2021高考數(shù)學(xué)模擬卷與訓(xùn)練卷六（解析版）（新高考卷）

2021高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練卷六（解析版）

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.已知集合4={42*—1區(qū)2,xeZ},則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】

化簡集合A，根據(jù)集合元素的個(gè)數(shù)可得子集個(gè)數(shù).

【詳解】

A=|jc||2x-l|<2,xeZ}=|x|-1-<Jc<|,A：ez|={0,l},共兩個(gè)元素

則集合A的子集個(gè)數(shù)為22=4

故選：D

2.若等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“，貝『§020>0，52021<0"是"%）4。"<0"的（）

A.充分必要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

由S2°2o>O,邑以<。，利用求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可得：即）10>0，巧0“<。結(jié)合充分條件與必要條

件的定義可得出結(jié)論.

【詳解】

Jl

若$2020>°，§2021<°，；?-"=1010（<7]010+4ou）>0,即<2|0|0+4[01]>°.

2021x"+：閆=20214°U<0.六。⑼°>（）,aW]<0,可得%|陷?！?lt;0,充分性成立；

反之，若/io<0,4ou〉0,滿足.0%”<0,不能推出"S2020〉0,S?⑼<0",必要性不成立，故"S2020>°，

邑⑶是的充分不必要條件，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：充要條件的判斷問題，是高考不可少的內(nèi)容，特別是充要條件可以和任何知識點(diǎn)相結(jié)合，充要條

件的判斷一般有三種思路：定義法、等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)化法、集合關(guān)系法.

3.若實(shí)數(shù)。，萬滿足意=2+，，貝|||。+4[=（）

A.屈B.58C.取D.34

【答案】A

【分析】

由翌=2+，得〃+7=26+1+佳-2），即可得。=7/=3,則問題可得結(jié)果.

b-l

【詳解】

由9=2+'得〃+，=（2+，）e一7）=2人+1+（6—2"所以4=?+1/一2=1得4=7,匕=3

b-i

所以w+萬|=|7+3/|=V72+32=屈

故選：A

4.已知直線4：，nx-y=l與直線（：x-m）'T=0平行，則加的值為（）

A.1B.-1C.1或一1D.0

【答案】B

【分析】

根據(jù)兩直線平行的條件列方程，解方程求得加的值.

【詳解】

由于“生，所以加*(一加)=1x(-1),即/〃2=],加=±1.

當(dāng)加=1時(shí)，兩條直線重合，故機(jī)H1,

所以m=一1.

故選:B

5.已知向量2=(/1+1,2),5=(-2,2),^\a-2b\=\a+2b\,則2=()

A.2B.1C.-1D.-3

【答案】B

【分析】

由B-2萬(=B+2單可得7石=0，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】

一—一一I——|2I——12

由|4一2/?|=|〃+2。|兩邊同時(shí)平方可得：卜，-2可=。+2可，

整理得：a-b=0>而。力=-2(%+1)+4=0,

解得：2=19

故選：B.

6.已知數(shù)列{%},ai=l,。"1=!5+二，則該數(shù)列的第3項(xiàng)等于()

22

135

A.1B.—C.-D.一

448

【答案】c

【分析】

根據(jù)遞推關(guān)系先求出的，即可求出。3?

【詳解】

,11

=-a,,+—,

=ta?+1

11,113

二.％=萬。］+2=1,。3=耳％+■-7=-?

故選：C.

7.已知四面體P—ABC中，AB1AC,ABA.PB,且A8=PB=2AC=2,PC=3,則該四面體的

外接球的體積為（）

.c9C27

A.97rB.-7tC.87rD.—7T

24

【答案】B

【分析】

根據(jù)勾股定理及逆定理、直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、球的體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

取AP、CP的中點(diǎn)。、0,連接￡)0、OB、DB、OA,

因?yàn)樗园?族是以AP為斜邊的直角三角形，

因此AP=JA32+PB2=J22+2?=2及,DB=3AP=O,

因?yàn)锳C=1,PC=3,所以有A尸+4。2=2。2,即AC_LQ4,即△ACP是以CP為斜邊的直角三角

13

形，顯然有。4=0C=0P=—PC=—,

22

因?yàn)锳CJ.P4,ABVAC,ABcPA=A,AB,PAu平面PAB,

所以4。_1_平面加8,因?yàn)锳P、CP的中點(diǎn)是D、O,所以8//4:且。。=,4。=』，

22

因此0。！.平面Q45,而BDu平面Q45,所以O(shè)OLDB,即△OOB是以。8為斜邊的直角三角形,

所以0B=SD?+DB?=、工+2二,

\42

3

于是有OA=OC=OP=OB=~,所以點(diǎn)。是四面體P-ABC的外接球的球心，

2

所以四面體尸一ABC的外接球的體積為g,?.（$3=g萬，

故選：B

3'-'+1,(%<1),4

8.已知函數(shù).f(x)=<|ln(x—l)|(x>l)'若/(*)=/(X)—24(x)+§的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為%則實(shí)數(shù)4取值范

