初中數(shù)學(xué)好題難題集錦

初三下學(xué)期數(shù)學(xué)好題難題集錦一、分式：1112、已知… ,m62Ca+b)1如果T求證圍M.2、已知… ,m62Ca+b)3、一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水.向容器中注滿水的全過(guò)程共用時(shí)間t分?求兩根水管各自注水的速度.4、（2009?4、（2009?邵陽(yáng)）已知+或’■”連接M、N，有三種不同的形x：y=5:2?式，M+N、M-N、x：y=5:2?二、反比例函數(shù)：5、一張邊長(zhǎng)為16cm正方形的紙片，剪去兩個(gè)面積一定且一樣的小矩形得到一個(gè) “E圖案如圖1所示?小矩形的長(zhǎng)x(cm)與寬y(cm)之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示：(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；“E'圖案的面積是多少？如果小矩形的長(zhǎng)是6Wxw12cm求小矩形寬的范圍.4631012141642^8642O4631012141642^8642O6、(6、(2009?邵陽(yáng))如圖是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，點(diǎn)端點(diǎn).求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量 x的取值范圍;請(qǐng)你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例.A(1,10),B(10,1)是它的11117、如圖，OA和OB都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)「二的圖X象上，則圖中陰影部分的面積等于M(-2M(-2,-1)，且PA垂直于x軸，QB垂直于yQ,使得△OBQ與厶OAPOP、OQ為鄰邊的平行四邊形8、(2009?郴州)如圖1,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,-2)為雙曲線上的一點(diǎn)， Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足分別是A、B.寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線M0上是否存在這樣的點(diǎn)面積相等如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)PCQ,求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值.9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 AB與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y在第一象限的圖象交于點(diǎn)c（1，6）、點(diǎn)D（3，x）.過(guò)點(diǎn)C作CE上y軸于E,過(guò)點(diǎn)D作DF上X軸于F.（1）求m,n的值；（2）求直線AB的函數(shù)解析式.10、清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王.近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文《積求勾股法》，它對(duì)三邊長(zhǎng)為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長(zhǎng)”這一問(wèn)題提出了解法： 若所設(shè)者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)”.用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是： 若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S,則第一步：-=m;第二步：-丿i,=k;第三步：分別用3、4、5乘以k,得三邊長(zhǎng)”.（1） 當(dāng)面積S等于150時(shí)，請(qǐng)用康熙的積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)；（2） 你能證明積求勾股法”的正確性嗎請(qǐng)寫出證明過(guò)程.11、（2009?溫州）一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng) 15cm,底邊上的高長(zhǎng)22.5cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為 3cm的矩形紙條，如圖所示?已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（ ）A、第4張C、第6張12、（2009?茂名）如圖，甲，乙兩樓相距 20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的A處目測(cè)得點(diǎn)A與甲，乙樓頂B、C岡収子在同一直線上，若小明的身高忽略不計(jì)，則乙樓的高度是_ _米.米米咿?乙一口口口口口丁口口□□口13、（2009?恩施州）恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以 雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（ B）位于筆直的滬渝高速公路 X同側(cè)，AB=50km、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū) P,向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（ 1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和S仁PA+PB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A'，連接BA'交直線X于點(diǎn)P）,P到A、B的距離之和S2=PA+PB.（1）求S1、S2,并比較它們的大小；（2） 請(qǐng)你說(shuō)明S2=PA+PB的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路 Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（ 3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km，請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.14、(2009?重慶)已知：如圖，在直角梯形 ABCD中，AD//BC,/ABC=90°,DE丄AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且AE=AC.求證：BG=FG;(2)若AD=DC=2，求AB的長(zhǎng).四、四邊形：15、(2008?佛山)如圖，△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.(1)當(dāng)A片AC時(shí)，證明四邊形ADFE為平行四邊形；當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.16、(2008?山西)如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE,連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE，連接AF、BE和CF.(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào) 么”表示，并加以證明；判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由；若AB=6,BD=2DC，求四邊形ABEF的面積.17、（2008?資陽(yáng)）如圖，在△ABC中，/A，/B的平分線交于點(diǎn)D,DE//AC交BC于點(diǎn)E,DF//BC交AC于點(diǎn)F.（1）點(diǎn)D是厶ABC的_ _心:18、（2008?合爾濱）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE,且/ABE=30°,BE=DE,連接BD.點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ//BD交直線BE于點(diǎn)Q.（1）當(dāng)點(diǎn)P（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1）,求證:BE=PD+（2）若BC=6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為 y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量 x的取值范圍）：（3）在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接QC,過(guò)點(diǎn)P作PF丄QC,垂足為F,PF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G（如圖2）,求線段PG的長(zhǎng).(S1)(fl2)

