經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)問題的建模與分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)問題的建模與分析

1以最優(yōu)化理論為基石的經(jīng)濟(jì)分析經(jīng)濟(jì)研究的對象是社會通過某種組織形式開展活動，最大限度地發(fā)揮其經(jīng)濟(jì)利益。將這一問題歸為數(shù)學(xué)問題,如同數(shù)學(xué)里的極值原理。從經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的交叉學(xué)科發(fā)展看,經(jīng)濟(jì)學(xué)不斷地推出了一系列可歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題的最優(yōu)化問題,如最佳資源配置、最大經(jīng)濟(jì)效率等。隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)理論的不斷交叉運(yùn)用,逐漸形成了以最優(yōu)化理論為基石的經(jīng)濟(jì)分析,這對決策者具有非常重要的意義。單從經(jīng)濟(jì)學(xué)看,最優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)過程,相當(dāng)于當(dāng)偏離“頂峰”位置時,所進(jìn)行的經(jīng)濟(jì)活動都會使經(jīng)濟(jì)效益下降,結(jié)合微積分原理,這就滿足了費(fèi)馬定理的條件,即“頂峰”位置為極值點(diǎn),在其上的導(dǎo)數(shù)為零。而經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)化一般在既定條件下實(shí)現(xiàn),其基本應(yīng)用工具是微積分,通過求目標(biāo)函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)及拉格朗日函數(shù)的中值等來求解最優(yōu)解。經(jīng)濟(jì)決策中,對經(jīng)濟(jì)活動不可能全盤肯定或否定,只是多一點(diǎn)或少一點(diǎn),這就要通過權(quán)衡各種活動進(jìn)行綜合,即以多一點(diǎn)或少一點(diǎn)產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益來權(quán)衡,也即邊際利益,通過對邊際利益不斷調(diào)整,使其利益達(dá)到最大,亦即通過調(diào)節(jié)各種相關(guān)因素的組合來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)。如生產(chǎn)企業(yè)如何通過搭配產(chǎn)品的數(shù)量來使總成本最小,同時獲得的利潤最大。本文首先引入微積分基本定理,再對經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些概念“數(shù)學(xué)化”,接著以此為基礎(chǔ)對“成本最小化”及“利潤最大化”兩類基本經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行建模分析,并以此為基礎(chǔ)解決一類綜合性的“貯存最優(yōu)化”問題。2數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)的概念2.1基本數(shù)學(xué)概論2.1.1x0存在時,2設(shè)函數(shù)f(x)在x0的鄰域u(x0)有定義,且f′(x0)存在,而若?x∈u(x0),有f(x0)≤f(x)(或f(x)≤f(x0)),則f′(x0)=0,這時稱x0為f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)(或稱駐點(diǎn)、臨界點(diǎn))。2.1.2第一補(bǔ)充空間條件設(shè)f′(x0)存在,且x0是極值點(diǎn),則有f′(x0)=0,同時稱x0為穩(wěn)定點(diǎn)。