新高考2023屆高考數(shù)學二輪復習專題突破精練第48講統(tǒng)計案例教師版

第48講統(tǒng)計案例一、單選題1．（2021·寧夏·銀川一中三模（文））關于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點；②相關系數(shù)的絕對值越大，擬合效果越好；③相關指數(shù)越接近1擬合效果越好；④殘差平方和越小，擬合效果越好.其中正確的命題個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)回歸直線方程的性質，相關系數(shù)、相關系數(shù)及殘差平方和的意義判斷各項的正誤即可.【詳解】對于①，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，故正確；對于②，相關系數(shù)的絕對值越接近于1，相關性越強，故錯誤；對于③，相關指數(shù)越接近1擬合效果越好，故正確；對于④，殘差平方和越小，擬合效果越好，故正確.故選：C.2．（2021·河南·高三月考（文））某外語學校要求學生從德語和日語中選擇一種作為“第二外語”進行學習，為了解選擇第二外語的傾向與性別的關系，隨機抽取名學生，得到下面的數(shù)據(jù)表：選擇德語選擇日語男生女生根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)可知（）附：，．A．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為選擇第二外語的傾向與性別無關B．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為選擇第二外語的傾向與性別有關C．有的把握認為選擇第二外語的傾向與性別無關D．有的把握認為選擇第二外語的傾向與性別有關【答案】D【分析】直接利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)和公式計算，再根據(jù)臨界值表進行判斷即可【詳解】由題意得，所以有的把握認為選擇第二外語的傾向與性別有關，或在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為選擇第二外語的傾向與性別有關，故選：D3．（2021·廣東·肇慶市第一中學高三月考）據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，求得經(jīng)驗回歸方程為，且.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點和誤差較大，去除后重新求得的經(jīng)驗回歸直線的斜率為1.2，則（）A．變量與具有正相關關系B．去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程仍為C．去除兩個誤差較大的樣本點后，的估計值增加速度變快D．去除兩個誤差較大的樣本點后，相應于樣本點的殘差為0.05【答案】A【分析】由條件可知樣本中心不變，可求出新的回歸直線方程，即可判斷.【詳解】因為重新求得的經(jīng)驗回歸直線的斜率為1.2，所以變量與具有正相關關系，故A正確；當時，，設去掉兩個誤差較大的樣本點后，橫坐標的平均值為，縱坐標的平均值為，則，，因為去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得回歸直線的斜率為1.2，所以，解得，所以去除兩個誤差較大的樣本點后的經(jīng)驗回歸方程為，故B錯誤；因為，所以去除兩個誤差較大的樣本點后的估計值增加速度變慢，故C錯誤；因為，所以，故D錯誤.故選：A.4．（2021·廣東天河·高三月考）下列表述中，正確的個數(shù)是（）①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位；③設具有相關關系的兩個變量，的相關系數(shù)為，那么越接近于0，，之間的線性相關程度越高；④在一個列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，若的值越大，則認為兩個變量間有關的把握就越大．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①根據(jù)方差的性質即可判斷，②由回歸方程一次項的系數(shù)符號可知增減情況，③根據(jù)相關系數(shù)的含義判斷正誤，④根據(jù)卡方檢驗的觀測值的意義判斷正誤.【詳解】①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差不變，正確；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，錯誤；③設具有相關關系的兩個變量，的相關系數(shù)為，那么越接近于1，，之間的線性相關程度越高，錯誤；④在一個列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，若的值越大，兩個變量有關系的出錯概率越小，則認為兩個變量間有關的把握就越大，正確．故選：C5．（2021·江西·南昌市豫章中學高三開學考試（理））對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點圖，結合相關系數(shù)的概念，逐圖判定，即可求解.【詳解】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關，相關系數(shù)大于0，題圖2和題圖4是負相關，相關系數(shù)小于0，題圖1和題圖2的點相對更加集中，所以相關性更強，所以接近于1，接近于，由此可得．故選：A．6．（2021·云南師大附中高三月考（文））對于樣本點分布在指數(shù)函數(shù)曲線（其中，為待定參數(shù)且）周圍時，令，，經(jīng)過變換后得到的線性回歸方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】對兩邊取對數(shù)，得到經(jīng)過變換后得到的線性回歸方程.