(S1)(fl2)19、（2008?19、（2008?常州）如圖，這是一張等腰梯形紙片，它的上底長(zhǎng)為這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來(lái)拼成較大的等腰梯形,的等腰梯形？分別畫出它們的示意圖，并寫出它們的周長(zhǎng).2,下底長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為2,那么你能拼出哪幾種不同20、（2008?常州）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF=ED,EF丄ED.求證：AE平分/BAD.21、（2008?濰坊）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，BG=10.（1）當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，如圖?求△EFG的面積；（2）當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí)，如圖.證明四邊形 BGEF為菱形，并求出折痕GF的長(zhǎng).圏(!)圏(!)22、（2008?新疆）（1）請(qǐng)用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個(gè)矩形中各作一個(gè)不為正方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上. （保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法.23、（2008?海南）如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：①PE=PD:②PE丄PD;（2）設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.24、（2008?義烏市）如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG,DE?我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a得到如圖2,如圖3情形.請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；A| D A D（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4-6）,且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb（a^bk>0）,第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖 5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;（3）在第（2）題圖5中，連接DG、BE,且a=3,五、幾何:25、已知：如圖，0是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD丄AB,EF丄AB,EG丄CO.求證：CD=GF.（初二）26、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，/PAD=ZPDA=15°.求證：△PBC是正三角形.（初二）DC27、如圖，已知四邊形ABCD、AiB求證：△PBC是正三角形.（初二）DC27、如圖，已知四邊形ABCD、AiBiCiDi都是正方形,CCi、DDi的中點(diǎn).求證：四邊形A2B2C2D2是正方形.（初二）A2、B2、C2、D2分別是AAi、BBi、DC28、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于的延長(zhǎng)線交MN于E、F.求證：/DEN=ZF.M29、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)）（1） 求證：AH=2OM29、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)）（1） 求證：AH=2OM;（2） 若/BAC=60°,求證：AH=AO.（初二）,O為外心，且OM丄BC于M.OHEBCMD31、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:30、設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)O作OA丄MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q. G求證：AP=AQ.（初二）A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN設(shè)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN求證：AP=AQ.（初二）32、如圖，分別以厶ABC的AC和BC為一邊,CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).NB在厶ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于ABNB在厶ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形33、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE//AC,AE=AC,AE與CD相交于F.求證：CE=CF.（初二）A D35、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn),求證：PA=PF.（初二）34、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE//AC，且CE=CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于A D35、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn),求證：PA=PF.（初二）A0DBEFCA0DBEFC36、如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D.求證：AB=DC,BC=AD.（初三）37、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5.求：/APB的度數(shù).（初二）38、設(shè)P是平行四邊形38、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/PBA=ZPDA.求證：/PAB=ZPCB.（初二）39、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB?CD+AD?BC=AC?BD.（初三）40、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE=CF.求證：/DPA=ZDPC.（初二）41、42、已知：P是邊長(zhǎng)為43、P41、42、已知：P是邊長(zhǎng)為43、P為正方形ABCD1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,求證:如圖，△ABC中，/EBA=20°,求/BED的度數(shù).44、/ABC=ZACB=80°,D如圖，△ABC中，/EBA=20°,求/BED的度數(shù).44、

五、數(shù)據(jù)的分析：45、(2005?南平)為了幫助貧困失學(xué)兒童，宿遷市團(tuán)委發(fā)起 愛(ài)心儲(chǔ)蓄”活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生將自己的壓歲錢和零花錢存入銀行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐贈(zèng)給貧困失學(xué)兒童?某中學(xué)共有學(xué)生1200人，圖1是該校各年級(jí)學(xué)生人數(shù)比例分布的扇形統(tǒng)計(jì)圖，圖 2是該校學(xué)生人均存款情況的條形統(tǒng)計(jì)圖.求該學(xué)校的人均存款數(shù)；已知銀行一年定期存款的年利率是 2.25%(愛(ài)心儲(chǔ)蓄”免收利息稅)，且每351元能提供給1位失學(xué)兒童一年的基本費(fèi)用，那么該學(xué)校一學(xué)年能夠幫助多少位失學(xué)兒童？圖⑴ 圖⑴46、(2005?河北)如圖是連續(xù)十周測(cè)試甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員體能訓(xùn)練情況的折線統(tǒng)計(jì)圖?教練組規(guī)定：體能測(cè)試成績(jī)70分以上(包括70分)為合格.(1)請(qǐng)根據(jù)圖中所提供的信息填寫右表：(2)請(qǐng)從下面兩個(gè)不同的角度對(duì)運(yùn)動(dòng)員體能測(cè)試結(jié)果進(jìn)行判斷：依據(jù)平均數(shù)與成績(jī)合格的次數(shù)比較甲和乙， 的體能測(cè)試成績(jī)較好；依據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)比較甲和乙， 的體能測(cè)試成績(jī)較好.依據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖和成績(jī)合格的次數(shù)，分析哪位運(yùn)動(dòng)員體能訓(xùn)練的效果較好.平均數(shù)中位數(shù)體能測(cè)試成績(jī)合榕次數(shù)甲a乙47、（2005?重慶）如圖所示，A、B兩個(gè)旅游點(diǎn)從2001年至2005年五?一”的旅游人數(shù)變化情況分別用實(shí)線和虛線表示?根據(jù)圖中所示解答以下問(wèn)題：（1） B旅游點(diǎn)的旅游人數(shù)相對(duì)上一年，增長(zhǎng)最快的是哪一年？（2）求A、B兩個(gè)旅游點(diǎn)從2001到2005年旅游人數(shù)的平均數(shù)和方差，并從平均數(shù)和方差的角度，用一句話對(duì)這兩個(gè)旅游點(diǎn)的情況進(jìn)行評(píng)價(jià)；（3）A旅游點(diǎn)現(xiàn)在的門票價(jià)格為每人 80元，為保護(hù)旅游點(diǎn)環(huán)境和游客的安全， A旅游點(diǎn)的最佳接待人數(shù)為4萬(wàn)人，為控制游客數(shù)量，A旅游點(diǎn)決定提高門票價(jià)格. 已知門票價(jià)格x（元）與游客人數(shù)y（萬(wàn)人）滿足函數(shù)關(guān)系y=5「 .若要使A旅游點(diǎn)的游客人數(shù)不超過(guò)4萬(wàn)人,則門票價(jià)格至少應(yīng)提高多少?刀人2001 2002 2003 20042005 年答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考點(diǎn)：專題：分析：1....答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考點(diǎn)：專題：分析：1....-七需胡幾紜心也，然后化簡(jiǎn)變?yōu)閍b^最1+ci+fld+l+oi)、分式:1111如果abc=1,求證 + + =1.ab+a+ibc+J+1or+c+1分式的混合運(yùn)算。計(jì)算題。由于abc=1，因此可以把題目中的分母分別變?yōu)楹罄猛帜傅姆质降募訙p法則計(jì)算即可求解.解答：解：原式= ' + + : ab+a+1Qot+tw+fla^bc+abc-^-abab1ab=++ch+fi+11+ci+flfl+l+ab血-時(shí)］oh+fl+1=1.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了分式的混合運(yùn)算， 解題的關(guān)鍵是會(huì)利用abc=1把題目中的分母變?yōu)橥帜?，然后利用同分母的分式加減法則即可解決問(wèn)題.2、已知… ，則】+一等于多少?flb2(a^-b)flo考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值。專題：計(jì)算題。2260分析：根據(jù)已知條件可求出(a2+b2)的值，再將+-通分，代值計(jì)算即可解答.ab解答：& 11g a+b9解：? + , -a62(a+b)ab2N+iO2???2(a+b)=9ab即2a2+4ab+2b2=9ab22?2(a+b)=5ab