2.1.3x0以下極值設(shè)f″(x0)存在且滿足f′(x0)=0和f″(x0)≠0,則當(dāng)f″(x0)>0時,x0是極小值點(diǎn);當(dāng)f″(x0)<0時,x0是極大值點(diǎn)。對于給定區(qū)間[a,b]而言,如果函數(shù)f(x)是在區(qū)間[a,b]內(nèi)部x0處取得極值,那么x0必為極值點(diǎn)。由此可推得,要尋求函數(shù)f(x)的極值解,就可以從函數(shù)的極值點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)上找到。2.2經(jīng)濟(jì)函數(shù)的設(shè)定在經(jīng)濟(jì)分析中,通常要分析經(jīng)濟(jì)函數(shù)中某一變量x改變時另一變量y的相對變化,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中體現(xiàn)為邊際分析,邊際分析就是研究兩個變量間的關(guān)系。而研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的兩個變量間關(guān)系往往要涉及到“邊際”、“平均”等經(jīng)濟(jì)學(xué)概念,體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中,“平均”即是在某區(qū)間內(nèi)y隨x的平均變化率;而“邊際”即是當(dāng)Δx→0,ΔyΔxΔx→0,ΔyΔx的變化率,表示當(dāng)某一給定值發(fā)生較小改動時,y的瞬時變化。如果此經(jīng)濟(jì)函數(shù)可導(dǎo),就有ΔyΔx=y′ΔyΔx=y′。用此方法可確定企業(yè)獲利時產(chǎn)量的最大值,即只要滿足邊際成本與邊際收入相等。而微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用遠(yuǎn)不止如此,本文就微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)化問題中的應(yīng)用進(jìn)行探討。3經(jīng)濟(jì)的優(yōu)化3.1邊際成本與平均成本gx的關(guān)系圖1中f(x)表示邊際成本,g(x)表示平均成本,x表示產(chǎn)量,y表示單位成本。由圖1知,平均成本含有一部分隨著自變量產(chǎn)量x的增大而呈現(xiàn)遞減趨勢的固定成本,而圖1中的y變量是以全部產(chǎn)品的平均成本進(jìn)行計(jì)算的,因此,相對邊際成本曲線f(x),g(x)這條曲線從遞減轉(zhuǎn)為遞增時較晚,如圖1中,邊際曲線f(x)在x′0處開始遞增,平均成本曲線在x0處開始遞增,且x′0<x0。從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度來看,當(dāng)f(x)=g(x)時,即邊際成本等于平均成本時,平均成本最低,從圖1來看,f(x)相交于g(x)的最小值點(diǎn)處,在經(jīng)濟(jì)學(xué)稱此點(diǎn)x0為“經(jīng)濟(jì)有效點(diǎn)”或是“經(jīng)濟(jì)能量點(diǎn)”。實(shí)際上,這一點(diǎn)對于尋求經(jīng)濟(jì)效益的企業(yè)決策是非常重要的,這樣就可以使得企業(yè)的生產(chǎn)資源得以最大化地利用,同時還可以獲取利潤。事實(shí)上,邊際成本f(x)與平均成本g(x)的變動具有某種內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)f(x)<g(x)時,g(x)將持續(xù)下降;而當(dāng)f(x)>g(x)時,g(x)將持續(xù)增大。這體現(xiàn)在微積分中,結(jié)合費(fèi)馬定理可知f(x)與g(x)的交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)即是平均成本的極值點(diǎn)x0,有g(shù)′(x0)=0。當(dāng)f(x)從開始到F點(diǎn)之間,平均成本仍是處于持續(xù)不斷的遞減的,而邊際成本曲線f(x)從F點(diǎn)開始向右運(yùn)動時,g(x)轉(zhuǎn)而呈現(xiàn)持續(xù)上升。