【詳解】∵，∴，∴故選：C.7．（2021·安徽馬鞍山·二模（理））2020年初，從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災害嚴重威脅了國際農業(yè)生產，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫度的異常?早澇頻繁發(fā)生給蝗災發(fā)生創(chuàng)造了機會.已知蝗蟲的產卵量與溫度的關系可以用模型擬合，設，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：由上表可得線性回歸方程，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由表格數(shù)據(jù)計算可得，代入線性回歸方程可求得，進而求得回歸模型，對應可得結果.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，，代入得：，，即，，.故選：B.8．（2021·江西·南昌市八一中學三模（文））已知變量關于的回歸方程為，其一組數(shù)據(jù)如表所示：若，則預測值可能為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將回歸方程左右同時取對數(shù)得：，看作回歸直線的形式，由回歸直線過樣本中心點可構造方程求得，由此得到回歸方程；將代入回歸方程即可求得結果.【詳解】由得：，，解得：，回歸方程為，若，則.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查非線性回歸中的預估值的求解，解題關鍵是能夠通過對指數(shù)型回歸模型左右同時取對數(shù)，將其變?yōu)榫€性回歸的形式來進行求解.二、多選題9．（2021·湖北武漢·二模）在對具有相關關系的兩個變量進行回歸分析時，若兩個變量不呈線性相關關系，可以建立含兩個待定參數(shù)的非線性模型，并引入中間變量將其轉化為線性關系，再利用最小二乘法進行線性回歸分析.下列選項為四個同學根據(jù)自己所得數(shù)據(jù)的散點圖建立的非線性模型，且散點圖的樣本點均位于第一象限，則其中可以根據(jù)上述方法進行回歸分析的模型有（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】將非線性模型，通過變形轉化為線性模型，再利用最小二乘法進行線性回歸分析．【詳解】對于選項A：，令則；對于選項B：令；對于選項C：即令則；對于選項D：令則此時斜率為，與最小二乘法不符．故選：ABC10．（2021·全國·高三專題練習）（多選題）下列說法中，正確的命題是（）A．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則．B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3．C．已知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若，，，則．D．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為16．【答案】BC【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質求即可判斷A;根據(jù)方程變形即可確定，的值，再判斷B;根據(jù)回歸直線方程過樣本中心，即可判斷C;根據(jù)數(shù)據(jù)變化與方差變化關系判斷D.【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以，即A錯；，，從而，即B正確；過，，即C正確；因為樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為，即D錯誤；故選：BC【點睛】本題考查正態(tài)分布、方差性質以及線性回歸方程及其性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、填空題11．（2021·廣東·江門市新會陳瑞祺中學高三月考）某市政府調查市民收入增減與旅游需求的關系時，采用獨立性檢驗法抽查了人，計算發(fā)現(xiàn)，根據(jù)這一數(shù)據(jù)查閱下表，市政府斷言市民收入增減與旅游需求有關的可信度是___________.附…0.1000.0250.0100.005…k…2.7065.0246.6357.879…【答案】【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】由已知可得，所以市政府斷言市民收入增減與旅游需求有關的可信度是，故答案為：.12．（2021·江蘇·海安高級中學高三月考）根據(jù)下列數(shù)據(jù)：x99.51010.511y1110865求得y關于x的回歸直線方程為．則這組數(shù)據(jù)相對于所求的回歸直線方程的5個殘差的方差為______．（注：殘差是實際觀察值與估計值之間的差）【答案】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得，，代入回歸方程，求得，結合殘差的公式，即可求解.【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)，可得，，代入，可得，即，因此殘差的方差為.故答案為：.13．（2021·四川·仁壽一中高三開學考試（理））有人發(fā)現(xiàn)，多看手機容易使人近視，下表是調查機構對此現(xiàn)象的調查數(shù)據(jù)：近視不近視總計少看手機多看手機總計則在犯錯誤的概率不超過__________的前提下認為近視與多看手機有關系.附表：參考公式：，其中.【答案】【分析】根據(jù)列聯(lián)表計算得，進而得答案.【詳解】解:根據(jù)列聯(lián)表計算,所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認為近視與多看手機有關系.故答案為：14．（2021·黑龍江·佳木斯一中三模（理））下列說法正確的有_____．