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)已知條件求出（ a2+『）的值是解答本題的關(guān)鍵.3、一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水.向容器中注滿水的全過(guò)程共用時(shí)間t分?求兩根水管各自注水的速度.考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用。分析：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為4x,—個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水， 水面高度達(dá)到容器高度一半后， 改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水.向容器中注滿水的全過(guò)程共用時(shí)間 t分可列方程求解.解答：解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為4x.由題意得：2x+SxtSv解之得：5v經(jīng)檢驗(yàn)得：t 一是原方程解.???小口徑水管速度為一，大口徑水管速度為斗.點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意的能力，設(shè)出速度以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解.2xy2 22xy有三種不同的形x：y=5:2.2個(gè)字母，所以4、（2009?邵陽(yáng)）已知M=廠「?jìng)€(gè)、N=耳巧，用“有三種不同的形x：y=5:2.2個(gè)字母，所以JT-jr*-y^式，M+N、M-N、N-M,請(qǐng)你任取其中一種進(jìn)行計(jì)算，并簡(jiǎn)求值，其中考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值。專題：計(jì)算題；開放型。分析：本題的實(shí)質(zhì)是分式的加減運(yùn)算，無(wú)論選擇哪種形式，最后結(jié)果都包含應(yīng)該把x:y=5:2轉(zhuǎn)化為x=_y,再代入求值.2解答：解：選擇一：M+N=二 +—-=—二一=g■嚴(yán)X&+刀（xX丁3'當(dāng)x：y=5:2時(shí)，x==y，原式=3'2P2(t-y)選擇二：M-N='-2(t-y)選擇二：M-N='-」5y~ly3當(dāng)x：y=5:2時(shí)，x=y，原式= =-;21

2選擇三：N-M==^―=艾2-y2x2-y2么|■刀(x-y)當(dāng)x：y=5:2時(shí)，x=y，原式=2初7x-y封x-y封，點(diǎn)評(píng)：這是比較典型的化簡(jiǎn)求值”的題目，著眼于對(duì)運(yùn)算法則的掌握和運(yùn)算能力的直接考查，有著很好的基礎(chǔ)性和效度. 這是個(gè)分式混合運(yùn)算題，運(yùn)算順序是先乘除后加減， 加減法時(shí)要注意把各分母先因式分解，確定最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行通分.二、反比例函數(shù)：5、一張邊長(zhǎng)為16cm正方形的紙片，剪去兩個(gè)面積一定且一樣的小矩形得到一個(gè) “E圖案如圖1所示.小矩形的長(zhǎng)x（cm）與寬y（cm）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2） “E'圖案的面積是多少？46310246O-（3） 如果小矩形的長(zhǎng)是6Wxw12cm求小矩形寬的范圍.46310246O-?> 【醜）考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題：開放型；待定系數(shù)法。分析：（1）根據(jù)圖象信息利用待定系數(shù)法可以確定函數(shù)解析式；“E”案的面積;（2） 根據(jù)（“E”案的面積;（3） 根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式可以確定小矩形的寬的取值范圍.k解答：解（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為「 （1分）x???函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（10,2）10???k=20（2分）20?— （3分）X20（2）?.?竽二一