圍為（）

A-(^-,|]U(p+°o)B，(W9U(2,+8)

3633o

4

C.匕⑵D.（-,+co）

o

【答案】D

【分析】

畫出了（X）的圖象，結(jié)合產(chǎn)（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)的圖象可得方程2畫+g=0的解4、滿足

%Nt2

0</,<],根據(jù)根分布可求實(shí)數(shù)。取值范圍.

z2>2

【詳解】

〃x）的圖象如圖所示:

44

因?yàn)镕（x）=/2（x）-24。）+§有4個(gè)不同的零點(diǎn)，故『一2〃+§=0有解,

4

設(shè)此關(guān)于，方程的解為t2,其中:由均不為零且丫2=].

由題設(shè)可得關(guān)于x的方程/（x）=G和/（x）=t2共有4個(gè)不同的解，

hwt2，i。t?

故0<t]<1（舍）或<0<441或<4>2（舍）.

0<z2<1t2>2，2>2

4

l-2<z+-<0

3

44

所以《4—4nH—<0,解得a>—.

33

4

0-2ax0+—>0

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：復(fù)合方程的解的討論，一般通過換元轉(zhuǎn)化為內(nèi)、外方程的解來處理，注意根據(jù)已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

合理推斷二次方程的根的情況.

二、多選題

9.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)(一個(gè)數(shù)學(xué)分支)里一個(gè)非常重要的定理，簡單的講就是對于滿

足一定條件的圖象為連續(xù)不斷的函數(shù)/(x),存在一個(gè)點(diǎn)/，使得/(%)=不，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)

點(diǎn)”函數(shù)，下列為"不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()

A./(X)=X+1B./(%)=--%,X>0

X

2

C.f(x)=X-X+3D./W=log1x

2

【答案】BD

【分析】

對于ABC：通過解方程/(%)=/可得答案；對于D,通過作出兩個(gè)函數(shù)的圖象可得答案.

【詳解】

四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象顯然都是連續(xù)不斷的,

對于A：當(dāng)天+1=/時(shí)，該方程無解，故A不滿足;

對于B：當(dāng):一與=/，/>0時(shí)，解得/=乎，故B滿足;

對于C：當(dāng)片一天+3=/，即（％-1）2+2=0時(shí)，無實(shí)數(shù)根，故C不滿足；

對于D；畫出/（x）=l°g|尤與y=x的圖象顯然有交點(diǎn)，即存在一個(gè)點(diǎn)廝，使得/（%）=』，故D滿足;

2

綜上，BD均滿足.

故選：BD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用"不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的定義求解是解題關(guān)鍵.

10.已知曲線G：y=cos4x,。2：y=sin（2x+?1,則下面結(jié)論正確的是（）

TT

A.把曲線G向左平移二個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,

3

得到曲線。2

7T

B.把曲線G向右平移三個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到曲線。2

C.把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移W單位長度，

得到曲線

D.把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線向右平移看個(gè)單位長度，

得到曲線

【答案】BD

【分析】

由曲線G到曲線可先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換.

【詳解】

曲線G到曲線G的轉(zhuǎn)換可通過兩個(gè)途徑放縮、平移可得：

途徑一：向右平移二，即>=854》=〉=35(4工-§1，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來

24I6；

乃、JIjiJI(兀、

4x——=>y=cos(2x——)=cos(2x+----)=sin2x+—,可得

(6)632

選項(xiàng)B正確.

途徑二：把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，即丁=以《4%=了=以《2%,所得

曲線向右平移2個(gè)單位長度即

TC7CTC?7C

y=cos2x=>y=cos2(x---)=cos(2x)=cos(2x+-----)=sin2x+一,可得選項(xiàng)D正確.