①統(tǒng)計中用相關系數(shù)r來衡量兩個變量之間的線性關系的強弱．線性相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱．②在線性回歸模型中，計算相關指數(shù)R2≈0.6，表明解釋變量解釋了60%預報變量的變化．③為了了解本校高三學生1159名學生的三模數(shù)學成績情況，準備從中抽取一個容量為50的樣本，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法，需要從總體中剔除9個個體，在整體抽樣過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽到的概率分別是和．④隨機變量X～N（μ，σ2），則當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．⑤身高x和體重y的關系可以用線性回歸模型y＝bx+a+e來表示，其中e叫隨機誤差，則它的均值E（e）＝0．【答案】②⑤【分析】本題考查的是統(tǒng)計中的一些基礎知識的理解與辨析，弄清楚每個基本量在統(tǒng)計中表示什么與影響什么，即可做出判斷.【詳解】①統(tǒng)計中用相關系數(shù)r來衡量兩個變量之間的線性關系的強弱，線性相關系數(shù)|r|越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱，故①錯誤；②在線性回歸模型中，相關系數(shù)r可以衡量兩個變量之間的相關關系的強弱，相關指數(shù)，表明解釋變量解釋了60%預報變量的變化，故②正確；③為了了解本校高三學生1159名學生的三模數(shù)學成績情況，準備從中抽取一個容量為50的樣本，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法，需要從總體中剔除9個個體，在整體抽樣過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽到的概率分別是和，故③錯誤；④隨機變量X～N（μ，σ2），則當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，故④錯誤；⑤隨機誤差是衡量預報精確度的一個量，它滿足，故⑤正確；綜上可知②⑤正確.故答案為：②⑤．15．（2021·江西南昌·一模（理））2020年，全球展開了某疫苗研發(fā)競賽，我為處于領先地位，為了研究疫苗的有效率，在某地進行臨床試驗，對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗，一周后有20人感染，為了驗證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組，各組感染人數(shù)如下：調查人數(shù)300400500600700感染人數(shù)33667并求得與的回歸方程為，同期，在人數(shù)為10000的條件下，以擬合結果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為；注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為，則估計該疫苗的有效率為__________．（疫苗的有效率為；參考數(shù)據(jù)：；結果保留3位有效數(shù)字）【答案】【分析】先求出線性回歸方程中的值，從而可求，再根據(jù)題設中的計算方法可求疫苗的有效率.【詳解】由題設表格中的數(shù)據(jù)可得，故，故，而，故疫苗有效率為，故答案為：.16．（2021·全國·高三專題練習）和的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為______.①，是負相關關系；②，之間不能建立線性回歸方程；③在該相關關系中，若用擬合時的相關指數(shù)為，用擬合時的相關指數(shù)為，則.【答案】①③【分析】由圖可知，散點圖呈整體下降趨勢，據(jù)此判斷①的正誤；由試驗數(shù)據(jù)得到的點將散布在某一直線周圍，因此，可以認為關于的回歸函數(shù)的類型為線性函數(shù)，據(jù)此判斷②的正誤；根據(jù)散點圖比較兩個方程的擬合效果，比較那個擬合效果更好，據(jù)此判斷③；.【詳解】在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此，是負相關關系，故①正確；x,，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故②錯誤；由散點圖知用擬合比用擬合效果要好，則，故③正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查由散點圖反應兩個變量的相關關系，散點圖中如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關關系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系.若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關，屬于中檔題.四、解答題17．（2021·全國·高三月考）擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國民間游戲，數(shù)人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發(fā)出聲音的物體），鼓響時眾人開始傳花（順序不定），至鼓停止為止．