???xy=20（4分）2???SE=S正=162-2X20=216（6分）；（3）當(dāng)x=6（3）當(dāng)x=6時(shí),—二一（7分）TOC\o"1-5"\h\z6 320 5當(dāng)x=12時(shí)，「 （8分）Z12 3?小矩形的長(zhǎng)是6?小矩形的長(zhǎng)是6<x<12cm小矩形寬的范圍為（9分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式， 也考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo).6、(2009?邵陽(yáng))如圖是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，點(diǎn) A(1,10),B(10,1)是它的端點(diǎn).求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量x的取值范圍；請(qǐng)你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例.考點(diǎn)：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)的應(yīng)用。專題：開放型；待定系數(shù)法。k分析：觀察圖象，函數(shù)經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，將此點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式 y—-(kM0即可求得kX的值.k解答：解：(1)設(shè)， ,???A（1,10）在圖象上,10=,即k=1X10=,即k=1X10=10,10y=，其中KXW1；(2)答案不唯一.例如：小明家離學(xué)校10km，每天以vkm/h的速度去上學(xué)，那么小明從家去學(xué)校所需的時(shí)間10t—Vk，求出函數(shù)解析式.k，求出函數(shù)解析式.17、如圖，OA和OB都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)「二的圖X象上，則圖中陰影部分的面積等于 nM(-2M(-2,-1)，且PA垂直于x軸，QB垂直于yQ,使得△OBQ與厶OAPOP、OQ為鄰邊的平行四邊形考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性。分析：根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性， 陰影部分的面積正好構(gòu)成圓，利用圓的面積公式即可求解.解答：解：陰影部分的面積正好構(gòu)成圓，圓的半徑 r=1,則面積S=n2—兀故答案是：兀點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的對(duì)稱性，理解陰影部分的面積正好構(gòu)成圓是關(guān)鍵.8、(2009?郴州)如圖1,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,-2)為雙曲線上的一點(diǎn)， Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，軸，垂足分別是A、B.寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)面積相等如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)PCQ,求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值.+4+4，+4+4，考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。分析：(1)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(-2,-1),設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；(2)因?yàn)镻(-1,-2)為雙曲線Y=g上的一點(diǎn)，所以△OBQ、△OAP面積為2,依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn) Q在雙曲線上，比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn) Q在雙曲線上，函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；(3)因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形解答：解：(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為即符合條件的點(diǎn)存在，是正比例函數(shù)和反比例OP=CQOQ=PC，而點(diǎn)P(-1,-2)是定點(diǎn),OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值.y=kx,將點(diǎn)M將點(diǎn)M(-2,-1)坐標(biāo)代入得k=「,所以正比例函數(shù)解析式為 y=「x,同樣可得，反比例函數(shù)解析式為 二(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線OM(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(m,m),111S^obq=[|OB111S^obq=[|OBX3Q|=[xmXm=[而oap=|(-1)x(-2)|=1,所以有，荷=1，解得m=±2,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1(2,1)和Q2(-2,-1);因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ,OQ=PC,而點(diǎn)P(-1,-2)是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值,(8分)因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn) Q的坐標(biāo)為Q(n,),由勾股定理可得OQ由勾股定理可得OQ2=n2+—=(n「)n22有最小值4,所以當(dāng)(n- )2=0即n-2有最小值4,n n2又因?yàn)?Q為正值，所以O(shè)Q與OQ同時(shí)取得最小值,+4.（10分）所以O(shè)Q有最小值+4.（10分）所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是2(OP+OQ)=2(點(diǎn)評(píng)：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)?要注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用.9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 AB與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y在第一象限的圖象交于點(diǎn)c(1,6)、點(diǎn)D(3,x).過(guò)點(diǎn)C作CE上y軸于E,過(guò)點(diǎn)D作DF上X軸于F.(1)求m,n的值；(2)求直線AB的函數(shù)解析式.考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：(1)將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=—，即可求出m的值，將D(3,n)代入解析式即可求出n的值.(2)將C、D的坐標(biāo)分別代入解析式y(tǒng)=kx+b，列方程組解答即可.m解答：解：(1)由題意得仁一，0???m=6,???函數(shù)解析式為???函數(shù)解析式為將D(3,n)代入解析式得n=2.(2)設(shè)直線AB的解析式為(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,由題意得k+b=63k+b~2,■:解得 ,b=8?直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+8.用待定系數(shù)法點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)與其解析式組成的方程組的解得關(guān)系、

求函數(shù)解析式等內(nèi)容，難度不大，注重基礎(chǔ)，值得關(guān)注.用待定系數(shù)法三、勾股定理：10、清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王.近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文《積求勾股法》，它對(duì)三邊長(zhǎng)為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長(zhǎng)”這一問(wèn)題提出了解法： 若所設(shè)者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)”.用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是： 若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4別為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S,則第一步:第二步：-i=k；第三步：分另U用3、4、5乘以k,得三邊長(zhǎng)”.（1） 當(dāng)面積S等于150時(shí)，請(qǐng)用康熙的積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng);（2） 你能證明積求勾股法”的正確性嗎請(qǐng)寫出證明過(guò)程.考點(diǎn)：勾股定理；勾股定理的證明。專題：閱讀型。分析：先由題中所給的條件找出字母所代表的關(guān)系，然后套用公式解題.解答：解：（1）當(dāng)S=150解答：解：（1）當(dāng)S=150時(shí),一CJ-f—,—^JP=一一麗k=所以三邊長(zhǎng)分別為： 3X5=15,4X5=20,50=25;（2）證明：三邊為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)為k倍，則三邊為3k，4k，5k，而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊.其面積S=(3k其面積S=(3k)?(4k)=6k2，所以k2=,（取正值），即將面積除以6,然后開方,即可得到倍數(shù).點(diǎn)評(píng)：此題信息量較大，解答此類題目的關(guān)鍵是要找出所給條件，然后解答.11、（2009?溫州）一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng) 15cm,底邊上的高長(zhǎng)22.5cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為 3cm的矩形紙條，如圖所示?已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（ ）A、第4張 B、第5張C、第6張 D、第7張考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：方程思想。分析：根據(jù)相似三角形的相似比求得頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的長(zhǎng)， 再根據(jù)矩形的寬求得是第幾張.解答：解：已知剪得的紙條中有一張是正方形，則正方形中平行于底邊的邊是 3,所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可設(shè)從頂點(diǎn)到這個(gè)正方形的線段為 x,

則…225，解得則…225，解得x=4.5,所以另一段長(zhǎng)為22.5-4.5=18,因?yàn)?8￡=6，所以是第六張.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.12、（2009?茂名）如圖，甲，乙兩樓相距 20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的A處目測(cè)得點(diǎn)A與甲，乙樓頂B、C岡収子在同一直線上，若小明的身高忽略不計(jì)，則乙樓的高度是60米.米dn米dn口□!□!□□口口考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用。分析：由于兩樓是平行的，△ABD和厶ACE構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，可以利用相似比解題.解答：解：根據(jù)題意，易得：△ABD ACE,所以20_10所以二一一解得：CE=60，所以乙樓的高度是60米.點(diǎn)評(píng)：本題難度中等，考查應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.13、（2009?恩施州）恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以 雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路 X同側(cè)，AB=50km、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū) P,向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客?小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（ 1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和S1=PA+PB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是A'，連接BA'交直線X于點(diǎn)P）,P到A、B的距離之和S2=PA+PB.（1）求S1、S2,并比較它們的大小；（2） 請(qǐng)你說(shuō)明S2=PA+PB的值為最小；（3）擬建的恩施到張家界高速公路 Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（ 3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km，請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小?并求出這個(gè)最小值.

