2021屆甘肅省第二次高考診斷數(shù)學(xué)（理）試卷解析

絕密★啟用前

2021屆甘肅省第二次高考診斷數(shù)學(xué)（理）試題

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案

正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合4B={-2,-l,0},則AC]3=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}c.{-1,0}D.{-2,—1,0}

答案：C

化簡集合A,根據(jù)交集運算可求得結(jié)果.

解：因為乂等價于，(x-l)(x+2)W0

c,、等價于-2<xWl,

x+2X+2H0

所以A={x|-2<x41},又3={-2,-1,0},

所以4口8={-1,0}.

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-2i）=3+F,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-iD.1

答案：D

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.

5?c.33+『(3-z)(l+2z)3+6z-z+2,

解：由z(l-2。=3+r=z=-----=------------------------=1+

')l-2z(l-2z)(l+2z)5

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1，

故選：D

3.已知函數(shù)"xbsinx+ZI，則函數(shù)的圖象為（）

B.

答案：C

判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)圖象關(guān)于原點對稱排除選項D,根據(jù)/(0)=0排除選項B,

根據(jù)/(乃)〉。排除選項A,從而可得答案.

解：因為/(x)=sinx+Vq，定義域為R,關(guān)于原點對稱，

所以/(-x)=sin(-x)+^~~=-sinx+^―=-/(%)>

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以D不正確；

e0—1

因為/(O)=sinO+-5-=0,所以B不正確；

/-1/-]

因為/(〃)=sin〃+-------=-------->0,所以A不正確.

/+1d+1

故選：c

4.雙曲線上—《=1（機>0,〃>0）的漸近線方程為y=±*實軸長為2,則，

為（）

11^2

A.-1B.1-72C.-D.1--

22

答案：A

根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到〃=2加，根據(jù)雙曲線的實軸長求出加=1,〃=2,從而

可得結(jié)果.

解：因為雙曲線二—工=1（加>0,〃>0）的漸近線方程為y=土與x，

所啜等

即〃=2m,

又雙曲線的實軸長為2,所以2詬=2,得機=1，所以〃=2,

所以加一〃=1-2=-1.

故選：A

5.如圖，在棱長為2的正方體ABC。一ABCQI中，E,￡G分別是棱AB,BC,CG

的中點，尸是底面ABCO內(nèi)一動點，若直線。P與平面EFG不存在公共點，則三角

形PBB,的面積的最小值為

2

D.

答案：c

延展平面EFG,可得截面瓦其中“、Q、R分別是所在棱的中點，可得

。尸//平面EFGHQR，再證明平面QAC//平面E/G//QR,可知p在AC上時，符合

題意，從而得到P與。重合時三角形PB用的面積最小，進(jìn)而可得結(jié)果.

解:

延展平面EFG,可得截面EFGHQ&其中H、Q、R分別是所在棱的中點,

直線2P與平面EFG不存在公共點,

所以DF”平面EFGHQR,

由中位線定理可得AC//EF,

ER在平面EFGHQR內(nèi)，

AC在平面EFGHQR外，

所以AC//平面E/GHQR,

因為。尸與AC在平面。AC內(nèi)相交，

所以平面。AC//平面EFGHQR,

所以「在AC上時，直線。尸與平面EFG不存在公共點，

因為B。與AC垂直，所以P與0重合時BP最小，

此時，三角形的面積最小，

最小值為''2'友=/，故選C.

2

本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線面平行的

常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條

與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)

或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面

平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.

6.某地以“綠水青山就是金山銀山”理念為引導(dǎo)，推進(jìn)綠色發(fā)展，現(xiàn)要訂購一批苗木，

苗木長度與售價如下表：

苗木長度X（厘米）384858687888

售價y（元）16.818.820.822.82425.8

由表可知，苗木長度8（厘米）與售價y（元）之間存在線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為

y=Q.2x+a,則當(dāng)苗木長度為15（）厘米時，售價大約為（）

A.33.3B.35.5C.38.9D.41.5

答案：C

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出樣本點中心,根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本點中心求出2,再將x=150

厘米代入回歸方程可求出結(jié)果.

