2021屆高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺模擬卷（十三）

考前30天沖刺高考模擬考試卷（13）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合4={工|》=1[^7},B={y\y=2'x,x>0},則40|8=（）

A.{x|x,1}B.{尤|啖收1}C.{x|O<%,1}D.{x|x<l}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=l,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點到原點距離的最大值是（）

A.1B.C.75D.3

h

3.已知a=（；嚴(yán)，fe=logl0.3,c=a,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c

4.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=3,b=3近,c=3百.若

點M在Afi邊上，且&0=CA7,則4"=（）

AB

1132

A.-B.-C.-D.-

4343

5.甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙

兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；對乙說：“你

當(dāng)然不會是最差的”，則該5人可能的排名情況種數(shù)為（）

A.18B.36C.54D.64

9?1

6.已知函數(shù)/（x）=x+」_,若正實數(shù)加、〃滿足了（6-9）+/（2〃）=2,則上+人的最小

\+exmn

值為（）

QQ

A.8B.4C.-D.-

39

r22

7.已知雙曲線C：A-±=1（?！?。*>0）,過C的右焦點尸作垂直于漸近線的直線/交兩漸

ab~

近線于A,8兩點，A,3兩點分別在一、四象限，若空=2,則雙曲線C的離心率為

\BF\13

（）

A.12B.巫C.巫D.VB

1235

8.如圖E,F,G,，分別是菱形ABC。的邊AB,BC,CD,D4上的點，且破=2AE,

DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,現(xiàn)將AABZ）沿或）折起，得到空間四邊形在

折起過程中，下列說法正確的是（）

A.直線EF,"G有可能平行

B.直線EF,"G一定異面

C.直線￡尸,"G一定相交，且交點一定在直線AC上

D.直線￡F,HG一定相交，但交點不一定在直線AC上

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中。有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得（）分。

9.某高中2020年的高考考生人數(shù)是2010年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地比較該校

考生的升學(xué)情況，統(tǒng)計了該校2010年和2020年的高考升學(xué)率，得到如圖柱狀圖:

則下列說法中正確的有（）

A.與2010年相比，2020年一本達(dá)線人數(shù)有所減少

B.2020年二本達(dá)線率是2010年二本達(dá)線率的1.25倍

C.2010年與2020年藝體達(dá)線人數(shù)相同

D.與2010年相比，2020年不上線的人數(shù)有所增加

10.在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝中，S”是數(shù)列伍“｝的前”項和，若q+4=18,

4+%=12,則下列說法正確的是（）

A.q=2

B.數(shù)列｛/gq,｝是公差為2的等差數(shù)列

C.以=254

D.數(shù)列｛S,+2｝是等比數(shù)列

11.已知函數(shù)/(x)=x-cosx,xeR,則下列說法正確的是()

A.f(x)是奇函數(shù)

B..f(x)是周期函數(shù)

C./(x)的圖象在點(%，f(萬))處的切線方程為x+y=O

D.f(x)在區(qū)間弓，球上是減函數(shù)

12.如圖所示，在凸四邊形中，對邊3C,A0的延長線交于點￡,對邊AS,DC的

延長線交于點F,若B(j=2屈,ED=^DA,祐=3阱(2,〃>0),則()

B.=—

444

CnECAD4

*5的最大值為?EBEA9

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(26+工)“展開式的二項式系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為—(用數(shù)字填寫答

X

案).

14.為鞏固交通大整治的成果，某地擬在未來的連續(xù)15天中隨機(jī)選擇4天進(jìn)行交通安全知

識的抽查，則選擇的4天恰好為連續(xù)4天的概率為.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)

15.若函數(shù)/(x)=cos2x+asinx在區(qū)間(乙，馬是增函數(shù)，則”的取值范圍是__.

62

elwc

16.已知函數(shù)/(?=■x(X>，若函數(shù)g(x)=/(/(x))-硝x)+a+l恰有5個不同的零點,

?尤2_1&1)

則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4Z?sin3,

ac=yf5(a2-h2-c2).

(I)求cosA的值；

(II)求sin(2B-A)的值.

18.已知數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，4=1,｛〃：)為等差數(shù)列，公差為2.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式.

(2)求S,=+22°；+230；+...+2"片.

19.如圖，三棱柱ABC-A4G中，N44A=NC|AA=60。，A4,=AC=4,AB=2,P,

。分別為棱例，AC的中點.

(1)在平面ABC內(nèi)過點A作AM//平面PQg交3c于點用，并寫出作圖步驟，但不要求

證明；

(2)若側(cè)面ACC.4±側(cè)面ABB｝\,求直線AC與平面PQB、所成角的正弦值.