—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖。軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；作圖方案型。(1)根據(jù)勾股定理分別求得考點(diǎn)：專題：分析：Si—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖。軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；作圖方案型。(1)根據(jù)勾股定理分別求得考點(diǎn)：專題：分析：MA=MA,?MB+MA=MB+MA'在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MBMA=MA,?MB+MA=MB+MA'>A'B,?S2=BA'為最??；過(guò)A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過(guò)B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P,交Y軸于點(diǎn)Q,求出A'B'的值即可.解答：解：(1)圖(1)中過(guò)B作BC丄X于C,垂足為C;AD丄BC于D，垂足為D,則BC=40,又AP=10,?BD=BC-CD=40-10=30.122在Rt△PBC中,在厶ABD中，AD= -5'.'~=40在Rt△PBC中,?BP=.孚「就」期審S1=：I]： _ .（2分）圖(2)中，過(guò)B作BC丄AA垂足為C,貝UAC=50又BC=40,???BA'=；???BA'=；_■一I「丨，由軸對(duì)稱知：PA=PA',?-S2=BA'=10^41,（3分）Si>S2.（4分）（2）如圖（2）,在公路上任找一點(diǎn)M，連接MA,MB,MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA',???MB+MA=MB+MA'>A'B,二二S2=BA'為最小.(3)過(guò)A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，過(guò)B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B',連接A'B'，交X軸于點(diǎn)P,交Y軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求.(8分)過(guò)A'、B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn) G,ab= 1〔】廠?門—?所求四邊形的周長(zhǎng)為50+50需.(10分)點(diǎn)評(píng)：此題考查了線路最短的問(wèn)題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵，綜合運(yùn)用勾股定理的知識(shí).14、(2009?重慶)已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,/ABC=90°,DE丄AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且AE=AC.求證：BG=FG;(2)若AD=DC=2，求AB的長(zhǎng).考點(diǎn)：直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題；證明題。分析：(1)由題中可求得AE和AC所在的三角形全等，進(jìn)而得到 BG和FG所在三角形全等的條件；11求得AF長(zhǎng)即可求得AB長(zhǎng).利用等腰三角形的三線合一定理可得 AF=AC=AE，進(jìn)而求得一些角是30°主要利用AD長(zhǎng)，直角三角形勾股定理來(lái)求解.解答：證明：(1)vZABC=90,DE丄AC于點(diǎn)F,???/ABC=/AFE.(1分)在厶ABC和厶AFE中，LABC二^AFELEAF—LCABC二AE:.△ABC◎△AFE（2分）???AB=AF.（3分）連接AG,（4分）在Rt△ABG和Rt△AFG中,（AG=AG=AFRt△ABG也Rt△AFG.（5分）BG=FG;（6分）11（2）解：TAD=DC,DF丄AC,AF=_AC=_AE.（7分）/E=30.???/EAD=90,/ADE=60,:丄FAD=/E=30°,（8分）AF=；.（9分）（10（10分）?AB=AF=點(diǎn)評(píng)：本題考查直角梯形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng).突破此題的關(guān)鍵在于第一問(wèn)通過(guò)兩次全等證 Rt△ABG也Rt△AFG，第二問(wèn)求AB的11長(zhǎng)應(yīng)充分利用等腰△ADC的性質(zhì)得AF=AC=AE.從而得出/E=30°.四、四邊形：15、(2008?佛山)如圖，△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.(1)當(dāng)AB^AC時(shí)，證明四邊形ADFE為平行四邊形；(2)當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.

