2021屆高考數(shù)學(xué)名校模擬題匯編02 數(shù)列（3月刊解答題）（新高考地區(qū)解析版）

專題02數(shù)列(解答題)

試題精選

1、(無(wú)錫市2021屆高三年級(jí)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷)在數(shù)列｛4｝中，q=2,。/,㈤=2%-1.

(1)求證：數(shù)列二，是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

I/-1J

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和S”.

|4〃yJ

2Q”一1

【解析】(1)???a.。”"=2%-=-1—.................................1分

%

1,1

且—7=1所以，數(shù)列《——；卜是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1,公差為1,

2、(華附、省實(shí)、深中、廣雅2021屆高三年級(jí)四校聯(lián)考)(本小題滿分10分)

已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj滿足％=1,??_I-an=a,,a,i，(〃N2),等比數(shù)列｛勿｝滿足：a2=4也-4=%.

(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝,｛〃,｝的通項(xiàng)公式；

hbb

(2)設(shè)(=,+—+!<+。，求7；.

anan-\a\

【解析】：(I)???｛%｝各項(xiàng)為正，且。,1一%=44,1，(〃22),；.」....-=1,(?>2).

1,

是公差d=l,首項(xiàng)一=1的等差數(shù)列.............2分

a,

............3分

設(shè)等比數(shù)列｛2｝的公比為q,則白=:，h一4=偽（“一d）=；

2o

故4—d=解得夕=:.故a=仿=：.............5分

fb,"狂bnnn-\n-21

(2)(二一+―+K+—=不+^-+-^+…+萬(wàn)?①

anan-\4]2222

cen-1〃-21八

2騫=〃+-^-+-^~+…+而,②............6分

②一?:1=〃—(；+(+*+…+備+/)?............8分

2

3、（江蘇省鹽城市、南京市2021屆高三第一次模擬考試）（本小題滿分10分）

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S"，2S,=a；+

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式;

,e11

(2)求證：X_"2---[＜不?

片4+.-12

【解析】（1）當(dāng)九=1時(shí),由2S”=a”2+z,得m（m—]）=0.

因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，所以0>0,所以。i=L

因?yàn)楫?dāng)〃21時(shí)，2Sn=a,?+an,....................①

2

所以當(dāng)稔2時(shí),2Sn-i=an-[+an-\,................②

2

①一②，得25/：—2Sn-\—at?—an-\-}-an—an-\

即2an—a,-]2+斯-〃,

所以4〃+a,Li=3〃+a〃i）（a〃-a”i）.

因?yàn)閿?shù)列｛所｝的各項(xiàng)均正，所以小+小—>0.

所以當(dāng)欄2時(shí)，an—a,i-\=\.

故數(shù)列伍〃｝是公差為1的等差數(shù)列.

故數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為a,i=n.

（2）因?yàn)殄e(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!（錯(cuò)誤!—錯(cuò)誤!）,

故｛錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤![（.錯(cuò)誤!）+（錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!）+…+（錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!）『錯(cuò)誤!（1—錯(cuò)誤!）＜錯(cuò)誤!

4、（江蘇省2021屆四校聯(lián)合第三次適應(yīng)性考試）（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和S“滿足

(nN").且

2S?-nan^3ns

（1）證明：數(shù)列｛?“｝為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)么=“揚(yáng)二+”瘋,刀,為數(shù)列｛2｝的前0項(xiàng)和，求使7；＞余成立的最小正整數(shù)n的值.

【解析】：（1）由2S”一〃。“=3〃①可得，

當(dāng)"N2H寸，2S“_i一（〃-1）。"_1=3（〃-1）②，

①一②得，（〃-1）%_1=3（〃22）,

所以當(dāng)〃時(shí)，

23（“-2）an_2—（/1—3）a“_|=3，

所以（八一2）q,=（"-2）a“_2一（”一3）4,T,

整理得2a,i=4+%_2（〃23）,所以｛%｝為等差數(shù)列.

又2SI-q=3,所以%=3,又々=5,所以生一％=2,

所以％=2九+1（〃eN*）.

