2022-2023學(xué)年江蘇省南通市大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.類(lèi)比平面幾何中的定理“設(shè)是三條直線，若，則∥”，得出如下結(jié)論：①設(shè)是空間的三條直線，若，則∥；

②設(shè)是兩條直線，是平面，若，則∥；

③設(shè)是兩個(gè)平面，是直線，若則∥；

④設(shè)是三個(gè)平面，若，則∥；其中正確命題的個(gè)數(shù)是

（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：B2.f（x）=x3﹣x2+ax﹣1己知曲線存在兩條斜率為3的切線，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A．（3，+∞） B．（3，） C．（﹣∞，] D．（0，3）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有兩個(gè)不等的正根，運(yùn)用判別式大于0，兩根之和大于0，兩根之積大于0，解不等式即可得到a的范圍．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x2﹣2x+a，由題意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有兩個(gè)不等的正根，則△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，解得3＜a＜．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查二次方程實(shí)根的分布，以及韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3.（5分）已知，則的值為（）A．B．C．D．參考答案：A∵sinθ+cosθ=﹣，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=sin2θ=﹣；又cos（2θ﹣）=﹣sin2θ，∴cos（2θ﹣）=﹣（﹣）=．故選A．4.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈）的周期為π，將函數(shù)f（x）的圖象沿著y軸向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)g（x）圖象，設(shè)g（x）＜1，對(duì)任意的x∈（﹣，﹣）恒成立，當(dāng)φ取得最小值時(shí)，g（）的值是（）A． B．1 C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)g（x）＜1得出﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；再根據(jù)x∈（﹣，﹣）得出﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ，可求φ的范圍，從而求出g（）的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈）的周期為π=，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ），g（x）=sin（2x+φ）+1＜1，∴sin（2x+φ）＜0，∴﹣π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；又x∈（﹣，﹣），∴﹣＜2x＜﹣，∴﹣+φ＜2x+φ＜﹣+φ；∴2kπ﹣≤φ≤2kπ+，k∈Z；又∵φ∈，∴﹣≤φ≤0，∴當(dāng)φ取得最小值﹣時(shí)，g（）=sin（2×﹣）+1==．故選：C．5.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)==i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知函數(shù)則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.在集合中任取一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量,從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形,記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為,在區(qū)間和分別各取一個(gè)數(shù),記為和,則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.如圖，要測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，則AB的距離是（

）A．20

B．20

C．40

D．20參考答案：D9.設(shè)，，，則（）．

．

．

．參考答案：A,,，所以，選A.10.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（

）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45參考答案：A試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點(diǎn)：條件概率．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若,則=

.參考答案：略12.定義在上的函數(shù)，則

.參考答案：113.若四面體的三視圖如右圖所示，則該四面體的外接球表面積為_(kāi)____．參考答案：試題分析：該幾何體如圖所示，放在長(zhǎng)方體中更直觀．則，，.考點(diǎn)：幾何體的表面積.14.已知雙曲線的離心率為2，且它的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .參考答案：

；由已知得，且，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.15.給出下列四個(gè)結(jié)論：①“若，則”的逆命題是真命題；②設(shè)，則“或”是“”的充分不必要條件；③函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)；④已知服從正態(tài)分布，且，則。其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________。（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）參考答案：②③①的逆命題為：“若，則”，當(dāng)時(shí)，命題不成立。根據(jù)充分條件和必要條件的判斷可知②正確。當(dāng)時(shí)，，所以恒過(guò)定點(diǎn)，所以③正確；根據(jù)正態(tài)發(fā)布的對(duì)稱(chēng)性可知,，所以，所以④錯(cuò)誤，所以正確的結(jié)論有②③。16.曲線和曲線圍成的圖形面積是

．參考答案：略17.如圖，已知△ABC中，D為邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接AD，E為線段AD的中點(diǎn)，若，則m+n=．參考答案：

【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，向量加減法的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得出，這樣便可得出m+n的值．【解答】解：根據(jù)條件，====；又；∴．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分13分）已知暗箱中開(kāi)始有3個(gè)紅球，2個(gè)白球（所有的球除顏色外其它均相同）．現(xiàn)每次從暗箱中取出一個(gè)球后，再將此球以及與它同色的5個(gè)球（共6個(gè)球）一起放回箱中．（I)求第二次取出紅球的概率；

(II)求第三次取出自球的概率；

(Ⅲ)設(shè)取出白球得5分，取出紅球得8分，求連續(xù)取球3次得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：19.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)．參考答案：20.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=2an+n﹣1，且a1=1．（Ⅰ）求證：{an+n}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（Ⅰ）利用an+1=2an+n﹣1化簡(jiǎn)即得結(jié)論；（Ⅱ）通過(guò)a1=1可知數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用分組法求和計(jì)算即得結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：∵an+1=2an+n﹣1，∴==2，∴數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列；（Ⅱ）解：∵a1+1=2，∴數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，∴an+n=2n，即an=﹣n+2n，∴Sn=﹣（1+2+…+n）+（21+22+…+2n）=﹣+=2n+1﹣﹣2．21.設(shè)是由有限個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，且，這里，并對(duì)任意的，都有，.已知對(duì)任意的，若，則，求集合M的元素個(gè)數(shù)的最小值.（這里，表示集合X的元素個(gè)數(shù)）參考答案：記不妨設(shè)；．設(shè)，．對(duì)任意的，都有，互不相同，，即．對(duì)任意的，若，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，．若，則，若，則總有另一方面，取，則符合要求．此時(shí)，．綜上所述，集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為．22.已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線,與直線分別交于兩點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程；（Ⅱ）(ⅰ)設(shè)直線,的斜率分別為，求證為定值；

(ⅱ)求線段的長(zhǎng)度的最小值.參考答案：解：(Ⅰ).橢圓的方程為.

………3分（Ⅱ）(ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴

………5分∵點(diǎn)在橢圓上，∴，∴∴

………7分(ⅱ)設(shè)直線的方程為，

則且

………9分∵