S考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：(1)要證明ADEF是平行四邊形，可通過(guò)證明 EF=AD，DF=AE來(lái)實(shí)現(xiàn)，AD=AC,AE=AB，那么只要證明△ABC DFC以及△FEBCAB即可.AD=DC,CF=CB，又因?yàn)?FCB=/ACD=60，那么都減去一個(gè)/ACE后可得出/BCA=/FCD，那么就構(gòu)成了SAS,△ABC DFC，就能求出AE=DF，同理可通過(guò)證明△FEBCAB得出EF=AD.(2)可按/BAC得度數(shù)的不同來(lái)分情況討論，如果/BAC=60,/EAD+/BAC+/DAC=180，因此，A與F重合A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為一條線段.當(dāng)/BAO60°時(shí)，由(1)AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是菱形.解答：證明：(1)v^ABE、△BCF為等邊三角形，???AB=BE=AE,BC=CF=FB，/ABE=/CBF=60.???/CBA=/FBE.△ABC◎△EBF.EF=AC.又???△ADC為等邊三角形，CD=AD=AC.?EF=AD.同理可得AE=DF.?四邊形AEFD是平行四邊形.(2)構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段.當(dāng)圖形為菱形時(shí)，/BAO60°(或A與F不重合、△ABC不為正三角形)當(dāng)圖形為線段時(shí)，/BAC=60(或A與F重合、△ABC為正三角形).點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是通過(guò)三角形的全等來(lái)得出線段的相等， 要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角形全等的條件是否充足，缺少條件的要根據(jù)已知先求出了.16、(2008?山西)如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE,連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE，連接AF、BE和CF.(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由;(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由;考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定。專題：證明題。分析：（1）從圖上及已知條件容易看出△BDE也FEC,△BCE◎△FDC,△ABE◎△ACF.判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，所以此題的關(guān)鍵是找出相等的邊.（2） 由（1）的結(jié)論容易證明AB//DF,BD//AF，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（3） EF//AB,EFMAB，四邊形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面積即可.解答：解：（1）（選證-）△BDE也FEC.證明：???△ABC是等邊三角形，???BC=AC，/ACB=60度.?/CD=CE,BD=AF=AE,△EDC是等邊三角形.DE=EC，/CDE=/DEC=60???/BDE=/FEC=120度.又EF=AE,BD=FE.△BDE◎△FEC.（選證二）△BCEFDC.證明：???△ABC是等邊三角形，BC=AC，/ACB=60度.又???CD=CE,△EDC是等邊三角形./BCE=/FDC=60,DE=CE.?/EF=AE,EF+DE=AE+CE.FD=AC=BC.△BCE◎△FDC.（選證三）△ABE也厶ACF.證明：???△ABC是等邊三角形，AB=AC，/ACB=/BAC=60度.?/CD=CE,?△EDC是等邊三角形./AEF=/CED=60度.???EF=AE,△AEF是等邊三角形.AE=AF，/EAF=60度.△ABE◎△ACF.（2） 解：四邊形ABDF是平行四邊形.理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形./CDE=/ABC=/EFA=60度.AB//DF,BD//AF.?四邊形ABDF是平行四邊形.（3） 解：由（2）知，四邊形ABDF是平行四邊形.EF//AB,EFMAB.?四邊形ABEF是梯形.過(guò)E過(guò)E作EG丄AB于8 ［）C8 ［）C點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定，平行四邊行的判定，及梯形面積的求解，用到的知識(shí)點(diǎn)比較多，較復(fù)雜.17、（2008?資陽(yáng)）如圖，在△ABC中，/A，/B的平分線交于點(diǎn)D,DE//AC交BC于點(diǎn)E,DF//BC交AC于點(diǎn)F.（1）點(diǎn)D是厶ABC的 心；（2）求證：四邊形DECF為菱形.A B考點(diǎn)：菱形的判定；平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：（1）由AD、BD分別是/A、/B的平分線，可知點(diǎn)D是厶ABC的內(nèi)心;（2）連接CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)證明 ？DECF為菱形.解答：解：（1）點(diǎn)D是厶ABC的內(nèi)心.（2分）（2）證法一：連接CD,（3分）?/DE//AC,DF//BC,???四邊形DECF為平行四邊形，（4分）又???點(diǎn)D是厶ABC的內(nèi)心，CD平分/ACB，即/FCD=/ECD,（5分）又/FDC=/ECD,???/FCD=/FDCFC=FD,（6分）?DECF為菱形.（7分）

證法二：過(guò)D分別作DG丄AB于G,DH丄BC于H,DI丄AC于I.（3分）?/AD,BD分別平分/CAB，/ABC,???DI=DG,DG=DH.???DH=DI.（4分）?/DE//AC,DF//BC,?四邊形DECF為平行四邊形，（5分）?-S^decfCE?DH=CF?DI,?CE=CF.（6分）點(diǎn)評(píng)：解答此題需要熟知以下概念：(1)三角形的內(nèi)心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心；(2)平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形；菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；18、2008?合爾濱)在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE,且/ABE=30°,BE=DE,連接BD.點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ//BD交直線BE于點(diǎn)Q.（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)(如圖1),求證：BE=PD+號(hào)PQ;（1）(2)的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量 x的取值范圍)；(3)在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接(如圖(2)的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量 x的取值范圍)；(3)在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接(如圖2),求線段PG的長(zhǎng).若BC=6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為 y,求y與xQC,過(guò)點(diǎn)P作PF丄QC,垂足GB考點(diǎn)：專題：分析：二次函數(shù)綜合題；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì);綜合題。(1)過(guò)點(diǎn)E作EM丄QP垂足為M;在Rt△EQP中，易得/EBD=/EDB=30;進(jìn)而3可得PE=-PQ，且be=de.故可證得BE=PD+J(2)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，所以分當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況討論，根據(jù)所做的輔助線，可得 y與x的關(guān)系；（3）連接PC交BD于點(diǎn)N,可得/QPC=90，進(jìn)而可得△PNGs^QPC；可得」（BI）解答：解：（1）證明：???/A=90/ABE=30,???/AEB=60.?/EB=ED,???/EBD=/EDB=30.?/PQ//BD,???/EQP=/EBD./EPQ=/EDB.???/EPQ=/EQP=30,（1分）（（1分）（1分）（1分）過(guò)點(diǎn)E作EM丄OP垂足為M.則PQ=2PM.???/EPM=30,????/EPM=30,?PM=,PE=「PQ.?/BE=DE=PD+PE,?BE=PD+-（2）解：由題意知AECE,???DE=BE=2AE.（1分）?/AD=BC=6,?2AE=DE=BE=4（1分）當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1）,過(guò)點(diǎn)Q做QH丄AD于點(diǎn)H，則QH=PQ=x.由（1）得PD=BE-—,PQ=4x?y=?y=「PD?QH「三/2（1分）當(dāng)點(diǎn)P當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2),過(guò)點(diǎn)Q作QH丄DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H',aQH=x.2過(guò)點(diǎn)E作EM丄PQ于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)E作EM丄PQ于點(diǎn)M，同理可得EP=EQ=一3PQ,BE=PD=—x-4y=「PD?QH=一'：..12（1分）???DC=AB=AE?tan60=???DC=AB=AE?tan60=（3）解：連接PC交BD于點(diǎn)N（如圖3）.???點(diǎn)P是線段ED中點(diǎn)，aEP=PD=2,PQ=aPC=」1 =4.acos/acos/PD1DPg二.a/DPC=60.（1分）a/QPC=180-/EPQ（1分）?/PQ//BD,a/PND=/QPC=90.（1分）（1分）???/PGN=90-/FPC,/PCF=90-/FPC,（1分）a/PGN=/（1分）???/PNG=/QPC=90,???△PNGQPC,PG^PN家‘燹，

