征：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則與SKIPIF1<0點關于SKIPIF1<0點中心對稱的點SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<02、軸對稱（1）幾何特點：若若SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0軸對稱，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中垂線，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的中點在SKIPIF1<0上（2）解析特征：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則與SKIPIF1<0點關于SKIPIF1<0軸對稱的點SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0即可（3）求軸對稱的直線：設對稱軸為直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱直線為SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0到對稱軸的距離與SKIPIF1<0到對稱軸的距離相等②若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，則取SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0，求出關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為對稱直線SKIPIF1<0（五）直線系方程：滿足某種特征的一類直線組成的集合稱為直線系，直線系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線）1、平行線系：集合中的直線呈兩兩平行關系——參數(shù)不會影響斜率的取值（1）與直線SKIPIF1<0平行的直線系方程為：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)，且SKIPIF1<0）（2）與直線SKIPIF1<0垂直的直線系方程為：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)）2、過定點的直線：（1）若參數(shù)的取值影響直線的斜率，則可尋找該直線是否圍繞一個定點旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可（2）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合），則過SKIPIF1<0交點的直線系方程為：SKIPIF1<0（該直線無法表示SKIPIF1<0）3、直線系方程的用途：主要是在求直線方程時可充分利用平行，垂直或過定點的條件，將直線設為只含一個參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線方程二、典型例題：例1：直線SKIPIF1<0的傾斜角的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0思路：要求傾斜角（設為SKIPIF1<0），可將直線轉(zhuǎn)化為斜截式得：SKIPIF1<0，所以，即SKIPIF1<0，結(jié)合正切的定義以及傾斜角的范圍可得：SKIPIF1<0答案：B小煉有話說：一是要注意由正切值求角時，通過圖像判斷更為穩(wěn)妥，切忌只求邊界角，然后直接根據(jù)角大小寫區(qū)間。二是要注意傾斜角的取值范圍：SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，傾斜角為SKIPIF1<0（而不是SKIPIF1<0）例2：經(jīng)過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與連接SKIPIF1<0的線段總有公共點，則直線SKIPIF1<0的斜率的取值范圍為．思路：直線SKIPIF1<0可視為繞SKIPIF1<0進行旋轉(zhuǎn)，在坐標系中作出線段SKIPIF1<0，即可由圖判斷出若直線SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0有公共點，旋轉(zhuǎn)過程中的第一條直線與最后一條直線分別為直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖像可得：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：本題如果沒有圖像輔助，極易將結(jié)果寫成SKIPIF1<0，通過觀察可得旋轉(zhuǎn)的過程當中，傾斜角不斷變大，由銳角變?yōu)殁g角。從而斜率的值應為正負值之外，而非正負值之間。所以處理此類問題時：一定作圖，作圖，作圖??！例3：若SKIPIF1<0的圖象是兩條平行直線，則SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的值不存在思路：由平行線可得：SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，檢驗是否存在重合情況，將SKIPIF1<0代入直線可得：SKIPIF1<0，符合題意，將SKIPIF1<0代入直線可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0重合，不符題意，所以舍去。綜上可得：SKIPIF1<0答案：B小煉有話說：在已知平行關系求參數(shù)取值時，盡管在求解時可僅用SKIPIF1<0系數(shù)關系，但解出參數(shù)后要進行驗證，看是否會導致直線重合。例4：已知直線SKIPIF1<0互相垂直，則實數(shù)SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0思路：由兩直線相互垂直可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0答案：A例5：已知直線通過點SKIPIF1<0，被直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0反射，反射光線通過點SKIPIF1<0，則反射光線所在直線的方程是．思路：本題與物理知識相結(jié)合，可知反射光線過已知點在鏡面中的虛像（即對稱點），所以考慮求出SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0確定反射光線即可。解：設SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例6：直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不同時為0）經(jīng)過定點____思路：直線過定點，則意味著定點坐標使得參數(shù)“失去作用”——即無論參數(shù)取何值，不會影響表達式的值，能夠達到此功效的只有讓參數(shù)與“0”相乘，所以考慮將已知直線進行變形，將含SKIPIF1<0的項與含SKIPIF1<0的項分別歸為一組，可得：SKIPIF1<0，若要讓SKIPIF1<0“失去作用”，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即定點為SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：含參數(shù)的直線方程要么是一組平行線（斜率為常數(shù)），要么考慮過定點，而定點的求解可參照例6的求法。尋找定點是一種意識，即遇到含參數(shù)的直線時，便可考慮能否找到定點，從而抓住此類直線的特征（繞定點旋轉(zhuǎn)），有助于解題。例7：已知直線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0滿足與兩點SKIPIF1<0連線的斜率SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之積為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是_________思路：設直線上的點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0需同時滿足兩個條件：一是符合直線方程，二是保證斜率乘積為3.對于條件一，即SKIPIF1<0，對于條件二，按照斜率計算公式可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0。所以存在滿足條件的SKIPIF1<0，等價于方程組SKIPIF1<0有解，所以判別式SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例8：若不全為零的實數(shù)SKIPIF1<0成等差數(shù)列，點SKIPIF1<0在動直線SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則線段SKIPIF1<0長度的最小值是__________思路：從SKIPIF1<0成等差數(shù)列可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，方程含參進而考慮尋找定點。SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得定點為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)的動直線，對于任意點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離，而SKIPIF1<0的所有位置中，只有SKIPIF1<0過SKIPIF1<0點時，SKIPIF1<0最短，即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：（1）本題的突破口在于對含參直線SKIPIF1<0的分析，首先對于含參直線要分析出屬于平行線系（斜率為定值），還是過定點系（斜率因參數(shù)變化而變化），其次對于多參數(shù)方程也能夠找到定點。（2）本題的SKIPIF1<0均為動點，雙動點求最值時，通常固定一個點，分析此點固定時，達到最值時另一個點位置的特征（例如本題中固定SKIPIF1<0，分析出SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0最?。?，然后再讓該點動起來，在動的過程中找到“最值”中的最值。例9：已知SKIPIF1<0的兩條高所在直線方程為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程思路：本題并沒有說明高線是否過SKIPIF1<0，但可以將SKIPIF1<0帶入方程進行驗證，可得兩條高線均不過SKIPIF1<0，從而尋找確定SKIPIF1<0直線的要素，可連接SKIPIF1<0，由三角形“三條高線交于一點”的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0點可由兩條高線解得，從而得到SKIPIF1<0，只需再求得一點即可，觀察到SKIPIF1<0為三條直線SKIPIF1<0的公共點，SKIPIF1<0已知，而SKIPIF1<0可求。進而解得SKIPIF1<0的坐標，然后通過SKIPIF1<0和SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的方程解：設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由“三條高線交于一點”可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0