._38+48+58+68+78+88

解：因為------------------------=63,

6

_16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8°=

y=------------------------------=21.5,

6

所以樣本點中心為（63,21.5）,

又回歸直線9=0.21+&經(jīng)過（63,21.5）,

所以21.5=0.2x63+2,所以4=8.9,

所以回歸方程為9=0.2x+8.9,

當(dāng)x=150時，3=38.9厘米.

則當(dāng)苗木長度為150厘米時，售價大約為38.9厘米.

故選：C

7.數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾“，若點（〃同,）在函數(shù)/（x）=f+2x的圖象上，則。2岡=

（）

A.2021B.4041C.4042D.4043

答案：D

根據(jù)點（〃，5“）在函數(shù)/（x）=f+2x的圖象上，得到S“=〃2+2〃，再利用數(shù)列通項與

色,〃=1

前n項和的關(guān)系。.求解?

[5?-Sn_,,n>2

解：因為點（”,S“）在函數(shù)/（x）=f+2x的圖象上，

所以5“=1+2〃，

當(dāng)〃=1時，q=$=3,

22

當(dāng)篦之2時,an=Sn-Sn_i=n+2n-^(n-l)+2(n-l)j=2n+l,

又q=3適合上式,

所以勺=2〃+1,

所以]=2x2021+1=4043,

故選：D

方法點評：1、數(shù)列的通項?！ㄅc前〃項和S〃的關(guān)系是?！?〈，當(dāng)〃=1

時，ai若適合Si,則〃=1的情況可并入時的通項a”；當(dāng)〃=1時，m若不適

合S〃一S-,則用分段函數(shù)的形式表示.

8.已知sin(a+/?)=l,a,4均為銳角，且tana=芋，貝|cos^=()

AV3R也^nV6

3223

答案：A

根據(jù)已知得到a+〃=1,根據(jù)tana=手求出sina=弓，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可求出

cos力.

解：因為sin(a+尸)=1,a，/均為銳角，所以4=],

因為tana=，所以,也”=,即cosa=&sina，

2cosa2

所以(asina)2+sin2a=1,得sin2a=g,因為a為銳角，所以sina=#，

所以cosp=cos(y-a)=sina=等■

故選：A

9.中國古代制定樂律的生成方法是最早見于《管子?地員篇》的三分損益法，三分損益

包含兩個含義：三分損一和三分益一.根據(jù)某一特定的弦，去其工，即三分損一，可得

出該弦音的上方五度音；將該弦增長g,即三分益一，可得出該弦音的下方四度音.中

國古代的五聲音階：宮、徵商、羽、角(/“。，就是按三分損一和三分益一的順序交

替，連續(xù)使用產(chǎn)生的.若五音中的“宮”的律數(shù)為81,請根據(jù)上述律數(shù)演算法推算出“羽”

的律數(shù)為()

A.72B.48C.54D.64

答案：B

按三分損一和三分益一的順序交替進(jìn)行計算可得結(jié)果

解：依題意，將“宮”的律數(shù)81三分損一可得“徵”的律數(shù)為81x(1)=54,

將“徵，，的律數(shù)54三分益一可得“商”的律數(shù)為54x(l+1)=72,

將“商”的律數(shù)72三分損一可得“羽”的律數(shù)為72x(l-l)=48.

故選：B

10.數(shù)列｛q｝的前〃項和為s.,且S“=2a“-1,則()

an

A.2-2-"B.2—2~C.2—2"D.2-20-1

答案：B

Sn

利用a,,=Sn-S,-(〃22)求出a?,則可得Sn,進(jìn)一步可得廣.