此時花在誰手中（或其座位前），誰就上臺表演節(jié)目，某單位組織團建活動，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號與組內女性人數(shù)統(tǒng)計結果如表：1234522334（Ⅰ）女性人數(shù)與組號（組號變量依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關關系，請預測從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；參考公式：（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，從10組中隨機抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有組，求的分布列與期望；（Ⅲ）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2，得2分的概率為0.8．記鼓聲停止后得分恰為分的概率為，求．【答案】（Ⅰ）從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)題中表格結合參考公式即可求解；（Ⅱ）先寫出的所有可能取值，再求出對應的概率，即可求解；（Ⅲ）根據(jù)對立事件列出關系式，再利用等比數(shù)列的定義和通項公式即可求解．【詳解】（Ⅰ）由題可得，，．則，，∴，當時，，∴預測從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)．（Ⅱ）由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則的分布列為0123∴.（Ⅲ）在得分為分的基礎上再傳一次，則得分可能為分或分，記“合計得分”為事件，“合計得分”為事件，事件與為對立事件．∵，，∴，∴．18．（2021·全國·高三開學考試）足不出戶，手機下單，送菜到家，輕松逛起手機“菜市場”，拎起手機“菜籃子”，省心又省力．某手機（應用程序）公司為了了解居民使用這款使用者的人數(shù)及滿意度，對一大型小區(qū)居民開展個月的調查活動，從使用這款的人數(shù)的滿意度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：月份不滿意的人數(shù)使用不使用女性男性（1）請利用所給數(shù)據(jù)求不滿意人數(shù)與月份之間的回歸直線方程，并預測該小區(qū)月份的對這款不滿意人數(shù)：（2）工作人員發(fā)現(xiàn)使用這款居民的年齡近似服從正態(tài)分布，求的值；（3）工作人員從這個月內的調查表中隨機抽查人，調查是否使用這款與性別的關系，得到上表：能否據(jù)此判斷有的把握認為是否使用這款與性別有關？參考公式：，．【答案】（1），人；（2）0.9759；（3）有.【詳解】解：（1）由表中的數(shù)據(jù)可知：，，，，所求得回歸直線方程為，當時，，該小區(qū)月份的對這款不滿意人數(shù)預估為人；（2）．（3）提出假設：是否使用這款與性別無關，由表中的數(shù)據(jù)可得，根據(jù)臨界值可得，有的把握認為是否使用這款與性別有關．19．（2021·福建寧德·高三期中）近年來，新能源產業(yè)蓬勃發(fā)展，已成為我市的一大支柱產業(yè).據(jù)統(tǒng)計，我市一家新能源企業(yè)近5個月的產值如下表：月份5月6月7月8月9月月份代碼12345產值億元1620273037（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算與的線性相關系數(shù)，并說明與的線性相關性強弱；(，則認為與線性相關性很強；，則認為與線性相關性不強)（2）求出關于的線性回歸方程，并預測10月該企業(yè)的產值.參考公式：；參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；相關系數(shù)較強；（2）；10月該企業(yè)的產值約為億元【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)求出，再由相關系數(shù)的求解公式即可求解.（2）利用最小二乘法即可求解.（1），，，因為，所以與線性相關性較強.（2）設線性回歸方程為：；，，即，10月份對應的代碼為，，10月該企業(yè)的產值約為億元.20．（2021·全國·高三課時練習）某芯片公司為制訂下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).現(xiàn)該公司對收集的近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額（）的數(shù)據(jù)作了初步處理，令，，經(jīng)計算得到如下數(shù)據(jù)：20667702004604.23125000215000.30814（1）設和的樣本相關系數(shù)為，和的樣本相關系數(shù)為，請從樣本相關系數(shù)（精確到0.01）的角度判斷，哪個模型擬合效果更好；（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關于的非線性經(jīng)驗回歸方程；（ii）若下一年銷售額需達到90億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量約為多少億元？參考數(shù)據(jù)為，，.【答案】（1）模型的擬合效果更好；（2）（i）；（ii）36.66億元.【分析】（1）從樣本相關系數(shù)計算可得，即可得到答案；（2）（i）由兩邊取對數(shù)得：，即，求出的值，可得線性回歸方程，即可得到答案；（ii）將代入，結合提供的數(shù)據(jù)，即可求出的值；【詳解】（1），，因為，所以從樣本相關系數(shù)的角度判斷，模型的擬合效果更好.（2）（i）先建立關于的經(jīng)驗回歸方程.由，得，即.，，所以關于的經(jīng)驗回歸方程為，所以，即.（ii）若下一年銷售額需達到90億元，則由，得，又，所以，所以，所以預測下一年的研發(fā)資金投入量約為36.66億元.21．（2021·江蘇南通·高三月考）為響應黨中央“扶貧攻堅”的號召，某單位指導一貧困村通過種植紫甘薯來提高經(jīng)濟收入.紫甘薯對環(huán)境溫度要求較高，根據(jù)以往的經(jīng)驗，隨著溫度的升高，其死亡株數(shù)成增長的趨勢.下表給出了2019年種植的一批試驗紫甘薯在溫度升高時6組死亡的株數(shù).