12632\3

故選:BD

11.已知K，F(xiàn),分別是橢圓c：三+￡=1的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)

95

論正確的是()

A.心的周長為10

B.△0百工面積的最大值為26

C.當(dāng)/尸耳鳥=60。時(shí)，△尸￡鳥的面積為孚

D.存在點(diǎn)p使得西瓦=0

【答案】AB

【分析】

由橢圓C:,+5=l的方程可得a=3,0=G,c=2,由△PG鳥的周長為2a+2c可判斷A,當(dāng)點(diǎn)P位

20

于短軸端點(diǎn)時(shí)，百鳥的面積最大，可判斷B,利用余弦定理可橢圓的定義求出|尸￡卜歸居|=§,可判

22

斷C,設(shè)尸（事,%），則**+微-=1,由西?%=0可得為2+為2=4,解出方程可判斷D.

【詳解】

22

由橢圓。：±+±=1的方程可得。=3,。=6,c=2

95

△尸￡鳥的周長為2a+2c=10,故A正確

當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí)，△尸￡鳥的面積最大，最大值為gx2cxb=26，故B正確

當(dāng)NPg=60。時(shí)，由余弦定理可得|心『+p用2一歸國療用=16

所以（歸制+|P用丫一3|刊訃歸用=16,所以（2a『一3歸功歸用=16,可得|P用「鳥|=弓

所以△「/記的面積為g|PK|.|P周sin60。=半，故C錯(cuò)誤

22

設(shè)P（x。，%），則手+*=1

95

9

2

立

不成

為

-25一

由兩?%=0可得當(dāng)2+%2=4,從而可得解得％2=4-4,

故選：AB

12.某大學(xué)進(jìn)行強(qiáng)基計(jì)劃招生時(shí)，需要進(jìn)行邏輯思維和閱讀表達(dá)兩項(xiàng)能力的測試.學(xué)校對參加測試的200名

學(xué)生的邏輯思維成績、閱讀表達(dá)成績以及這兩項(xiàng)的總成績進(jìn)行了排名.其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況

如圖所示：

200

20總0閱

成讀

績褰

排達(dá)......r丙

名成

績

排

名

。邏輯思維成績排名200~0邏輯思維成績排名200

則下面判斷中一定正確的是（）

A.甲同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前

B.乙同學(xué)的閱讀表達(dá)成績排名比他的邏輯思維成績排名更靠前

C.甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中，甲同學(xué)更靠前

D.甲、乙、丙三位同學(xué)的閱讀表達(dá)成績排名中，丙同學(xué)更靠前

【答案】ABC

【分析】

通過對圖形中的信息的閱讀和理解，可以分析出來，甲，乙，丙的類比情況.

【詳解】

對于A,甲同學(xué)的邏輯思維能力比較靠前，但是總成績比較靠后，說明甲同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的

閱讀表達(dá)成績排名更靠前，故A正確.

對于B,乙同學(xué)的總排名比較靠前，但是他的邏輯思維排名比較靠后，說明他的閱讀表達(dá)排名比邏輯排名

成績更靠前，故8正確.

對于C,甲乙丙三位同學(xué)的邏輯思維排名順序是甲，丙，乙，故甲同學(xué)最靠前.故C正確.

對于D，丙同學(xué)的閱讀表達(dá)成績排名居中，但是甲乙同學(xué)的閱讀表達(dá)成績排名不能具體確定，所以O(shè)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

第H卷（非選擇題）

三、填空題

13.甲、乙兩人在我校舉行的“傳承紅色經(jīng)典，紀(jì)念抗美援朝70周年”演講比賽中，6位評委的評分情況如下

方莖葉圖所示，其中甲的成績的中位數(shù)是82,乙的成績的平均數(shù)是84,若正實(shí)數(shù)。，b滿足：X,—,y

2

成等差數(shù)列，則」一+」一的最小值為_____.

<7+1b+\

甲乙

85738

74x83y

2915

2

【答案】y

【分析】

由中位數(shù)和平均數(shù)的定義求x和根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到。+〃=4,再利用"1"的變形，利用基本不

等式求最值.

【詳解】

由莖葉圖可知：x=0,y=4.

回正實(shí)數(shù)a,b滿足：x,a,b,y成等差數(shù)列；

^a+b=x+y=4?

田」一+」-="+D+S+1)]?(」一+'-

a+lb+\6U+lb+\

b+]a+1)1(c俗+1a+112

-2++>-2+2.-------------=-

61a+ib+i)6Va+1"1)3

當(dāng)且僅當(dāng)a=2,。=2時(shí)等號成立.