20.2020年將全面建成小康社會，是黨向人民作出的莊嚴(yán)承諾.目前脫貧攻堅己經(jīng)進(jìn)入沖

刺階段，某貧困縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3:2.用分層抽樣的方法，收集了

100戶家庭2019年家庭年收入數(shù)據(jù)(單位：萬元)，繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家

庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū).

(1)完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019

年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān).

超過1.5不超過總計

萬元1.5萬元

平原地區(qū)

山區(qū)10

總計

附：K<+藍(lán)珠篇…），其中〃=?+，+”.

P(K2..k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

（2）根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率.為了更好地落實黨中央精準(zhǔn)扶貧的決策，

從2020年9月到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取4戶

作為“縣長聯(lián)系家庭”，記“縣長聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望E(X).

領(lǐng)率

21.已知動點尸在x軸及其上方，且點P到點/（0,1）的距離比到x軸的距離大1.

（1）求點P的軌跡C的方程；

（2）若點Q是直線y=x-4上任意一點，過點。作點P的軌跡C的兩切線QA、QB,其

中4、5為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標(biāo).

22.己知函數(shù)/（x）=+mx-ex+l（/ne7?）.

（1）若/（x）在/?上是減函數(shù)，求"7的取值范圍；

（2）當(dāng)機(jī)>1時，證明/（X）有一個極大值點和一個極小值點.

考前30天沖刺高考模擬考試卷(13)答案

1.解：???A={x[%,l},8={y|0<y<2},

AQB={X|0<A;,1).

故選：c.

2.解：因為|z-2i|=l,

故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是以C(0,2)為圓心，1為半徑的圓，

又OC=2,

所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點到原點距離的最大值是2+1=3.

故選：D.

03b

3.解：=log,0.3>logt-=1,a=(-)e(0,l),c=a<a,

3533

所以c<a<6.

故選：A.

4.解：因為=

所以AMBC為等腰三角形，

因為a=3,b=3>/2,c-3yf5.

由條件可得cosB="+C-*=2,

2acV5

所以BM*cosB=,解得BM=3小，

224

所以,

4

可得烈=3.

AB4

故選：C.

5.解：根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，

分2種情況討論：

①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，

剩下的三人安排在其他三個名次，有餡=6種情況，

此時有3x6=18種名次排列情況；

②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有餡=6種情況，

剩下的三人安排在其他三個名次，有可=6種情況，

此時有6x6=36種名次排列情況；

則一共有36+18=54種不同的名次排列情況，

故選：C.

6.解:函數(shù)f(x)=x+-------，

1+，

所以/(一=+---—,

1+e*

所以/(x)+/(-%)=2?

由于函數(shù)/(x)=x+—二一在定義域上單調(diào)遞增，

l+ex

故正實數(shù)m、n滿足/(m-9)+f(2n)=2,

故9—m=2及，

所以加+2"=9,

所以2+'=1?(機(jī)+2〃)(工+,)=—(4+—+—)..x(44-25/4)=—(當(dāng)且僅當(dāng)買〃2=2〃時,

mn9tnn9mn99

等號成立).

故選：D.

7.解：由題意知：雙曲線的右焦點尸(c,0)，漸近線方程為y=±^x,

a

即bx±ay=O,

如下圖所示：

由點到直線距離公式可知：|必|=4=b,

又:/+從，.0.|OA|=a>?/A，?BF\=—bt

\BF\135

設(shè)ZAOF=a,

由雙曲線對稱性可知ZAOB=2a,

\AB\_\Sh

而tana=一tan2a

a\OA\~~5a

2x2

由正切二倍角公式可知：tan2a=2a咚一=_

\-tan~a]_(2/cr-b~

a

2ab\8b

ZHn-;--r=--，

a2—b“5a

化簡可得：4a2=9h2,

由雙曲線離心率公式可知：e=￡=

a

故選：B.

8.解：?;BE=2AE,DH=2HA,

,則￡W//8￡>,S.EH=-BD,

BEDH23

又CF=2FB,CG=2GD,

—=—=2,則FG//8D,S.FG=-BD,

BFGD3

:.EH//FG,且

.?.四邊形/G”為平面四邊形，故直線EF,4G一定共面，故B錯誤；

若直線切與”G平行，則四邊形EFG”為平行四邊形，可得EH=GF,與EHKFG矛盾,

故A錯誤；

12

由團(tuán)〃FG,且EH=-BD,FG=-BD,可得直線EF,“G一定相交，設(shè)

33

交點為O，

則。€所，又EFu平面ABC,可得Ow平面A8C,同理，Oe平面AC。，

而平面/WCC平面ACD=AC,.?.OGAC,即直線￡F,4G一定相交，且交點一定在直

線AC上，故C正確，。錯誤.

故選：C.