溫度/℃212324272930死亡數(shù)/株61120275777經(jīng)計算，，，，，，，，其中，分別為試驗數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù)，.（1）若用一元線性回歸模型，求關于的經(jīng)驗回歸方程（結果精確到0.1）；（2）若用非線性回歸模型求得關于的非線性經(jīng)驗回歸方程，且相關指數(shù)為.（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好；（ii）用擬合效果好的模型預測溫度為35℃時該批紫甘薯的死亡株數(shù)（結果取整數(shù)）.【答案】（1）；（2）（i）的擬合效果更好，（ii）92.【分析】（1）利用公式即求；（2）（i）由相關指數(shù)公式求出，然后比較即可；（ii）代入回歸方程即得.【詳解】（1）由題意，得，∴，∴關于的經(jīng)驗回歸方程為.（2）（i）經(jīng)驗回歸方程對應的決定系相關指數(shù)為，因為，所以經(jīng)驗回歸方程比非線性經(jīng)驗回歸方程的擬合效果更好.（ii）當時，，即當溫度為35℃時，該批紫甘薯的死亡株數(shù)為92.22．（2021·黑龍江肇州·模擬預測（文））如圖是某小區(qū)2020年1月至2021年1月當月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖.（圖中月份代碼1～13分別對應2020年1月～2021年1月）.根據(jù)散點圖選擇和兩個模型進行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計量的值：殘差平方和總偏差平方和（1）請利用相關指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；（2）估計該小區(qū)2021年6月份的二手房均價.（精確到萬元/平方米）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，.參考公式：相關指數(shù).【答案】（1）模型；（2）（萬元/平方米）.【分析】（1）計算出相關指數(shù)后可判斷哪一個函數(shù)擬合效果好.（2）根據(jù)（1）的中的模型可計算二手房的均價.【詳解】（1）設模型和的相關指數(shù)分別為和，則，.因為，所以.所以模型的擬合效果更好.（2）由（1）知，模型的擬合效果更好，利用該模型預測可得，這個小區(qū)2021年6月份的在售二手房均價為：（萬元/平方米）.23．（2021·福建·泉州科技中學高三月考）數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每一列?每一個粗線宮（）內的數(shù)字均含1﹣9，不重復.數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度（秒）與訓練天數(shù)（天）有關，經(jīng)統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：（天）1234567（秒）990990450320300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預測小明經(jīng)過100天訓練后，每天解題的平均速度約為多少秒？（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局.若不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率.參考數(shù)據(jù)（其中）18450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】（1），經(jīng)過100天訓練后，每天解題的平均速度約為140秒；（2）.【分析】（1）先求得，結合，求得，，寫出回歸方程，再將，代入求解；（2）設比賽再繼續(xù)進行局小明最終獲得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，根據(jù)最多再進行4局就有勝負，分，，，利用獨立事件的概率，結合互斥事件的概率求解.【詳解】（1）由題意，，令，設關于的線性回歸方程為，則，則.∴，又，∴關于的回歸方程為，故時，.∴經(jīng)過100天訓練后，每天解題的平均速度約為140秒.（2）設比賽再繼續(xù)進行局小明最終贏得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，由題意知，最多再進行4局就有勝負.當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴.∴小明最終贏得比賽的概率為.24．（2021·陜西渭南·高三月考（理））某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合y和x的關系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2024年.【分析】（1）根據(jù)的公式，將題干中的數(shù)據(jù)代入，即得解；（2）代入，可估計2021年的營業(yè)收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應的t的值為121，營業(yè)收入，所以估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為，所以估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號為14，即2024年.25．（2021·重慶市實驗中學高三開學考試）某電器企業(yè)統(tǒng)計了近年的年利潤額（千萬元）與投入的年廣告費用（十萬元）的相關數(shù)據(jù)，散點圖如圖，對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關數(shù)據(jù)如表所示：1515（1）從①；②；③三個函數(shù)中選擇一個作為年廣告費用和年利潤額的回歸類型，判斷哪個類型符合，不必說明理由；（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出與的回歸方程；（3）預計要使年利潤額突破億，下一年應至少投入多少廣告費用？