AXCQ22222二P1「J-點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合矩形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用， 注意某個(gè)圖形無(wú)法解答時(shí)，常常放到其他圖形中，利用圖形間的角、邊關(guān)系求解.19、（AXCQ22222二P1「J-點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合矩形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用， 注意某個(gè)圖形無(wú)法解答時(shí)，常常放到其他圖形中，利用圖形間的角、邊關(guān)系求解.19、（2008?常州）如圖，這是一張等腰梯形紙片，它的上底長(zhǎng)為 2,下底長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來(lái)拼成較大的等腰梯形， 那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形？分別畫出它們的示意圖，并寫出它們的周長(zhǎng).7考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)。分析：根據(jù)題意，可考慮等積的分割與拼接.解答：解：一共可以拼出4種不同的等腰梯形?示意圖為:2 4 2. : 2 斗①周長(zhǎng)為22.周長(zhǎng)為22周長(zhǎng)為34周長(zhǎng)為勿②周長(zhǎng)為34.2 4 2周長(zhǎng)為翌注：每畫出一個(gè)正確圖形，得（1分）；正確計(jì)算出相應(yīng)圖形的周長(zhǎng)，得（ 1分）.點(diǎn)評(píng)：這類題要在動(dòng)手實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行探索， 要求學(xué)生具備動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作能力和熟悉圖形、具備推理論證的能力.20、（2008?常州）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF=ED,EF丄ED.求證：AE平分/BAD.考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證AE平分/BAD，可轉(zhuǎn)化為△ABE為等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD,再將它們分別轉(zhuǎn)化為兩全等三角形的兩對(duì)應(yīng)邊， 根據(jù)全等三角形的判定，和矩形的性質(zhì)，可確定ASA.即求證.解答：證明：???四邊形ABCD是矩形，???/B=/C=/BAD=90,AB=CD,（1分）???/BEF+/BFE=90.?/EF丄ED,???/BEF+/CED=90.（2分）???/BFE=/CED.:丄BEF=/CDE.（3分）又???EF=ED,△EBF◎△DCE.BE=CD.（4分）BE=AB.???/BAE=/BEA=45.（5分）???/EAD=45.???/BAE=/EAD.（6分）AE平分/BAD.（7分）點(diǎn)評(píng)：三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn).求證的結(jié)果可一步步轉(zhuǎn)化為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等.21、（2008?濰坊）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，BG=10.（1）當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，如圖.求△EFG的面積；（2）當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí)，如圖.證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長(zhǎng).H(A)考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理；菱形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變和矩形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)求解.解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)G作GH丄AD，則四邊形ABGH為矩形，???GH=AB=8,AH=BG=10，由圖形的折疊可知△BFGEFG,???EG=BG=10，/FEG=/B=90°?EH=6,AE=4，/AEF+/HEG=90,???/AEF+/AFE=90,B G???/HEG=/AFE,又???/EHG=/A=90°,理二坐?EF=5,11--efg=jEF?EG=^X5X1O=25.(2)由圖形的折疊可知四邊形 ABGF也四邊形HEGF,BG=EG,AB=EH，/BGF=/EGF,?/EF//BG,???/BGF=/EFG,???/EGF=/EFG,EF=EG,BG=EF,?四邊形BGEF為平行四邊形，又???EF=EG,?平行四邊形BGEF為菱形；連接BE,BE,FG互相垂直平分，在Rt△EFH中，EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6,???AE=AF+EF=16,???BE= 」二8:,?OG=j肘述護(hù)=2:,???四邊形BGEF是菱形，答：折痕GF的長(zhǎng)是4-點(diǎn)評(píng)：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.22、（2008?新疆）（1）請(qǐng)用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個(gè)矩形中各作一個(gè)不為正方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上. （保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法.考點(diǎn)：作圖一復(fù)雜作圖。分析：作矩形A1B1C1D1四條邊的中點(diǎn)Ei,Fi,Gi,比；連接日舊，E1F1,G1F1,GiHi.四邊形EiFiGlHl即為菱形；還可以在B2C2上取一點(diǎn)E2,使E2C2>A2E2且E2不與B2重合；以A2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交A2D2于H2；以E2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交B2C2于F2；連接H2F2，則四邊形A2E2F2H2為菱形.解答：解：（1）所作菱形如圖①，②所示.說(shuō)明：作法相同的圖形視為同一種.例如類似圖③，圖④的圖形視為與圖②是同一種.

（作出一個(gè)圖形得3分）（2）圖①的作法：作矩形AiBiClDl四條邊的中點(diǎn)Ei,Fi,Gi,Hi;連接HiEi，E1F1，G1F1，GiHl.四邊形EiFiGiHi即為菱形.圖②的作法：在B2C2上取一點(diǎn)E2，使E2C2>A2E2且E2不與B2重合；以A2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交A2D2于H2；以E2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交B2C2于F2;連接H2F2，則四邊形A2E2F2H2為菱形.（寫對(duì)一個(gè)作法得2分）（此題答案不惟一，只要畫法及作法合理，正確，均可酌情得分. ）點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了菱形和矩形形的性質(zhì)以及一些基本作圖的綜合應(yīng)用.23、（2008?海南）如圖，P是邊長(zhǎng)為i的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（i）求證：①PE=PD:②PE丄PD;（2）設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（i）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解.過(guò)點(diǎn) P作GF//AB，分別交AD、BC于G、F,那么可通過(guò)證三角形GPD和EFP全等來(lái)求PD=PE以及PE丄PD.在直角三角形AGP中，由于/CAD=45,因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG,而PB=PE,PF丄BE,