解：當(dāng)〃=1時,S]=2q—1,得4=1,

當(dāng)“22時，S,i=2a,i—1,

ss

所以％=?~?-i=2an-2a,-,即an=2an_1,又q=1,

所以數(shù)列｛%｝是首項為4=1,公比4=2的等比數(shù)列，

所以4=2"」，=—1,

"1-2

q?n-1

所以-=k=2-2i

an」

故選：B

11.過拋物線C：V=4x焦點F的直線/與拋物線交與A,8兩點，過A,8兩點分

別作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N,若線段M/V的中點為尸，且線段EP

的長為4,則直線/的方程為()

A.x+V3y-1=0B.x-y/3y-l=0

C.x+y/3y-l=0^x-y/3y-\=0D.#>x-y-6=0或6x+y-#>=G

答案：C

利用拋物線方程求出焦點和準(zhǔn)線方程，再設(shè)直線/的方程為x=9+l,并代入拋物線方

程，利用韋達(dá)定理求出P的縱坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求得結(jié)果.

解：由y2=4x得〃=2,所以21,0),準(zhǔn)線為X=—1,

設(shè)直線/的方程為x=fy+l,

x=(y+l,

聯(lián)立〈2\，消去X并整理得y-49—4=0,△=16*+16>0恒成立，

y=4x

設(shè)A(XI,y)、B(x2,y2),

則乂+必=由，所以汽上"=2/,

依題意得加(一1,%)、N(—1,以)，則線段MN的中點打一1,2。，

因為|PF|=4,所以j2?+49=4,解得r=±6，

所以直線/的方程為：x+6y-l=0或=

故選：C

關(guān)鍵點點評：聯(lián)立直線/與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出點尸的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

12.已知函數(shù)/(x)=xlnx,,g(x)=x2+ar(?eR),若經(jīng)過點A(l,0)存在一條直

線/與“X)圖象和g(x)圖象都相切，貝!|。=()

A.0B.-1C.3D.一1或3

答案：D

先求得/(x)在A(l,0)處的切線方程,然后與g(x)=x2+ax(aGR)聯(lián)立，由△=()求

解.

解：因為/(x)=xlnx,

所以廣(x)=l+lnx,

則尸(l)=l+lnl=l,

所以％=1

所以函數(shù)/(x)在41,0)處的切線方程為y=X-1,

V=x-\,/、八

由<2得無~+(Q—1)工+1=0,

y=x+ax

由A=(a—if—4=0,解得a=3或a=—1,

故選：D

二、填空題

13.平面內(nèi)單位向量1,h>^滿足M+方+乙=6,則鼠5=.

答案：—1

2

由歹+5+0=。得了=-（萬+5）,兩邊平方并利用單位向量的長度可求得結(jié)果.

解：因為第為乙為單位向量,

所以I引=出|=|司=1,

因為汗+5+1=。，所以］=-（萬+5）,

所以于=（@+5）2="2+5?+2萬-5,

_rr1

所以1=1+1+2@石，得a-b=一3.

故答案為：—

2

x-y+l>0

14.若實數(shù)x,y滿足約束條件<x+y+120,貝！|z=ar+b（。>匕>0）取最大值4

x-l<0

21

時，一+丁的最小值為.

ab

答案：2

21

作出可行域，利用線性規(guī)劃知識求出。+2人=4,再根據(jù)基本不等式可求出一+二的最

ah

小值.

解：作出可行域如圖

x+y+l=03

\2

x—y+l=O(x=l

聯(lián)立:，得(c，所以N(l,2),

x=l[y=2

因為Q>Z?>0,所以一丁<—1,

b

將目標(biāo)函數(shù)Z=<2X+力化為斜截式可得丁=一@%+三，

bb

因為直線x+y+1=0的斜率為一1,

/77

所以由圖可知，當(dāng)直線y=--x+—經(jīng)過N(l,2)時，z,=a+2。，所以。+2匕=4,

bbnax

,,211c,、,21.1,.4ba、1,..14ba..