2

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是"1”的妙用，將」一+」一變形為

a+\b+\

+上=2[(a+1)+S+1)]?(一二+1二]，最后利用基本不等式求最值.

a+1b+\61a+lb+\J

14.^|+1+V2j(x>0)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案]電1

【分析】

(x>0)可化為,寫出展開式的通項(xiàng)，令x的次數(shù)為零，求解即可.

【詳解】

5

(X1

----1------F(x>0)可化為(

\2x

IO-2r

因而

令10—2r=O,則r=5,

63夜

故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為G%

2

故答案為：竽

15.廣東省2021年的新高考按照“3+1+2”的模式設(shè)置，"3"為全國統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3門必考

科目；"1”由考生在物理、歷史2門中選考1門科目；"2”由考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門中

選考2門科目.則甲，乙兩名考生在選考科目中恰有兩門科目相同的方法數(shù)為

【答案】60

【分析】

根據(jù)題意，分兩種情況討論：(1)甲乙兩名考生選考科目相同的1科在物理或歷史，另一科在“思想政治、

地理、化學(xué)、生物學(xué)”中；(2)甲乙兩名考生選考科目相同的為“思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)”中兩科,

由加法原理計(jì)算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，分兩種情況討論：

(1)甲乙兩名考生選考科目相同的1科在物理或歷史，

另一科在“思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)”中，

有C；C：M=48種方法；

(2)甲乙兩名考生選考科目相同的為“思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)”中兩科,

有洛=12種方法；

則甲，乙兩名考生在選考科目中恰有兩門科目相同的方法數(shù)為48+12=60種;

故答案為：60.

定義：若數(shù)列滿足則稱該數(shù)列為函數(shù))的“切線-零點(diǎn)數(shù)列”.已知函數(shù)

16.4｝70'“X

/(x)=x2+px+q有兩個(gè)零點(diǎn)—I、2,數(shù)列｛玉｝為函數(shù)“X)的“切線-零點(diǎn)數(shù)列"，設(shè)數(shù)列｛4｝滿足

q=3,凡=ln上數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S2O2（）=

+1

【答案】3-22020-3

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)“X）的零點(diǎn)可求得八4的值，求出了'（X）,推導(dǎo)出數(shù)列｛為｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的

首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求得$2020.

【詳解】

-1+2=一PP=T

?.?/（》）=%2+.%+4有兩個(gè)零點(diǎn)一1、2,由韋達(dá)定理可得，-1x2=.，解得|

a=一2'

f(^x)-x2-x-2,/f(x)=2x-l.

由題意得x-宏彳=署

x.+i-2=2x“一1=x；-4x“+4

%+i+l片+2?]片+2七+1

2當(dāng)一1

x—2

.??/+]=In=24.

七+1K+lZ+l

又q=3,所以，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，所以，a“=3-2"T,

2000

_3x(l-2).2020_.

§2020=j―323

故答案為：3?22°20一3.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；

（2）對于｛a也｝型數(shù)列，其中｛q｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；

（3）對于｛勺+么｝型數(shù)列，利用分組求和法；

（4）對于＜」一型數(shù)列，其中｛4｝是公差為d（d，O）的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.

、anan+\J

四、解答題

17.在①〃sinC=csin（A+g）,②人=acosC+^csinA，③acos3+/?cosA=2ccosA.

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.

4

問題：在口A5c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,C,□A8C外接圓面積為§7：,sin3=2sinC,

且______,求□ABC的面積.

【答案】巫

3

【分析】

先通過選的條件計(jì)算出角A,再根據(jù)口A8C外接圓面積求出半徑，然后利用正弦定理算出。，再根據(jù)

sin3=2sinC,得到邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理算出三角形的邊，最后利用面積公式即可獲解.

【詳解】

若選①：因?yàn)閍sinC=csin（A+g）,

在「IABC中，由正弦定理得sinAsinC=sinCsinM+-|j,

因?yàn)镺VCVTT,所以sinCwO,

所以sinA=sin（A+gJ=/1sinA+&sA,

22

即」sinA=—^cosA,所以tanA=百，

22

因?yàn)?<4<兀，所以A=：7T,

因?yàn)榭?3。外接圓面積為3兀，所以半徑r=辿，

33

c田c2^3^3

由嬴I=2r得。=2x----x—=2,

32

又sin3=2sinC,所以人=2c,

由余弦定理/=b2+。2-?ccosA得4=4,+c2-2c2,

Agzs.242G4百

解得c=—>即c=----，h=----,

333

的ins1〃一14x/32>/3V32A/3

所以S八AA「=—8csinA=—x---x---x——=---.