,_1=______________1______________

⑵由⑴可得‘產(chǎn)4向+%日"EG卬

=_]-----_,2"+3—＞j2n+l

，2〃+1?，2〃+3（，2〃+1+12rl+3）2,2.+1?42〃+3

仿+3,T國(guó)-&+31

所以北=51耳一而十而一萬(wàn)+…+罰

要使*＞立，只需一提=）＞*,

〃10216V2n+3j10

解得〃又MEN*,所以。的最小值為8.

8

、（海門(mén)學(xué)年第一學(xué)期期末測(cè)試）已知數(shù)列滿足

52020?2021｛an｝

----------+-----------+-----------+…+-----------=-

口

21—5u2^~5ci—25cin—2

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列，」一|的前〃項(xiàng)和為7；,求

1111n

【解析】⑴罰+—+—+…+—=3①

123n-1n-1

------+-------+-------+???+--------=-----②

2al—52al—52%—52?！╛1-53

n13〃+6/、-、

①—②=耳中…丁…

,I1,

在①式中，令〃小二年^產(chǎn)。.，也滿足上式

3n+5

?q=M-

]_]_4_4r_J______1_"

(2)44+13〃+53〃+8(3〃+5)(3〃+8)313"+53〃+8,

F2-

74cli11114clin

"3(81111143〃+53n+8；3(83n+8；2(3〃+8)

6、（無(wú)錫市2021屆高三年級(jí)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷）（本小題12分）設(shè)分為數(shù)列｛端的前n項(xiàng)和，己知%>0,

??2+2aL4S“+3；數(shù)列也｝為各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，d=」且仇,4々,2打成等差數(shù)列.

8

（1）求數(shù)列｛《,｝｛〃｝的通項(xiàng)公式；

（2）若％="/“，n&N\7；為數(shù)列｛c,,｝的前"項(xiàng)和，求T”.

【解析】（1）由+2ali=4s“+3,可知+2an+i=4S?+I+3,

兩式相減得-a；+2（%+]-％）=4%+],

即2（?！?1+%）=4+1-。；=（。二+?！埃ā?用一4）,；4“>。,，4+]-4=2,......................2分

：aj+2q=4q+3,/.at=-1(舍)或4=3,.....................................3分

則｛4｝是首項(xiàng)為3,公弟d=2的等差數(shù)列，???｛《｝的通項(xiàng)公式%=3+2（〃-1）=2〃+1；…4分設(shè)數(shù)

列也，｝公比為g,則g>0.由題意可知:偽+2%=池，

即8/—24—1=0,.“=5或一7（舍）?…5分

又d=1.??3=1，?,?吼｝的通項(xiàng)公式為切

6分

8

(2)%=a/.=(2〃+l)()"T7分

3572/?-12/7+1

所以北=%+萬(wàn)+齊+…十232+2"""]

13572〃-12〃+1

-T="rH—y—rH-------1"-------i----1------------8分

22122232'i2"

1__L.

由討汨322222〃+12”T2.+1

相減得耳北二牙牙+齊+…+聲一_F_3F-10分

~2

化筒得Z,=10—空言

12分

7、（如皋2020-2021學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）已知數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和為S,,,首項(xiàng)6=1,

“=2S”+1.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)a=〃4,記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；，是否存在正整數(shù)〃，使得北=2021?若存在，求出〃的

值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】（1）由S,用=2S.+1①

知〃N2時(shí)，S.=2S,_1+1②

①-②na?+i=2an（w>2）

在①式中令〃=1=>%+。2=2al+1=>a2=2,==2

a\

..?對(duì)任意〃eN*，均有腎=2,為等比數(shù)列，%=1,2"T=2"T

（2）b“=n-2"T

7；=l?2°+2?2i+3?22+…+(〃—l>2"-2+〃.2"T①

27；,=，2\2?22+…—2>2”2+(“—i>2"T+"-2”②

①-②nZ,=1+2,22+…+2，1一”.2"=1"2)一"？"=2"一1—〃.2",

"1-2

(=(“—1)2'+1

令(〃—1)?2"+1=2021=-1)?2"=2020

顯然｛(〃一1>2”｝關(guān)于“在〃21上口，(?-1)-2"-2=505

當(dāng)〃=2時(shí)，顯然不成立：當(dāng)〃之3時(shí)，左邊為偶數(shù)，右邊=505為奇數(shù)矛盾，舍去，故不存在.