那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出 BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對(duì)應(yīng)邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等.可得出PD=PE,/GDP=/EPF,而/GDP+/GPD=90，那么可得出/GPD+/EPF=90，由此可得出PD丄PE.(2)求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長(zhǎng)，(1)中已得出BF=FE=AG,那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG,GP即BF,FE的長(zhǎng)，那么就知道了底邊BE的長(zhǎng)，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的長(zhǎng)，可根據(jù)三角形的面積公式得出 x,y的函數(shù)關(guān)系式.然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出 y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的取值.解答：證明：(1)①過(guò)點(diǎn)P作GF//AB，分別交AD、BC于G、F.如圖所示.—一-二.???四邊形ABCD是正方形，???四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和厶PFC都是等腰直角三角形.GD=FC=FP,GP=AG=BF，/PGD=/PFE=90度.又???PB=PE,BF=FE,GP=FE,???△EFP^APGD(SAS).PE=PD.②1=/2.:丄1+/3=Z2+/3=90度.:丄DPE=90度.PE丄PD.(2［①：AP=x,++1111???當(dāng)時(shí)，y最大值=.2 4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵.24、(2008?義烏市)如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE?我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：(1)①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度a得到如圖2,如圖3情形.請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；(2)將原題中正方形改為矩形(如圖4-6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a^bk>0),第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖 5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;(3)在第(2)題圖5中，連接DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：動(dòng)點(diǎn)型；操作型。分析：(1)四邊形ABCD是正方形推出△BCG◎△DCE?然后得出/DOH=90,推出BG丄DE.依題意得出AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka的線段比例，然后再推出/CDE+/DHO=90即可.2222依題意得出BE+DG=BD+GE,從而可求解.解答：解:(1)①BG=DE,BG丄DE.②BG=DE,BG丄DE仍然成立.在圖(2)中證明如下???四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形,???BC=CD，CG=CE，/BCD=/ECG=90,???/BCG=/DCE(1分)，???△BCG◎△DCE(SAS),BG=DE，/CBG=/CDE,又???/BHC=/DHO，/CBG+/BHC=90,???/CDE+/DHO=90,???/DOH=90,BG丄DE.(2)BG丄DE成立，BG=DE不成立.簡(jiǎn)要說(shuō)明如下：???四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形，且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a^bk>0),BCD=ZECG=90ZBCG=ZDCE,???△BCGDCE,ZCBG=ZCDE,又tZBHC=ZDHO,ZCBG+ZBHC=90,ZCDE+ZDHO=90,ZDOH=90,BG丄DE.(3)TBG丄DE,22222222?BE+DG=OB+OE+OG+OD=BD+GE,又t又ta=3,b=2,4點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分里利用正方形的特殊性質(zhì).清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系,度和準(zhǔn)確率.4點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分里利用正方形的特殊性質(zhì).清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系,度和準(zhǔn)確率.注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用， 搞利用勾股定理求解，可有助于提高解題速

五、幾何：25.如下圖做GH丄AB,連接E0。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/GFH=ZOEG,26.如下圖做厶DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得△DGC◎△APD◎△CGP,得出PC=AD=DC,和/DCG=/PCG=15°所以/DCP=30°，從而得出△PBC是正三角形27.如下圖連接BG和AB分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與AE并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn),連接EB并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FE2并延長(zhǎng)交AQ于G點(diǎn)，由AE多AB=*BiG=FB2,EB=$AB=*BC=FC，又/GFQ+/Q=90°和/GEB2+/Q=90°,所以/GEB2=ZGFQ又/B2FC2=ZA2EB2,可得△B2FC2^^A2EB2，所以A2B2=B2C2,又/GFQ+/HB2F=90°和/GFQ=/EB2A2,從而可得/A2B2C2=90°，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。222228.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q連接QN和QM所以可得/QMF=/F,/QNM=/DEN和/QMN=/QNM，從而得出/DEN=/F。29.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF,做OGLAF,又/F=/ACB=/BHD,可得BH=BF,從而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM⑵連接OBOC既得/BOC=120°,從而可得/BOM=60°,所以可得0B=20M=AH=A0,得證。

31.作OFLCDOG-BE，連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。由于ADAB=AC=CD由于ADAB=AE=BE=2BG=BG由此可得厶ADF◎△ABG，從而可得/AFC=/AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/AFC=/AOP和/AGE=/AOQ,/AOP=/AOQ，從而可得AP=AQ。EE32.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EGCI,FH可得PQ=EG+FH2由厶EGA◎△AIC，可得EG=AI，由△BFH◎△CBI，可得FH=BI。AI+BIAB從而可得PQ= = ，從而得證。

33.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連接CG.由于/ABG=/ADE=900+45°=135°從而可得B,G,D在一條直線上，可得△AGB◎△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。/AGB=3O0,既得/EAC=30°,從而可得/AEC=75°。又/EFC=/DFA=45°+30°=75°.可證：CE=CF。D34.連接BD作CHhDE,可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH,可得/CEH=300,所以/CAE=/CEA=/AED=150,又/FAE=9O0+450+150=15O0,從而可知道/F=150，從而得出AE=AF。35.作FGLCDFE1BE，可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。，可得YZ=XY-X2+xZ,X Z，可得YZ=XY-X2+xZ,tan/BAP=tan/EPF==YY-X+Z即Z(Y-X)=X(Y-X)即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP◎△PEF,37順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP60°，連接PQ,則厶PBQ是正三角形?？傻谩鱌QC是直角三角形。所以/APB=150°。38.作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE//DCBE//PC.可以得出/ABP=/ADP=/AEP，可得：AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）?？傻?BAP=/BEP=/BCP，得證。39.在BD取一點(diǎn)E,使/BCE=/ACD，既得△BECADC，可得:BEAD=，即AD?BC=BE?ACBCAC又/ACB=/DCE，可得△ABCDEC，既得ABDE=，即AB?CD=DE?AC，ACDC?BD，得證。由①+②可得：AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC?BD，得證。40.過(guò)D作AQLAE，AG丄CF，由Sade= =Sdfc，可得:2心纟妲PQ，由AE=FC。22可得DQ=DG，可得/DPA=ZDPC