△A3。223323

若選②：由正弦定理得sinB=sinAcosC+^^sinCsinA,

3

sin（A+C）=sinAcosC+—sinCsin/l,

3

sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+——sinCsinA

3

化簡得：cosAsinC=—sinCsinA，

3

因?yàn)?<。<兀，所以sinCVO,所以tanA=G，

7T

因?yàn)镺<A<71,所以A=§.

其余步驟同①.

若選③：由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCeosA,

所以sin(A+3)=2sinCcosA,所以sinC=2sinCeosA,

因?yàn)?)vC<7T,所以sinCwO,所以cosA='，

2

jr

因?yàn)?cA<兀，所以A=§.

其余步驟同①.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，解題中要注意條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,

確定選用的公式與順序，用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換是一種重要技巧，它的目的是讓邊角分離，便于求解.

2

18.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足。，用=1一一\(〃eN*),其中q=1.

(1)證明：h一一二!是等比數(shù)列；

Iq"J

(2)令2=三1,設(shè)數(shù)列｛(2〃-1)也,｝的前〃項(xiàng)和為S“，求使S,<2021成立的最大自然數(shù)〃的值.

【答案】(1)證明見解析；(2)最大自然數(shù)〃=6.

【分析】

,1

(1)根據(jù)題中條件，可得1------^的表達(dá)式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；

%一2

（2）由（I）可得1-w”=2",則可得a=2",根據(jù)錯(cuò)位相減求和法，可求得S”的表達(dá)式，根據(jù)S“的

單調(diào)性，代入數(shù)值，分析即可得答案.

【詳解】

解：(1)0??,=1――=

+%一4tz?-4

a「63

1_4+I—3_4—4_6—34+12—2(q,—3)“a.—3_211__

a2a2

n+\~,l+\~。"-6_2a“-6-2a“+8-(??-2)an-11an-27

a“一4

1-----------

即一312=2,

1-

%-2

1ci—31—3.

01------^是首項(xiàng)為，]^=丁==2,公比為2的等比數(shù)列.

??-2]?1-2-

⑵由⑴知，1一￡=2",

即一=￡^Z1=1--1—…2”,

%一24—24,—2

田伽一1）也=（2“—1）.2”,

S?=1-2'+3-22+5-23+...+(2H-1)-2%①

234+l

2S?=l-2+3-2+5-2+-..+(2n-l)-2",②

①減②得

-S?=l-2'+2（22+23+---+2n）-（2n-l）-2n+1=2+2--^^-一（2n-l）-2n+l

=（3-2n）-2,,+1-6.

n+,

a5n=（2n-3）-2+6.

n+2n+1n+,

ffl5?+1-5?=（2n-l）-2-（2n-3）-2=2（2n+l）>0,

團(tuán)S”.單調(diào)遞增.

7

0S6=9X2+6=1158<2（）21,

8

S7=11X2+6=2822>2021.

故使S,<2021成立的最大自然數(shù)〃=6.

【點(diǎn)睛】

解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給形式，進(jìn)行配湊和整理，根據(jù)等比數(shù)列定義，即可得證，求和常用的方法有：①公

式法，②倒序相加法，③裂項(xiàng)相消法，④錯(cuò)位相減法等，需熟練掌握.

19.在四棱錐P-ABC。中，P4,平面ABCD,底面A8CO是直角梯形，其中AO〃BC,ADLCD,

Q4=2AT>=2CZ）=BC=4,E為BC的中點(diǎn)，設(shè)Q為PC上一點(diǎn).

（1）求證：DE工PC；

(2)若直線EQ與平面PAC所成的角的正切值為也，求二面角E-AQ-C的余弦值.

2

【答案】(1)證明見解析；(2)叵.

5

【分析】

(1)要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明Z)E_L平面P4C；

(2)首先利用線面角求得點(diǎn)。為PC的中點(diǎn)，再以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法求

二面角E—AQ-C的余弦值.

【詳解】

(1)由題意得四邊形ADCE是正方形，，AC,又平面ABCD,PA±DE.

又Q4cAe=A,團(tuán)。￡；_1平面PAC,DELPC.