8、(揚(yáng)州區(qū)域2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期末考試)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S“=-a"一(，)"I+2(〃WN*),數(shù)

列｛a｝滿足b”=2"a".

①求證：數(shù)列｛d｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

nn+1124

②設(shè)。尸2〃〃—4〃+1—，數(shù)列｛金｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)〃，求滿足7；〈而■(/1EN*)的〃的最大值.

【解析】①:Sn=一期一Q)"?+2(〃￡N"),

當(dāng)n>2時(shí)，S“i=一如|—Q)"?+2,

//1

/.an=5；j—5/j-1=—an+an-\+f2)?

化為2〃〃〃=2廣匕一+1,

n

■:bn=2a,i,:.bn=bn-\+l9

即當(dāng)后2時(shí)，bn—bn-\=lf

1

令〃=1,可得Si=-a[-1+2=〃|,即。1=1

又6]=2m=l,

???數(shù)列｛仇｝是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.

n

于是。〃=1+("—1),1=〃=2"々〃，???〃〃=?.

2”-1

=2U-2/?i'—1

124

由，〈■豆可得2山<64=26,〃<5,

???“WN*,，〃的最大值為4.

9、（山東煙2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷）已知數(shù)列｛凡｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其

13

前〃項(xiàng)和為5〃，q=l,S2=—

y

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）令2=（2〃+1）/，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T”.

【解析】：（1）設(shè)數(shù)列｛?！埃墓葹?,

于是S3=4(1+q+/)=1+q+q2=擠

14

解得4=7;或4=一7，

33

因?yàn)?>0,所以q

3

所以見(jiàn)=擊，

72〃+1

（2）由（1）可得,"一3"-1，

572〃-12〃+1

4=3+丁宇+???+

352〃-12/1+1

—I——+…+-----+-----------

3323〃T3"

222212/1+1

兩式相減可得，§（=3+

3323W-1)3〃

2__2

2+1

_313-F?

1---3"

3

/12/1+1

3'i3”

所以q=6_竽

10、（連云港市2021屆高三適應(yīng)性演練模擬考試）（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛4｝滿足

4+2a,+3%+…+=(〃-1)?2""+2(〃eN*)-

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a=log%2,則在數(shù)列｛〃,｝中是否存在連續(xù)的兩項(xiàng)，使得它們與后面的某一項(xiàng)依原來(lái)順序構(gòu)成

等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)將這樣的兩項(xiàng)都探究出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】：(1)由題意，彳+2%+3/+…+加"=(〃-1>2"M+2,

當(dāng)〃之2時(shí)，4+2a,+3<Zj+…+(〃-=(〃-2>2"+2,

兩式相減，得陷,=(〃-1>2向—(〃一2b2",即4=2".

當(dāng)〃=1時(shí)，q=2,也滿足上式,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式=2".

,,c11_1

(2)=log2=---------

flnW

年2anlog22n

=1,bj,顯然不適合；

法一：a

-2

=」構(gòu)成公差為的等差數(shù)列；

瓦卷1_1b

適合，即打=王4——，6

366

a=L1=1,=,構(gòu)成公差為--L的等差數(shù)列;

適合，即打=—，包

-334612

bnk

當(dāng)“24時(shí)，假設(shè)5，晨1，+(^>2)成等差數(shù)列，則2%

入_21_H-1_1

pnb〃+k—2b〃+[hn———

即〃+l〃幾+〃〃+2+，，

n-1

2

而當(dāng)〃之4時(shí)，—gN*,所以2+火不是數(shù)列｛2｝中的項(xiàng)，所以當(dāng)〃之4時(shí)，不存在連續(xù)兩項(xiàng)，使之與數(shù)

列后面某一項(xiàng)依原順序成等差數(shù)列.

綜上,b2,4和外，“適合條件.

法二：仇=1,打=；顯然不適合；

當(dāng)〃22時(shí)，設(shè)bn,%,bn+k(^>2)成等差數(shù)列,則2bx=>+bn+k,

2112

即——=一+——，解得后=2+——.