所cr以v一+：=；(a+2/?)(一+])=:(4+—+—)>-(4+2J-----)=2,

ab4ab4ab4\ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=2/=1時，等號成立.

故答案為：2

易錯點評：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等"“一正''就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最

大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號

則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

15.孫子定理(又稱中國剩余定理)是中國古代求解一次同余式組的方法.問題最早可見于

南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題“物不知數(shù)”問題：有物不知其數(shù)，

三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？它的基本解法之一是：列出

用3整除余2的整數(shù)：2,5,8,11,14,17,20,23...,用5整除余3的整數(shù)：3,8,

13,18,23.......用7整除余2的整數(shù)：2,9,16,23...,則23就是“問物幾何?”中“物”

的最少件數(shù)，“物”的所有件數(shù)可用105〃+23(〃eN)表示.試問：一個數(shù)被3除余1,

被4除少1,被5除余4,則這個數(shù)最小是.

答案：19

列舉出被3除余1的整數(shù)有、被4除少1的整數(shù)、被5除余4的整數(shù)，從中找到同時滿

足條件的最小整數(shù)可得結(jié)果.

解：因為被3除余I的整數(shù)有：1,4,7,10,13,16,19,22,25,…,

被4除少1即被4除余3的整數(shù)有：3,7,11/6,19,23,27,…,

被5除余4的整數(shù)有：4,9,14,19,24,29,…,

所以這個數(shù)最小為19.

故答案為：19

16.三棱錐P-A5C的底面是邊長為3的正三角形，面Q46垂直底面ABC,且

PA=2PB，則三棱錐P一ABC體積的最大值是.

答案遭

設(shè)尸到AB的距離為〃，PB=x,PA=2x,則可得,求出〃的

最大值即可求出體積最大值.

解：因為面Q46垂直底面ABC,則三棱錐的高即為P到AB的距離，設(shè)為〃,

VPA=2PB，設(shè)尸8=%,抬=2%，

在△PAB中，cosNPBA=-----------=——

6x2x

」-/+10%2-9

則sinZPBA=-cos2ZPBA

2x

mil\l—x4+1Ox2-9(f_5)+16

則h=PBsinZPBA=7"——/——

22

當(dāng)/=5,即％=石時，然ax=2,

又S=—x3x3xsin60°=——-，

做ARr24

則三棱錐P-A8C體積的最大值為JxS=1x2叵X2=3叵.

3nidx32

故答案為：正.

2

關(guān)鍵點評：本題考查三棱錐體積最值的求解，解題的關(guān)鍵是求出產(chǎn)到A8的距離的最大

值，根據(jù)題意能得出九一1一（1一5）+16

2

三、解答題

17.如圖，在直四棱柱ABC。-44GA中，底面A8CO是邊長為2的菱形，且

M=3,E，/分別為CG，BD］的中點.

（1）證明：EF工平面BBQQ；

（2）若045=60。，求二面角4-BE-。的余弦值.

答案：（1）證明見解析；（2）M3.

26

（1）連接AC交BO于。點，連接OF,F為8。的中點，易得四邊形OEEC為平行

四邊形，從而。C7/FE,再利用線面垂直的判定定理證得。C_L平面即可.

（2）以。為原點，以O(shè)B,OC,OF建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面ABE的一個

rr

法向量〃=（x,y,z）和平面。/E的一個法向量加=（5,,/1）,然后由

m-n

cos伍昉二麗求解?

解：（1）如圖所示:

連接AC交8。于。點，連接。尸，尸為的中點，

所以尸〃。

09，OF=^DDl,

又E為CG的中點，CC,//￡>￡>,,

所以

CE〃DD\,CE=^DDt,

所以O(shè)F//CE,OF=CE,

所以四邊形OEEC為平行四邊形，OCHFE.