所以邊際成本只可能與平均成本相關(guān),通過上面的分析,就可以通過數(shù)學(xué)微積分知識建立成本最小化模型來解釋邊際成本與平均成本的關(guān)系。設(shè)總成本為G(x),則建立模型f(x)=dG(x)dx,g(x)=G(x)xf(x)=dG(x)dx,g(x)=G(x)x。(1)成本最小化約束條件:f(x)=g(x),(2)g′(x)=0,且g″(x)>0。(3)目標(biāo)函數(shù):ming(x)。求解過程:(1)對平均成本g(x)求導(dǎo),則有dg(x)dx=d(G(x)x)dx=1x[dG(x)dx-G(x)x]。由上式聯(lián)合(1)(2)可得dg(x)dx=1x(f(x)-g(x))。(2)f(x)=g(x),即邊際成本等于平均成本時,平均成本最低,推理過程如下。當(dāng)1x(f(x)-g(x))=dg(x)dx<0時,則有f(x)<g(x),即表示邊際成本小于平均成本,且平均成本曲線在f(x)<g(x)時持續(xù)下滑;當(dāng)1x(f(x)-g(x))=dg(x)dx>0時,則有f(x)>g(x),即表示邊際成本大于平均成本,且平均成本曲線在f(x)>g(x)時持續(xù)上升。由此可知,只有當(dāng)f(x)=g(x)時,令x0是滿足f(x)=g(x)的點(diǎn),則有dg(x0)dx0=0,表示平均成本曲線在x0處取得極小值,再根據(jù)實(shí)際意義,可知此時g(x0)為最小值。所以,只有當(dāng)邊際成本與平均成本相等時,平均成本能達(dá)到最小值。例1總成本G(x)=100+3x+0.01x2,驗(yàn)算平均成本何時為最小?邊際成本f(x)=G′(x)=3+0.02x,平均成本g(x)=100+3x+0.01x2x,聯(lián)立f(x)=g(x),解得x=100,此時f(100)=g(100)=5,同時g′(100)=0,故g(x)在x=100處取得最小成本。3.2以利潤為0的總利潤模型在實(shí)際生活當(dāng)中,當(dāng)產(chǎn)量過多時,價(jià)格就會非常低,這不可能獲取最大利潤;反過來當(dāng)價(jià)格過高時,就會導(dǎo)致銷售量非常少,這也不可能獲取最大利潤?？偸找婧涂偝杀鹃g的關(guān)系見圖2。由圖2知,當(dāng)總收益曲線達(dá)到最大值時,總利潤并不是最大。由經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際報(bào)酬遞減規(guī)律可看出,隨著產(chǎn)量的不斷增加,邊際成本將從遞減轉(zhuǎn)為遞增,其總成本將呈現(xiàn)出急速遞增的趨勢。因而只有當(dāng)邊際成本與邊際總收益相等時,即從圖2中出現(xiàn)總成本和總收益曲線的斜率相同時,總收益與總成本之差將達(dá)到最大值,即利潤最大化,這樣才能使得生產(chǎn)達(dá)到利潤最優(yōu)化。轉(zhuǎn)化為微積分學(xué)即可以知道,當(dāng)邊際收益等于邊際成本時,邊際利潤為0,此時企業(yè)才是利潤最大化。現(xiàn)通過微積分基本知識來解釋最優(yōu)化原理,并以此為基礎(chǔ)建立利潤最優(yōu)化模型。假設(shè)x為產(chǎn)量,G(x)為總成本,F(x)為總收益,M(x)為總利潤,同時有M(x)=F(x)-G(x)。所求的是M(x)為最大化,現(xiàn)對M(x)求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0,可得到dΜ(x)dx=d(F(x)-G(x))dx=0,即dF(x)dx=dG(x)dx,這表明只有當(dāng)邊際成本與邊際收益相時,總利潤有極值,這是利潤最優(yōu)化的必要條件。由微積分第二充分條件定理可以知道,要使極值存在,總利潤的一階導(dǎo)數(shù)必定為0,而要使相應(yīng)的極大值存在,就必須要求總利潤的二階導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)的點(diǎn)上為負(fù)數(shù),即同時滿足dΜ(x)dx=0和d2Μ(x)dx2<0。所以有d2Μ(x)dx2=d2F(x)dx2-d2G(x)dx2<0,即d2F(x)dx2<d2G(x)dx2。