〃+1nit+kn-\

當(dāng)〃=2時(shí)，k=4,則"=:，4,=:構(gòu)成公差為一，的等差數(shù)列；

2366

當(dāng)〃=3時(shí)，k=3,則仇=L瓦」,%=1構(gòu)成公差為一」-的等差數(shù)列；

34612

2

當(dāng)〃之4時(shí)，—gN*,則左eN*，所以紇+*不是數(shù)列｛"｝中的項(xiàng)，所以當(dāng)〃之4時(shí)，不存在連續(xù)兩項(xiàng),

使之與數(shù)列后面某一項(xiàng)依原順序成等差數(shù)列.

綜上,b2,4和4,“適合條件.

11、（河北省張家口市2021屆高三上學(xué)期期末考試）數(shù)列｛凡｝是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S“，a,=1,

an+i=Sn+m.

（1）求m;

T12n

（2）若（=—+—+…+—，求小

4ai4

（12分）

【解析】：（1）由%+i=S“+m=>a“=S“_|+加..........................................1分

當(dāng)2時(shí)，兩式相減，得a〃+i=。“na.+i=2%.

：｛%｝是等比數(shù)列，???4=2q=2..............................................3分

又。2=%+機(jī)=2=>機(jī)=1......................................................5分

（2）a,=a"'T=2"T,...........................................................6分

?123n

7；-=7+7+F+'"+Fr，

“，1T_123n

得萬(wàn)看=5+了+了+…+才8分

一…11111n,〃〃c〃+2

兩式相減，^-Tn=-5-+y+-7+-y+---+—j--—=1?―=--不=?一~-

乙乙乙乙乙乙乙]1乙乙

2

12、（湖北師大附中2021屆高三上學(xué)期聯(lián)合測(cè)評(píng)）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且

S,,=3a,,—2,（〃eN*）

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)不等式S“>31,(〃GN*),求〃的最小值.

【解析1⑴由5“=3%—2,當(dāng)〃=1得4=3q—2,即q=l

當(dāng)〃22,S,i=3《一一2,于是S“一S,i=(3a?-2)-(3??_,-2),

即a=3a?-3a,i(〃>2),即梟=二(〃22),

nUn-\2

，neN.........................（6分）

(2)所以S,,=3a,_2=3{g)-2.

⑶243,19,,

由S“>31得>11，-=——=7—<11

<2j3232

.??故〃一126即”27,故整數(shù)〃的最小值為7..................（12分）

13、（江蘇海門(mén)中學(xué)、淮陰中學(xué)、姜堰中學(xué)2020-2021年度第一學(xué)期階段檢測(cè)）（本題滿分12分）

已知數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，且4=3,%=7,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S,,=l—gd（〃eN）

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵記%=anhn,數(shù)列匕｝的前n項(xiàng)和為7“，證明:Tn<2.

【解析】：（1）因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等差數(shù)列，/=3，%=7,

設(shè)公差為4,則《二，r，解得4=1，d=2.

q+3d=7

/.a,=Q]+(〃-l)d=1+2(〃-1)=2〃-1...............................2分

對(duì)于數(shù)列也},—

12

當(dāng)〃=1時(shí)，仄=1一二”,解得偽=一；.......................................3分

213

當(dāng)n>2時(shí),=Sn-=(1一/J一11一j'

整理得b“=；b,i,即廣=：，所以數(shù)列也｝是等比數(shù)列

2（￥

=-x-=—............................................7分

3（為"

2(2〃-1)4n-2

⑵g=a"b”=

3"3.

??數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和(=>&學(xué)+……+4(〃；丁+與Z

.?.37>2+號(hào)+竽+4〃一2

+

4444n-24〃-2.4〃+4

兩式相減可得27；=2+§+三+……+手才1—---=4-----

3"3”

1-3

“一―竽11分

所以騫<212分

14、(河北省"五個(gè)一名校聯(lián)盟”2021屆高三上學(xué)期第一次診斷考試)已知等差數(shù)列｛.｝的前n項(xiàng)和為S”，若

a1=-8,S&H-35~1?