直四棱柱ABC。一中，平面ABC。，OCu平面ABCD,

所以。。LOC.

又因為底面ABCD是菱形，

所以O(shè)C_L3O,

又DDJBD=D,。。］匚平面8月2。，BDu平面BBQQ,

所以O(shè)C_L平面8gAO.

所以所，平面8AqO.

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

由NZMB=60。，知6O=A8=6C=2,

又A4,=3,則3(1,(),0),￡^0,V3,|j,A(0，-G，3)，°(—1,0,3),

設(shè)。=(x,y,z)為平面A/E的一個法向量.

x+百y-3z=0

n-A^B=0

由＜(得.r3

n-BE=0-x+>/3y+—z=0

、2

令y=6,可得萬=(9,6,4b

設(shè)工=(%，X，zJ為平面的一個法向量.

J衍n卜2%+3Z|=0

m-BD,=0

由〈一，即〈廠3

m-BE=0-Xj++—Zj=0

令玉=3,可得2=(3,0,2).

m-n_9X3+A/3x0+4x2_7>/13

麗一舊+(可+4；.j32+02+22-后

如圖可知二面角A-BE-。為銳角,

所以二面角的余弦值是叵

\-BE-Dx2

26

方法點評：1、利用向量求異面直線所成的角的方法：設(shè)異面直線AC,BD的夾角為￡,

\AC-BD\

則COSB=I---.1I—.

HH

2、利用向量求線面角的方法：（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,

轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方

向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

3、利用向量求面面角的方法：就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后

通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是

銳角還是鈍角.

18.某校為了解高三學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)情況，隨機抽取高三年級甲、乙兩班學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)

絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計了甲、乙兩班各40人每天的學(xué)習(xí)時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分

成[3,4）,[4,5）,[5,6）,[6,7）,[7,8]五組，整理得到如下頻率分布直方圖：

甲班

乙班

（1）將學(xué)習(xí)時間不少于6小時和少于6小時的學(xué)生數(shù)填入下面的2x2列聯(lián)表:

不少于6小時少于6小時總計

甲班

乙班

總計

能以95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時間不少于6小時與班級有關(guān)嗎？為什么？

(2)此次問卷調(diào)查甲班學(xué)生的學(xué)習(xí)時間大致滿足自?N(〃,0.36),其中〃等于甲班學(xué)

生學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)，求甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間在區(qū)間(6.2,6.8]的概率.

參考公式：K-=-------(adjc)-----------n^a+b+c+d.

(a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

參考數(shù)據(jù)①:

尸(片之石)0.0500.0100.001

女03.8416.63510.828

②若XD則p(〃一b<xWM+b)=0.6827,

P(〃-2b<XW〃+2b)=0.9545.

答案：(1)列聯(lián)表答案見解析，沒有95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時間不少于6小時與班級有關(guān),

理由見解析；(2)0.1359.

(1)利用頻率分布直方圖計算出甲班學(xué)習(xí)時間不少于6小時的人數(shù)和乙班學(xué)習(xí)時間不

少于6小時的人數(shù)，可得2x2列聯(lián)表：計算長2,對照臨界值表可得結(jié)果；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖計算〃，再根據(jù)

5,

/(6.2<^<6.8)=/(i4/+cr<^<xz+2cr)

=尸(〃-2O<XW〃+2。)-P(〃-+G計算可得結(jié)果

2

解：(1)由頻率分布直方圖可知，甲班學(xué)習(xí)時間不少于6小時的人數(shù)為：

(0.250+0.050)x1x40=12人，則甲班學(xué)習(xí)時間少于6小時的人數(shù)為28人；

同理得乙班學(xué)習(xí)時間不少于6小時的人數(shù)為(0.250+0.200)x1x40=18人，

則甲班學(xué)習(xí)時間少于6小時的人數(shù)為22人.