這表明邊際收益等于邊際成本時,其相應(yīng)的邊際收益斜率小于邊際成本斜率,此時總利潤達(dá)到極大值?，F(xiàn)以最優(yōu)化原理建立利潤最優(yōu)化模型并以實(shí)際例子進(jìn)行論證。假設(shè)x為產(chǎn)量,G(x)為總成本,F(x)為總收益,M(x)為總利潤,同時有M(x)=F(x)-G(x)。目標(biāo)函數(shù):maxM(x)=max[F(x)-G(x)]。約束條件:dF(x)dx=dG(x)dx,d2F(x)dx2<d2G(x)dx2。例2總成本函數(shù)G(x)=x33-3x2+15x+250,F(x)=50x-2x2,求max[F(x)-G(x)]。dG(x)dx=6x2-6x+15,dF(x)dx=5-4x,并令6x2-6x+15=5x-4x,解得x=-5或x=7。因?yàn)楫a(chǎn)量必為正數(shù),因此只討論x=7時的利潤情況。d2F(x)dx2=-4,d2G(x)dx2=12x-6,明顯地當(dāng)x=7時,-4<12×7-6,即d2F(x)dx2<d2G(x)dx2,Μ(x)在x=7處取到了最大值,根據(jù)現(xiàn)實(shí)意義,此時M(x)為最大化利潤。4不允許缺貨類存貯存貯最優(yōu)化問題是一種常見的經(jīng)濟(jì)活動。如企業(yè)為了生產(chǎn)就必須定期采購原料,同時要對采購的原料進(jìn)行存貯;再如企業(yè)在商品進(jìn)貨和出貨的過程間也可歸為存貯問題。對這類問題,必須要全面考慮,定量化地選擇最佳方案,才能獲取最佳效益。當(dāng)存貯量過多時,會占用企業(yè)的大量資金,花費(fèi)在存貯上的資金增加,同時原料、商品等因長時間存貯而致使質(zhì)量下降,影響使用,造成較大的損失。但存貯過少,就會增加采購和進(jìn)貨的次數(shù),增加采購和進(jìn)貨時的勞務(wù)費(fèi)用,同時還會浪費(fèi)人力。因此要實(shí)現(xiàn)存貯最優(yōu)化,就必須通過確定采購量及采購周期,使花在采購和存貯上的費(fèi)用之和達(dá)到最小。此最優(yōu)化問題與采購價(jià)格不相關(guān),因而在此只考慮采購時所花費(fèi)的勞務(wù)費(fèi)和存貯費(fèi),且本文限于篇幅只對不允許缺貨類存貯問題進(jìn)行詳細(xì)考慮。假定:企業(yè)在單位時間內(nèi)需要r單位貨物;采購周期為T,當(dāng)企業(yè)沒有存貯量時,采購的貨物可瞬間到達(dá);每次采購所花費(fèi)的勞務(wù)費(fèi)用為C1,單位時間內(nèi)單位貨物的存貯費(fèi)為C2。在上述假定條件下,可以看出存貯總花費(fèi)是關(guān)于采購周期的函數(shù)。而由以上條件可以得出,Q=rT,其中Q為每T時間內(nèi)的訂貨。從訂貨開始記錄時刻t的貨物貯存數(shù)量為q(t),即有q(t)=Q-rt,其中t∈[0,T],每一過采購周期,即又重復(fù)上述存貯活動。其存貯變化規(guī)律如圖3所示。再可計(jì)算出一周期的存貯費(fèi)用為∫Τ0C2(Q-rt)dt=12C2rΤ2,則在采購周期T內(nèi)可以計(jì)算出總費(fèi)用C的表達(dá)式為:C=C1+12C2rΤ2。記C(T)為每單位時間的平均費(fèi)用,建立目標(biāo)函數(shù)minC(Τ)=minCΤ,而C(Τ)=C1Τ+12C2rΤ,由微積分知識可得dC(Τ)dΤ=-C1Τ2+12C2r=0,取正值解Τ=√2C1rC2。同時d2C(Τ)dΤ2=12C1Τ3>0。因此,C(T)在Τ=√2C1rC2時取得極小值,根據(jù)現(xiàn)實(shí)意義,此時C(T)取得最小值,即總費(fèi)用最小,且貨物采購量Q=rΤ=√2C1rC2,其最小平均費(fèi)用為C(Τ)=√2C1C2r。例3某學(xué)校食堂消耗大米1t/d,存放大米的費(fèi)用為每天2元/t,每次采購大米所需要的勞務(wù)費(fèi)用為100元,現(xiàn)如何確定采購時間間隔及采購量以使總花費(fèi)最小?解析這類存貯問題明顯是不允許缺貨類的,而且其條件與前面所討論的假定條件相符合,即可以使用上述不允許缺貨的存貯最優(yōu)化模型。參數(shù)值:C1=100元,C2=2元,r=1t,則可計(jì)算得Τ=√2×1002×1=10d?Q=rΤ=1