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列bn=2n+】,求數(shù)列｛|a#bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

【解析】：(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意可知：

6ai+15d+ai+4d=l,其中ai=-8,解得：d=3,

則a?=-8+3(n-1)=3n-l1.

(2)由⑴可知當(dāng)n=l,2,3時(shí)，an<0,|an|=-an,

當(dāng)*4時(shí),an>0,|aj=an,

當(dāng)n=l,2,3時(shí)，可知：Ti=32,T2=72,T3=104,

當(dāng)臉4時(shí),可知：Tn=104+a4b4+...+anbn,即：

5

Tn=104+(3x4-11)-2+...+(3n-ll)兩邊乘以2可得:

6n+2

2Tli=2x104+(3x4-11)-2+...+(3n-ll)-2,

兩式做差，整理可得:T?=(3n-14)2+2+264,

’32,〃=1

72,〃=2

綜上可得：(='104,〃=3

(3n-14)-2n+2+264,n>4

15、(南通六市2021屆高三第一次調(diào)研測(cè)試聯(lián)考)已知等差數(shù)列滿足。“+2。“+]=3〃+5.

(1)求數(shù)列｛。.｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列I」一|的前〃項(xiàng)和為S”.若v〃eN*，S<-22+4/1(4為偶數(shù))，求；I的值.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為4,公差d

,等差數(shù)列a“=q+5-l)d

q+2%=8

an+2an+}=3〃+5,<

[%+2。3=11

m+2(q+d)=814=2

則《，解得：\，,a,=n+l.

[q+d+2(q+2d)=ll[d=l

1111

(2),/a=n+l,------=----------------=---------------

anail+i(n+l)(n+2)n+\n+2

數(shù)列，的前〃項(xiàng)和：

l?A+iJ

01111

“a2a3a3a4aan+}

11)=9總

23344556n+\n+2

,**￡N*，S<一7+44，￡N*，-----------<—尤+44

2n+2

-A2+4/l>i,2/t2-8/l+l<0,4~^<2<4+^

222

v4為偶數(shù)，；?4=2.

16、（江蘇省蘇州市2021屆高三第二學(xué)期期初學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷）（本小題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知〃個(gè)圓Ci,C2,…，C”與x軸和直線/：y=6（x+l）均相切，且任

意相鄰兩圓外切，其中圓Ci：(x-q)2+(y-偽)2=L(10W",kN*,-1Vn“<…V&Vq=8,b.>0,

>0）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

243

（2）記〃個(gè)圓的面積之和為S,求證：SV—乃.

8

【解析】：（1）設(shè)直線/與X軸、），軸分別交于點(diǎn)P,Q,

根據(jù)題意可知，點(diǎn)C到x軸的距離和到宜線/的距離均為半徑,

所以圓心C都在NQPO的平分線y=巫（x+1）±,且4=八

所以也=—^（q+l），則4=-^（4+1）=375,

設(shè)圓C在x軸上的切點(diǎn)為46=1,23…），

在和,因?yàn)樵?|="K-zc/4=30°,

所以|PC.|=C,附“卜〃）句，

因?yàn)橄噜弮蓤A外切，所以|「。」=|"；”|+匕。.“|,

所以次=如“+（&+“）,即％=$“

所以數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為36,公比為;的等比數(shù)列，

所以"=34）'叫）:

因?yàn)橐?g（a.+1）,所以。,=（；）-1（/?eN,）；

（2）如圖，記圓C的面積為S，則，=總工，

由（1）可知，4代入上式可得，5=汕：=?"'，

從而這〃個(gè)圓的面積之和s=￡$,=￡243幾

~1~

17、（江蘇省鹽城市、南京市2021屆高三第一次模擬考試）（本小題滿分10分）

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S〃，2szi=a；+〃〃.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

qS11

（2）求證：22―7<彳?

,=|?,+4+|-12

【解析】：⑴當(dāng)〃=1時(shí)，由2s“=。”2+%,得—］）=o.

因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，所以ai>0,所以m=l.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，2S“=a“2+a”........................①

所以當(dāng)時(shí)，2S"-