由此得到2x2列聯(lián)表：

不少于6小時少于6小時總計

甲班122840

乙班182240

總計305080

因為K、8OX02X2278X28）；L92<3.841

40x40x30x50

所以沒有95%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)時間不少于6小時與班級有關(guān).

（2）甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)

〃=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25x6.5+0.05x7.5=5.6.

cr=J。.36=0.6>

所以P（6.2<《W6.8）=/5（//+cr<^<//+2cr）

_P（"-2<j<X</d+2cr）-P（/J-cr<X<//+cr）

0.9545-0.6827八

=---------------=0.1359.

2

即甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間在區(qū)間（6.2,6.8］的概率為0」359.

關(guān)鍵點點評：（1）中掌握獨立性檢驗的基本思想是解題關(guān)鍵；（2）中利用正態(tài)分布的兩

個特殊概率求解是解題關(guān)鍵.

22

19.已知圓O:/+y2=〃經(jīng)過橢圓0：J+=的右焦點B，且經(jīng)過

點用作圓。的切線被橢圓C截得的弦長為0.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點A,8是橢圓C上異于短軸端點的兩點，點M滿足次7=礪+而，且

兩2+而2=6,試確定直線OA，OB斜率之積是否為定值，若是，求出這個定值;

若不是，說明理由.

，1

答案：（1）—+/=1；（2）是定值，定值為土二.

22

（1）由/?=c以及點b,與在橢圓上列方程可求出橢圓。的方程；

（2）設(shè)A（X1,yJ,B（X2,>-2）,則M（%+孫y+必），根據(jù)兩2+通2=6可得

片+犬+考+尤=3,再根據(jù)點A,8在橢圓上，可得才考從而

1

k（）A'k（）B~=+—

中2-2

解：(1)因為圓0:爐+、2=〃經(jīng)過橢圓。的右焦點入，所以b=c,a=6b，

因為經(jīng)過點F2作圓。的切線被橢圓C截得的弦長為V2，

解得6=1,故。=血.

所以橢圓。的方程為與+V=1.

(2)直線OA,0B斜率之積是定值，證明如下:

設(shè)A（Wy）,3（々,%）,

由麗=西+礪,得“（％+與,凹+%）―

故

OM+AB=（石+%2）+（丁1+%）+（玉-9）+（乂-%）=2（片+y；+x；+%）=6

又點A,3在橢圓上，所以x：+2_y；=2,x；+2y；=2,

聯(lián)立解得片+年=2,y；+y；=L

由片=2-2y；,%2=2-2yl,

得%；.￥=(2-2對(2-2團(tuán)=4-4(弁+團(tuán)+4加；=4寸￡,

從而自屋％。8="=±4，即直線OA,08斜率之積是定值土工.

玉龍222

關(guān)鍵點點評：將0M+福2=6化為X：+才+考+為=3,再結(jié)合X：+2犬=2,

￥+2〉；=2求解是解題關(guān)鍵.

2().DABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是。，b,c,且后a—csinB=GhcosC.

(1)求角B的大??；

(2)若6=3,。為AC邊上一點，BD=2,且___________,求DABC的面積.(從

①8。為D3的平分線，②。為AC的中點，這兩個條件中任選一個補充在上面的橫線

上并作答)

答案：(1)B=g；(2)選擇①：S^c=—；選擇②：SABC=--

328

(1)利用正弦定理的邊角互化以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)、和差角的正弦公式求解即可.

（2）選擇條件①，由SVABC=SVABD+SvBDC，根據(jù)三角形的面積公式可得

J§ac=2（a+c）,再由余弦定理可得（ac,—4碗-12=0,求出ac=6,根據(jù)面積公

25

式求解即可；選擇②，由N8ZM=7E-NBDC,利用余弦定理可得/+/=一，再

2

7

由a2+c2-qc=9,求出ac=一即可求解.