9.解：設(shè)2010年高考的考生人數(shù)為a,則2020年的高考考生的人數(shù)是1.5a,

對于A,2010年一本達(dá)線人數(shù)為0.28a,2020年一本達(dá)線人數(shù)為1.5ax0.24=0.3&7,故選

項A錯誤：

對于3,2020年二本達(dá)線率是40%,2010年二本達(dá)線率是32%,40%+32%=1.25,故選

項3正確；

對于C,2010年藝體達(dá)線人數(shù)是0.08a,2020年藝體達(dá)線人數(shù)0.08程1.5a=0.12a,故選項

C錯誤；

對于。，2010年不上線的人數(shù)為0.32a,2020年不上線的人數(shù)為0.28x1.5a=0.42a,故選

項。正確.

故選：BD.

10.解：由題設(shè)可得：卜(1+/)=18,解得：[《=2或"J,

[q(q+q2)=12[q=2q=-

?.?夕為整數(shù)，故選項A正確；

也=2

■.■lgall+i-lga?=lg^=lg2,選項8錯誤；

an

又止先=29-2=510,選項C錯誤；

81-2

2(1-2-')[2

'.,*+2=4'—=2'.?.數(shù)歹"S,,+2｝是公比為2的等比數(shù)列’故選項“

1-2+2

正確，

故選：AD.

11.解：對于A：函數(shù)f(x)的定義域是R，f(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-/(x),故/(x)是

奇函數(shù)，故A正確；

對于不存在非零常數(shù)丁，使得f(x+T)=/(x),故/G)不是周期函數(shù)，故5錯誤;

對于C:f\x)=cosx+x(-sinx)=cosx-xsinx,

f\7r)=-1,于(九)=一兀，故/、(x)在點(乃，/(4))處的切線方程為：y+7r=-(x-7r),即

x+y=0,故。正確；

對于￡):/'(x)=cosx-%sinx,xe(—,4)時,，一IvcosxvO,xsinx>0,故/'(x)v0,

故/(x)在區(qū)間弓，萬)上是減函數(shù)，故。正確.

故選：ACD.

12.解：對于A,因為念=38戶，所以麗-麗=3(麗-麗),

整理得=k+'E4,故A正確;

44

對于8，過點8作BG//F7),交AE于點G,

則竺=四，生=變，

BFDGCEDE

第1“AFBCEDADDGED

BFCEDADGDEDA

因為8c=4S,ED=JLIDA,AB=3BFf

所以絲=4,二￡=%ED

---二N

BFCEDA

所以4〃/=l,所以〃/=；,故3正確；

對于C,由3知，工+工=4(2+〃)..8禽7=4,當(dāng)且僅當(dāng);I=〃=,時等號成立,

2ju2

所以_L+_L的最小值為%故c錯誤；

對于。，因為8。=2曲，ED=yDA,

所以麗=(/1+1)反，EA=^+1)DA=-(/J+1)AD,

匚G、I1-1

所以EC-AD=-------E-C----A-D一一=-------------=--------—當(dāng)且

EBEA一(4+])(〃+1)￡C-AD-(A+])(〃+1)52即？9

〃4

僅當(dāng)/1=〃='時取等號，故O正確.

2

13.解：由題意得2"=32,所以〃=5,

15-3rq&

所以展開式的通項為q,1=仁(2?產(chǎn)(一＞=(7；25-丁丁，令"V=l,得?'=1,

x2

所以展開式中X的系數(shù)為C；25T=80,

故答案為：80.

14.解：某地擬在未來的連續(xù)15天中隨機(jī)選擇4天進(jìn)行交通安全知識的抽查,

基本事件總數(shù)〃=C；=1365,

選擇的4天恰好為連續(xù)4天包含的基本事件個數(shù)m=12,

則選擇的4天恰好為連續(xù)4天的概率為P='=='-

n1365455

故答案為：—.

455

15.解：因為F(x)=cos2x+〃sinx,

所以/'(x)=-2sin2x+acosx,

因為/(x)在區(qū)間(2,馬是增函數(shù)，

62

-2sin2x+acosx..0izE(―,—)上恒成立，

62

因為cosx>0,

所以不等式等價于a.4sinx,

因為4sinxv4,

所以a..4,即a的取值范圍是［4,+8).

故答案為：［4,+00).

16.解：當(dāng)x>l時，由/(x)=旦竺，得/(*)=型二絆，

Xx~

當(dāng)xw(l,e)時，f'{x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,y)時，f\x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

又當(dāng)Xf+8時，f(x)>0且0,

作出/(x)的圖象如圖：

設(shè)/(x)=f,貝I］由g(x)=/(/(x))—如(x)+a+l=0,Wf(t)-at+a+\=0,

可得=1)-1，

若函數(shù)g(x)=/(/(x))-叭x)+a+1恰有5個不同的零點，

則關(guān)于X的方程儀》)=/(/(幻)-4。)+“+1=0有5個不同的實根，

結(jié)合函數(shù)y=/(x)的圖象及直線y=a(x-l)-l得/(。=兇-1)-1恰有2個不等的實根,

得r=%=/(x)e(-l,0),z=/2=/(x)e(O,1),

r=r,=/(x)e(-l,0)有2個不等實根，r"2=f(x)w(O,1)有3個不等實根，

1,、

—<a<0.

