北理控制講義

§3-4控制系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)的過渡過程結(jié)束后，隨著t的增大，系統(tǒng)輸出量的希望值和實(shí)際值之間仍有一定的差值，這個(gè)差值就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。如果把那)履)一頃)稱為系統(tǒng)誤差響應(yīng)函數(shù)(或叫誤差信號(hào))，則穩(wěn)態(tài)誤差定義為本節(jié)重點(diǎn)介紹系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系以及穩(wěn)定誤差的函法。一、誤差與偏差的定義如下圖，其中R(s)為輸入量象函數(shù)，C(s)為實(shí)際輸出量象函數(shù)，Co(s)為希望輸出量象函數(shù)，N(S)為擾動(dòng)象函數(shù)，瓜躋為理想系統(tǒng)的傳遞函數(shù)即理想變換算子。E(s)為誤差象函數(shù)，定義如下:用(時(shí)為偏差象函數(shù)，定義為:E1(s)=R(s)-H(s)C(s)誤差研占)與偏差耳⑹的關(guān)系:式(3-49)又可寫為(3-50)'(3-51)‘?.?舞=&（'）(3-50)'(3-51)‘比較（3-48）,有孫）對(duì)單位反饋系統(tǒng)期＞）=曷（矽二、誤差傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)對(duì)輸入R（S）和擾動(dòng)N（S）的傳遞函數(shù)分別是①⑸和①叫⑸，則系統(tǒng)輸出為:叫=*')吟)+把（3-50）和（3-52）代入（3-48）得g=*-g=富-C?=［二""、司-"逐⑻昨）H{s）l+G］O）q佃淚⑴ 1+。10）弓佃淚⑸（3-53）這里"曲這里"曲叫系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)①出為系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)作用的誤差傳遞函數(shù)，擾動(dòng)產(chǎn)生的輸出全部是誤差。令g=G］（s）-京），則單位反饋時(shí)(3-58)(3-57)(3-58)1+G(s)三、穩(wěn)態(tài)誤差求法由穩(wěn)態(tài)誤差的定義可知:

(3-61)「檔處=血顯萄+中威（功川（功］(3-61)根據(jù)拉氏變換的終值定理，如果系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，則有%=lime（t）=limsE（s） （3-62）四、系統(tǒng)型別及輸入信號(hào)形式與穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系由式（3-61）可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而且與輸入信號(hào)形式有關(guān)，下面討論這方面的問題。閉環(huán)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成下面形式：中（￥+1）其中，K-閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)增益;分別為各環(huán)節(jié)(3-63)其中，K-閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)增益;分別為各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)；v-開環(huán)系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。我們把m=0^=1^=2等系統(tǒng)分別稱為O型，I型和II型系統(tǒng)。當(dāng)v>2時(shí)，系統(tǒng)很難穩(wěn)定，工程中很少用。GH圖3-20GH圖3-20設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖（3-20）所示，如果設(shè)H（S）=H°（為常數(shù)），則由（3-53）式可得(3-64)研s)=(3-64)氏[1+珞G(s)]將式（3-63）代入（3-64）得

則根據(jù)終值定理，穩(wěn)態(tài)誤差為則根據(jù)終值定理，穩(wěn)態(tài)誤差為下面利用式（3-66）分別求出各型系統(tǒng)在階躍、斜坡和加速度信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。= ■時(shí)，敏矽=冬v=0v=0v=I=II=IIIlim（/』冬） 丑口（1+幻@= 豈——n”hm（Hosv+^Ho）則全部結(jié)果如表3-4所示。表3-4表明：1、 *（s）即廣a）不同’氣不同，即穩(wěn)態(tài)誤差與輸入有關(guān)；2、 心相同，"不同，則氣不同，即穩(wěn)態(tài)誤差與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)，"越大，勺，越小;3、 勺，與系統(tǒng)開環(huán)增益K成反比。例，如圖3-21所示閉環(huán)控制系統(tǒng)，當(dāng)珞=°?L丑口=1時(shí)，求系統(tǒng)在W）=W）作用下的氣。

圖3-21解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為官=10、思=1根據(jù)表3-45?=0.1）五、用誤差系數(shù)法求誤差函數(shù)動(dòng)態(tài)誤差利用（3-47）定義的穩(wěn)態(tài)誤差只能求出'b時(shí)的極限值，而難以看出其隨時(shí)間變化的規(guī)律。這里介紹利用誤差系數(shù)法求誤差函數(shù)1、動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)和誤差函數(shù)氣⑴求誤差傳遞函數(shù)W）在E的鄰域展開成泰勒級(jí)數(shù)，并取前n+1項(xiàng)，則全⑸=+?（0）占+§包（0應(yīng)+…+￡護(hù)項(xiàng)0E （3-67；于是系統(tǒng)對(duì)輸入R（s）的誤差E（s）可用下式表示，即E（s）=勺"（s）+&0、誓g 劇司+…+*①”頃0）廣衣0）對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得氣（￡）=耳（。）心）+包（O）F（f）+§?（0）尹（￡）+???+*責(zé)％（0）舟：1（￡）W可以寫成營(yíng)涂）=5）+ +勺他）+…+方服（.3-69）G=［理（0）,則C3-68）式

可以寫成營(yíng)涂）=5）+ +勺他）+…+方服（.3-69）這里稱Ci為誤差系數(shù)，逐)就是系統(tǒng)的誤差函數(shù)或稱動(dòng)態(tài)誤差，且有甌E2、誤差系數(shù)的計(jì)算方法-長(zhǎng)除法(1)直接法：如果誤差傳遞函數(shù)乳⑥是有理式，可直接用長(zhǎng)除法把乳⑥寫成按S的升冪排列的級(jí)數(shù)，對(duì)照式(3-36、68)，該級(jí)數(shù)的系數(shù)就是誤差系數(shù)。例，某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-26所示，試求該系統(tǒng)在輸入信號(hào)r(t)=t和擾動(dòng)n(t)=0.1Sint同時(shí)作用下的誤差函數(shù)圖3-26圖3-26解：①系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，在r(t)=t單獨(dú)作用下，由表3-4可得②擾動(dòng)單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的誤差函數(shù)根據(jù)(3-53)，(3-56)和圖3-26，只有擾動(dòng)N(t)作用時(shí)，誤差傳遞函數(shù)為用長(zhǎng)除法求誤差系數(shù):用長(zhǎng)除法求誤差系數(shù):根據(jù)長(zhǎng)除法所得商值，對(duì)照式（3-67）中出⑥=-0.1s-0.09s2+0.019s3+■■■,Vf（0）=偵］=^（0）=-0.1弓=§店或（0）=一°四弓=?弟期（。）=0.019…又,/四）=0.Isint,.'.風(fēng)（￡）=0.lcos￡,龍（￡）=-0.Isin￡,典）=~0.Icos^■■■對(duì)照（3-69）式,',?*（￡）=日汾（￡）=0.1-