(2)設(shè)ACcOE=。，連接OQ,由(1)得：OE_L平面PAC,

0NEQO為EQ與平面PAC所成的角，

0tanZEQO-，aEO=C，團(tuán)0Q=2,

OQ2

回Q為PC的中點(diǎn)

以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在的直線分別為x軸、v軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

田A(0,0,0),E(2,0,0),C(2,2,0),尸(0,0,4),2(1,1,2),0(0,2,0),

設(shè)平面AEQ的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

n-AE=0[2x=0

n-AQ=0[x+y+2z=0

令z=-l,13y=2,x=0,an=(0,2,-l)

易得平面ACQ的一個(gè)法向量為方后=(2,-2,0),

--------I八\,Ilyl1

團(tuán)cos〈￡)瓦萬〉=.——,-=-,

如同5

回二面角E-AQ-C的余弦值為叵.

5

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是第一問，不管證明面面垂直還是證明線面垂直，都需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，一般

證明線線垂直的方法包含1、矩形，直角三角形等，2、等腰三角形，底邊中線，高重合，3、菱形對角線

互相垂直，4、線面垂直，線線垂直.

20.為快速控制新冠病毒的傳播，全球多家公司進(jìn)行新冠疫苗的研發(fā).某生物技術(shù)公司研制出一種新冠滅活

疫苗，為了檢測其質(zhì)量指標(biāo)，從中抽取了100支該疫苗樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)質(zhì)量指標(biāo)得到如圖所示的頻率分布直

方圖.

（1）求所抽取的樣本平均數(shù)裁同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）將頻率視為概率,若某家庭購買4支該疫苗,記這4支疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于（10,3（）］內(nèi)的支數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）1=26.5;（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：2.

【分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù)；

（2）首先求出每支滅活疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于（10,30］內(nèi)的概率，可得X~,即可求出隨機(jī)變量

X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

【詳解】

解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得各組的頻率為：

（0,10］的頻率為：0.010x10=0.1?（0,20］的頻率為：0.020x10=0.2；

（20,30］的頻率為：0.030x10=0.3；（30,40］的頻率：（）.025x10=0.25；

(40,50］的頻率為：0.015x10=0.15,

0%=5xO.l+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5?

(2)根據(jù)題意得每支滅活疫苗的質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30］內(nèi)的概率為0.2+0.3=0.5,

所以X的可能取值為：0,1,2,3,4,

P(X=0)=叱P(X=D=C；?T

P(X=2)=C出)=(,P(X=3)=C：R)=；，

\,乙)%y4

P(X=4)=C：y<iVi

0X的分布列為：

X01234

131

P

?648416

iaE(X)=0x—+lx—+2x—+3x—+4x—=2.

1648416

22

21.已知雙曲線。:斗一方=1(。>04>0)的焦距為26，且過點(diǎn)4(20,-1),直線/與曲線C右支

相切(切點(diǎn)不為右頂點(diǎn))，且/分別交雙曲線。的兩條漸近線與A/、N兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程;

(2)求證：面積為定值，并求出該定值.

下2

【答案】(1)--/=1；(2)證明見解析，△MON面積為2.

4

【分析】

(1)根據(jù)題意可得關(guān)于。、b、，的方程組，求出/、從的值，由此可得出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/的方程丫="+%,將直線/的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，由A=0可得出女、加所滿足的

等式，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可計(jì)算出△MQV的面積.

【詳解】

(1)設(shè)雙曲線C的焦距為2c(c>0),

2c=2逐.

2

12020=4r

由題意可得：］c=a+b-=>\2，則雙曲線。的方程為二—V=l；

c.人=14

(2)由于直線/與雙曲線。右支相切(切點(diǎn)不為右頂點(diǎn))，則直線/的斜率存在,

設(shè)直線/的方程為、="+〃?，

y=kx+m

則￡2消y得(4%2—l)x2+8hwc+4/n2+4=0,

彳

A=(Ak2nr—4(4%?—1^4//22+4)=0=4攵？=〃/+1,①

設(shè)/與X軸交于一點(diǎn)O,|OD|=—m，

K

S^OMN=S4MOD+=3。。乂血-%|二^~|外聞-4|，

乙乙K

雙曲線兩條漸近線方程為：y=+^x,

2

11

y-—x2mmy——x-2mm

聯(lián)立‘2聯(lián)立?2nN

1—2k'l—2%2攵+1'2Z+1

y-kx+m