結果保留到萬元參考數(shù)據(jù)：參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為【答案】（1）選擇回歸類型更好；（2）；（3）下一年應至少投入萬元廣告費用．【分析】（1）根據(jù)散點圖形狀可確定回歸類型；（2）對兩邊取對數(shù)，利用最小二乘法可求得，由此可得回歸方程；（3）令可解出的范圍，進而確定結果.【詳解】（1）由散點圖知，年廣告費用和年利潤額的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，所以選擇回歸類型更好．（1）對兩邊取對數(shù)，得：，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，年廣告費用和年利潤額的回歸方程為．（3）由（2）知：，令得：，解得：，，（十萬元），十萬元萬元下一年應至少投入萬元廣告費用．26．（2021·重慶市第十一中學校高三月考）某創(chuàng)業(yè)者計劃在南山旅游景區(qū)附近租賃一套農房發(fā)展成特色“農家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近五家“農家樂”跟蹤調查了100天，這五家“農家樂”的收費標準互不相同，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，x為收費標準（單位：元/日），t為入住天數(shù)（單位：天），以入住天數(shù)的頻率作為各自的“入住率”，收費標準x與入住率y的散點圖如圖．x100150200300450y9065453020（1）若從以上五家“農家樂”中隨機抽取兩家深入調查，記為“入住率”超過的農家樂的個數(shù)，求的分布列；（2）令，由散點圖判斷與哪個更合適于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？并根據(jù)你的判斷結果求回歸方程；（，的結果精確到）（3）根據(jù)第（2）問所求的回歸方程，試估計收費標準為多少時，100天銷售額Q最大？（100天銷售額入住率收費標準x）參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，．【答案】（1）分布列見解析；（2）更適合于此模型，回歸方程為；（3）150（元/日）．【分析】（1）的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列．（2）由散點圖可知更適合于此模型，求出，，，由此能求出回歸方程．（3）依題意，，則，利用導數(shù)性質能求出當收費標準約為150（元日）時，100天銷售額最大．【詳解】解：（1）的所有可能取值為0，1，2，則，，∴的分布列是012（2）由散點圖可知更適合于此模型．依題意，，則，，所求的回歸方程為．（3）依題意，，則，由，得，，由，得，，∴在上遞增，在上遞減，∴當時，取到最大值．∴當收費標準約為150（元/日）時，100天銷售額L最大．27．（2021·海南二中高三月考）為了使房價回歸到收入可支撐的水平，讓全體人民住有所居，近年來全國各一、二線城市打擊投機購房，陸續(xù)出臺了住房限購令.某市一小區(qū)為了進一步了解已購房民眾對市政府岀臺樓市限購令的認同情況，隨機抽取了本小區(qū)50戶住戶進行調查，各戶人平均月收入（單位：千元）的戶數(shù)頻率分布直方圖如圖，其中贊成限購的戶數(shù)如下表：人平均月收入贊成戶數(shù)4912631（1）若從人平均月收入在的住戶中再隨機抽取兩戶，求所抽取的兩戶至少有一戶贊成樓市限購令的概率；（2）若將小區(qū)人平均月收入不低于7千元的住戶稱為“高收入戶”，人平均月收入低于7千元的住戶稱為“非高收入戶”根據(jù)已知條件完成如圖所給的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“收入的高低”與“贊成樓市限購令”有關.非高收入戶高收入戶總計贊成不贊成總計附：臨界值表0.10.050.0100.0012.7063.8416.63510.828參考公式：，.【答案】（1）（2）列聯(lián)表見解析，沒有.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，算出月收入在的住戶數(shù)，并計算出贊成數(shù)與不贊成數(shù)，利用古典概率公式求得概率.（2）根據(jù)題意列出列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算出，與6.635比較，來判斷是否相關.（1）由直方圖知，月收入在的住戶共有戶，其中有3戶贊成，3戶不贊成.設事件為“所抽取的兩戶中至少有一戶贊成樓市限購令”，則由古典概型概率計算公式可知.（2）依題意可得，列聯(lián)表如下：非高收入戶高收入戶總計贊成251035不贊成51015總計302050根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，的觀測值，所以沒有的把握認為“收入的高低”與“贊成樓市限購令”有關.28．（2021·全國·高三課時練習）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立.（1）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關.單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小白鼠產生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產生抗體的數(shù)量為隨機變量.