2

解：解：（1）因為由a-csin8=J§Z?cosC,

所以6$山(3+(7)—5111。51113=\/^51113(：05。，

即得J5cos8sinC=sinCsinB，sinC/0,則有tan8=J5,

又因為3?0,兀），所以8=；.

（2）選擇條件①30為03的平分線,

JT

因為BZ）為D8的平分線，所以NABZ）=NO8C=一,

6

又因為SVABC=^VABD+^VBDC?

所以』acsin二=Lx2asin￥+!x2csin￥,即6QC=2(Q+C),

232626

又根據(jù)余弦定理得：〃=/+/—2QCCOS3,即9=(〃+C)2-3QC,

3

選擇②。為AC的中點，則AO=￡>C=—,NBDA=JI—/BDC,

2

cosABDA=-cosZBDC

工一〃

則有(1-)-+---2--7--=-k0lZ-------------,可得/+。2=一,

332

2x-x22x-x2

22

又根據(jù)余弦定理得：/+/一QC=9，

解得ac=:，則SAABc=Lacsin3=^^.

2△質(zhì)28

21.已知函數(shù)一ctx-xlnx,aeR.

（1）若/（X）在［1,轉(zhuǎn)）單調(diào)遞增，求。的取值范圍;

(2)若〃eN_,求證：++++

答案：(1)(-8,1］；(2)證明見解析.

(1)由函數(shù)〉=/(%)在［1,+8)上單調(diào)遞增，則/'(x"0在［1,+8)上恒成立，由

a+lW(2x-lnx)n而求解.

(2)由(1)的結(jié)論，取4=1,有/(x)N/(l)=O,即InxWx_1在［1,”)上恒成

立，然后令士=1+/，有+求解.

解：(1)因為函數(shù)y=/(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以./1'(%)=2%-4-(111》+1)20在［1,+00)上恒成立，

則有a+1W2x-lnx在［l,+oo)上恒成立，即a+1W(2x-Inx)mjn.

令函數(shù)g(x)=2x-lnx,g［x)=2——，

所以xe［l,+8)時，g'(x)>0,g(x)在［L+oo)上單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g(l)=2，

所以有a+lW2,即因此ae(—8,l］.

(2)由⑴可知當(dāng)ae(YO/］時，/(》)=幺一以一xlnx為增函數(shù)，

不妨取a=l,則有/(X)=d-x—xlnx在［1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)2/(1)=0,即有InxWx-1在［1,+8)上恒成立，

令七=1+?,則有坨(1+"|""'

所以ln(l+；)+ln(l+5)+L+ln(l+：)〈g+(+L+!(〃eN+),

所以1n口+扣+升［1+2以V〃N+),

因此(l+Jl+?撲(1+撲小五.

方法點評：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號，當(dāng)7(x)含參

數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.（2）若可導(dǎo)函數(shù)?r）在指定的

區(qū)間。上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為/（x）NO（或/（x）WO）恒成立問題，從

而構(gòu)建不等式，要注意"=''是否可以取到.

22.在直角坐標(biāo)系中，點A是曲線弓：（犬-2）2+丁=4上的動點，滿足2麗=西

的點B的軌跡是

（1）以坐標(biāo)原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線G，G的極

坐標(biāo)方程；

（2）直線/的參數(shù)方程是“為參數(shù)），點P的直角坐標(biāo)是（-1,0）,若

y=tsina

直線/與曲線G交于M，N兩點，當(dāng)|。M||「"=|用"2時，求cosa的值.

答案：（1）G的極坐標(biāo)方程夕=4cos。，C2的極坐標(biāo)方程：〃=2cos8：（2）土叵.

4

（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線G的極坐標(biāo)方程；設(shè)動點B極坐標(biāo)為

則由2麗=麗得點A的極坐標(biāo)，代入曲線G的極坐標(biāo)方程Q=4cos6>可求

出曲線C?的極坐標(biāo)方程；

（2）將曲線G的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線/的參數(shù)方程代入