2

故答案為：(-1，0).

2

17.I)解：由—"—二b,得asin8=bsinA,

sinAsinB

又asinA=4Z?sinB,得4Z?sin8=asinA,

兩式作比得：—.-.a=2b.

4ba

22222

由ac=y/5(a-b-c),得/+c-a=-^-ac,

石

>2,22----C1C/Z

由余弦定理，得cosA=---------=——---=——；

2bcac5

n

(II)解：由(I),可得sin4=冬叵，代入〃sinA=4Z?sinB,得sinB=，"4=.

54b5

由(I)知，A為鈍角，則8為銳角，

_______K

cosB-Vl-sin2B--2---.

5

sin2B=2sinBcosB--,cos2B=l-2sin2B=-,

55

故

sin(2B-A)=sin23cosA-cos2BsinA=sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=—x(--^)--x

18.解：(1)?.?4=1,，。：=1,

又忖｝為等差數(shù)列，公差為2,

..a：=a；+(〃-1)x2=2〃-1,

afl>0,

/.數(shù)列｛〃〃｝通項公式為an=《2幾-1；

(2)由(1)可得：2%：=(2〃-1)?2",

S?=lx2+3x22+5x23+...+(2n-l)x2,',

X2S?=lx22+3x23+5x24+...+(2n-l)x2"+l,

兩式相減得：-S“=1x2+2x22+2x23+...+2x2"-(2〃-l)x2"+'

=2+2(22+23+...+2,,)-(2n-l)-2,,+l

=2+2"+2-23-(2n-l)x2n+1=-6-(2n-3)x2"+l

S?=6+(2/?-3)x2),+l.

19.解：(1)取2q中點E,連接AE,則4E//P耳，

連接CE,取CE中點N,連接QN,則QN//AE,

即片四點共面，

:.QN//PBt,Q,N,P,

連接用/V交3c于H，連接Q”，則Q，H,BpP四點共面，

過A作AM//Q"交3c于"，即為所求.

(2)作QO1.平面A844,與A4延長線交于O，則AO=1,。0=6,

OB]=^25+4-2x5x2x1=曬，QB,=電,

?;B、P=2,PQ=2百，

12+4-22

cos/.QPB=

]2x2>/3x2

=乎,

sinZQPBt

'''=2x26考*,

作PN//C|A,則直線AG與平面PQBi所成角=直線PN與平面PQB1所成角,

,.eS.QN=；*4義6=26’V氐.PQN=gx2石xG=2'

設(shè)N到平面PQg的距離為〃，則gx亨x/z=2,.?/=￥5,

4屈

直線AG與平面尸。區(qū)所成角的正弦值=4一=普.

20.解：(1)由頻率分布直方圖可知，超過1.5萬元的頻率為(0.5+0.4+0.1)X0.5=0.5,

所以超過1.5萬元的戶數(shù)有100*0.5=50戶,

又因為平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3:2,抽取了100戶，

故平原地區(qū)的共有60戶，山區(qū)地區(qū)的共有40戶，

又樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū)，所以超過1.5萬元的有40戶居住

在平原地區(qū)，

不超過L5萬元的有20戶住在平原地區(qū)，有30戶住在山區(qū)地區(qū),

故2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表如下：

超過1.5萬元不超過1.5萬元總計

平原地區(qū)402060

山區(qū)103040

總計5050100

則片=一"⑹—=-0x3070x20)2=50“脂⑻>10,828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x50x503

所以有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān);

(2)由(1)可知，選1戶家庭在平原的概率為2,山區(qū)的概率為3,

55

X的可能取值為0,1,2,3,4,

所以P(X=0)=仁(當(dāng)?！?4=線,

55625

96

P(X=1)=

625

/^=2)=*)2令=能,

55625

P(X=3)=C；(/令=怒,

55623

p(x=4)=c：q)4(3°=2,

55625

所以X的分布列為：

X01234

P169621621681

625625625625625

因為X服從二項分布X~8(4,*,

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4X]=￡=2.4.

21解：(1)設(shè)點P(x,y),則|PFRy|+l,即卜+⑶一杼=|y|+l,

化簡得尤?=2|y|+2y,0,x2=4y.

.?.點P的軌跡方程為V=4)，.___________..(4分)

(2)對函數(shù)y=