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當時，取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)及.參考公式：(其中為樣本容量)參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關；（2）（i）；（ii）當接種人數(shù)為n=99時，；當n=100時，.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖算出每個區(qū)間段的小白鼠數(shù)量，然后根據(jù)指標值完成列聯(lián)表，并根據(jù)參考公式進行運算，然后進行數(shù)據(jù)比對，最終得到答案；（2）（i）根據(jù)古典概型公式，結合對立事件概率求法即可得到答案；（ii）根據(jù)最大，結合二項定理概率求法列出不等式組解出X，最后求出期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：在內有（只）；在內有（只）；在內有（只）；在內有（只）；在內有（只）.由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有（只），所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200零假設為：注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得.根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗產生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產生抗體”，事件“小白鼠注射2次疫苗后產生抗體”.記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，，，則，，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率.（ii）由題意，知隨機變量，（）.因為最大，所以，解得，因為是整數(shù)，所以或，所以接受接種試驗的人數(shù)為99或100.①當接種人數(shù)為99時，；②當接種人數(shù)為100時，.29．（2021·重慶南開中學高三月考）中國職業(yè)籃球聯(lián)賽（CBA聯(lián)賽）分為常規(guī)賽和季后賽.由于新冠疫情關系，今年聯(lián)賽采用賽會制：所有球隊集中在同一個地方比賽，分兩個階段進行，每個階段采用循環(huán)賽，分主場比賽和客場比賽，積分排名前8的球隊進入季后賽.季后賽的總決賽采用五場三勝制（“五場三勝制”是指在五場比賽中先勝三場者獲得比賽勝利，勝者成為本賽季的總冠軍）.下表是隊在常規(guī)賽60場比賽中的比賽結果記錄表.階段比賽場數(shù)主場場數(shù)獲勝場數(shù)主場獲勝場數(shù)第一階段30152010第二階段30152515（1）根據(jù)表中信息，是否有90%的把握認為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關？（2）已知隊與隊在季后賽的總決賽中相遇，假設每場比賽結果相互獨立，隊除第五場比賽獲勝的概率為外，其他場次比賽獲勝的概率等于隊常規(guī)賽60場比賽獲勝的頻率.記為隊在總決賽中獲勝的場數(shù).（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）求隊獲得本賽季的總冠軍的概率.附：.（）0.1000.0500.0252.7063.8415.024【答案】（1）沒有90%的把握；（2）（?。┓植剂幸娊馕觯唬áⅲ?【分析】（1）利用獨立性檢驗的知識，列出A隊在主客場勝負的列聯(lián)表，求出，以此進行判斷；（2）（ⅰ）利用二項分布，分布求得取值為0，1，2，3的概率，從而求得的分布列；（ⅱ）由（?。┲兴萌≈禐?的概率，即可求得隊獲得本賽季的總冠軍的概率.【詳解】解：（1）根據(jù)表格信息得到列聯(lián)表：隊勝隊負合計主場25530客場201030合計451560所以沒有90%的把握認為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關.（2）（?。┑乃锌赡苋≈禐?，1，2，3，隊前4場中每場獲勝的概率為.；；；.所以的分布列為0123（ⅱ）隊獲得本賽季的總冠軍的概率為.【點睛】（1）計算時，一定要找到正確的分類變量，然后列出列聯(lián)表再計算；（2）比賽五場三勝制，當贏夠三場時一定是最后一場贏，所以屬于排列問題.30．（2021·江西·模擬預測（理））某種疾病可分為、兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關系，在某地區(qū)隨機抽取了患該疾病的病人進行調查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人數(shù)占男性病人的，女性患型病的人數(shù)占女性病人的.（1）若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物.兩個團隊各至多安排個接種周期進行試驗.甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產生抗體的概率為，每人每次接種花費元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)次出現(xiàn)抗體則終止本接種周期進入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結束，再進入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗，否則需依次接種至至試驗結束：乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產生抗體的概率為，每人每次花費元，每個周期接種次，每個周期必須完成次接種，若一個周期內至少出現(xiàn)次抗體，則該周期結束后終止試驗，否則進入第二個接種周期，假設兩個研發(fā)團隊每次接種后產生抗體與否均相互獨立.當，時，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，試證明該公司選擇乙團隊進行藥品研發(fā)的決策是正確的.附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）；（2）該公司選擇乙團隊進行藥品研發(fā)的決策是正確的.【分析】（1）設男性患者有人，則女性患者有人，列出列聯(lián)表，計算出的觀測值，根據(jù)題意可得出關于的不等式，結合、可求得整數(shù)的最小值；（2）設甲研發(fā)團隊試驗總花費為元，設乙研發(fā)團隊試驗總花費為元，計算出、，利用函數(shù)的單調性可得出，由此可得出結論.【詳解】（1）設男性患者有人，則女性患者有人，列聯(lián)表如下：Ⅰ型病Ⅱ型病合計男z女合計要使在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關，則，解得，∵，，的最小整數(shù)值為，因此，男性患者至少有人；（2）設甲研發(fā)團隊試驗總花費為元，則的可能取值為、、，，，，，在遞減，，設乙研發(fā)團隊試驗總花費為元，則的可能取值為、，，，，設，，函數(shù)在遞減，，恒成立，所以，該公司選擇乙團隊進行藥品研發(fā)的決策是正確的.【點睛】方法點睛：求離散型隨機變量均值與方差的基本方法：（1）已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解．（2）已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差，可直接用的均值、方差的性質求解；（3）如果所給隨機變量是服從常用的分布（如兩點分布、二項分布等），利用它們的均值、方差公式求解．31．（2021·江蘇省前黃高級中學高三月考）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，通常需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只.假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立，并用頻率估計概率.（1）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關？指標值指標值有抗體沒有抗體（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小白鼠產生抗體.①求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率；②以（1）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產生抗體的數(shù)量為隨機變量.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當時，取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)及的數(shù)學期望.參考公式：，其中.0.150.100.0500.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828【答案】（1）填表見解析；有；（2）①0.9；②接受接種試驗的人數(shù)為99人或100人；期望為90.【分析】（1）分別用200去乘以每一組的頻率，求出每一組的頻數(shù)，再結合已知的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，然后計算，在與臨界值比較可得結論；（2）①小白鼠注射2次疫苗后產生抗體與小白鼠注射2次疫苗2次都沒產生抗體成對立事件，所以求出小白鼠注射2次疫苗2次都沒產生抗體的概率后，再用1減去此概率就是所求概率；②因隨機變量，所以由題意可得且，從而可求出人數(shù)的值，進而可求出的數(shù)學期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，200只小白鼠某項指標值的數(shù)據(jù)分布為：在內有個；內有個；內有個；內有個；內有個；由已知，小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中指標值不小于60的有110只，故有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有只，所以指標值小于60沒有抗體的小白鼠有20，同理，指標值不小于60沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：指標值指標值有抗體50110沒有抗體2020由.所以有95%的把握認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關.（2）（1）令事件{小白鼠第一次注射疫苗產生抗體}，事件{小白鼠第二次注射疫苗產生抗體}，事件{小白鼠注射2次疫苗后產生抗體}，記事件，，發(fā)生的概率分別為，，，則，，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率為0.9.（2）隨機變量，，由題意，最大，所以，且.解得，，因為是整數(shù)，所以或，所以接受接種試驗的人數(shù)為99人或100人.①當接種人數(shù)為99人時，的分布列為，數(shù)學期望；②當接種人數(shù)為100人時，的分布列為，數(shù)學期望.【點睛】本題考查頻率與概率、獨立性檢驗、隨機變量分布列與數(shù)學期望等知識以及數(shù)據(jù)分析與處理能力、數(shù)學建模能力，屬于中檔題.32．（2021·湖南株洲·二模）某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人.萌寵機器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，