畫法幾何垂直問題

3.1平行問題3.1.1直線與平面平行3.1.2平面與平面平行第一頁(yè)1第二頁(yè)，共56頁(yè)。3.1.1直線與平面平行若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。PCDBA第二頁(yè)2第三頁(yè)，共56頁(yè)。例1試判斷直線AB是否平行于平面CDE。fg

f

gb

a

abc

e

d

edc結(jié)論：直線AB不平行于定平面XO第三頁(yè)3第四頁(yè)，共56頁(yè)。例2過點(diǎn)K作一水平線AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

af

fbc

e

d

edk

kcXO第四頁(yè)4第五頁(yè)，共56頁(yè)。3.1.2平面與平面平行

若平面內(nèi)的兩相交直線對(duì)應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個(gè)平面平行。PSEFDACB第五頁(yè)5第六頁(yè)，共56頁(yè)。f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行XO例3試判斷兩平面是否平行第六頁(yè)6第七頁(yè)，共56頁(yè)。例4已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO第七頁(yè)7第八頁(yè)，共56頁(yè)。例5試判斷兩平面是否平行結(jié)論：兩平面平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO第八頁(yè)8第九頁(yè)，共56頁(yè)。3.2相交問題3.2.1積聚性法3.2.2輔助平面法第九頁(yè)9第十頁(yè)，共56頁(yè)。交點(diǎn)與交線的性質(zhì)

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線是直線，它是兩個(gè)平面的共有線。求線與面交點(diǎn)、面與面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線的投影。PABKDBCALKEF第十頁(yè)10第十一頁(yè)，共56頁(yè)。3.2.1積聚性法當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。VHPHPABCacbkNKM第十一頁(yè)11第十二頁(yè)，共56頁(yè)。直線可見性的判別b

ba

acc

m

mn

k

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線的可見性--觀察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前第十二頁(yè)12第十三頁(yè)，共56頁(yè)。XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6鉛垂線AB與一般位置平面ΔCDE相交，求交點(diǎn)并判別可見性。第十三頁(yè)13第十四頁(yè)，共56頁(yè)。（2）兩平面相交f

k

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk第十四頁(yè)14第十五頁(yè)，共56頁(yè)。平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO第十五頁(yè)15第十六頁(yè)，共56頁(yè)。平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLXOb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

第十六頁(yè)16第十七頁(yè)，共56頁(yè)。過AB作平面P垂直于H投影面3.2.2輔助平面法DECP12KBA第十七頁(yè)17第十八頁(yè)，共56頁(yè)。2PH1

作題步驟：1、過AB作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與AB的交點(diǎn)K。XOa

b

bacd

e

edc

12

kk

第十八頁(yè)18第十九頁(yè)，共56頁(yè)。直線AB與平面ΔCDE相交，判別可見性。(

)a

b

bace

edc

d

124

（

）kk

XO3

342

1

第十九頁(yè)19第二十頁(yè)，共56頁(yè)。以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)1

2

QV21步驟：1、過EF作正垂平面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。f

e

efba

acb

c

k

k第二十頁(yè)20第二十一頁(yè)，共56頁(yè)。利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線的方法第二十一頁(yè)21第二十二頁(yè)，共56頁(yè)。1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV21k

kl

l2、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KL。XO作題步驟1

2

第二十二頁(yè)22第二十三頁(yè)，共56頁(yè)。利用重影點(diǎn)判別可見性bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()34

21()1

2

XO兩平面相交，判別可見性第二十三頁(yè)23第二十四頁(yè)，共56頁(yè)。例7試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO第二十四頁(yè)24第二十五頁(yè)，共56頁(yè)。分析FPCABEKH

過已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。第二十五頁(yè)25第二十六頁(yè)，共56頁(yè)。作圖步驟m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、過點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2、過直線EF作正垂平面P。3、求平面P與平面KMN的交線ⅠⅡ。4、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)H。5、連接KH，KH即為所求。第二十六頁(yè)26第二十七頁(yè)，共56頁(yè)。3.3垂直問題3.3.1直線與平面垂直3.3.2平面與平面垂直第二十七頁(yè)27第二十八頁(yè)，共56頁(yè)。3.3.1直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。第二十八頁(yè)28第二十九頁(yè)，共56頁(yè)。定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO第二十九頁(yè)29第三十頁(yè)，共56頁(yè)。定理2（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO第三十頁(yè)30第三十一頁(yè)，共56頁(yè)。a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例8平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)M作平面的垂線。第三十一頁(yè)31第三十二頁(yè)，共56頁(yè)。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例9試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。第三十二頁(yè)32第三十三頁(yè)，共56頁(yè)。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例10平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于定平面。第三十三頁(yè)33第三十四頁(yè)，共56頁(yè)。例11試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。n

nXO第三十四頁(yè)34第三十五頁(yè)，共56頁(yè)。平面的法線與平面的最大斜度線對(duì)同一投影面的夾角互為補(bǔ)角HPAKFDCBEf

分析第三十五頁(yè)35第三十六頁(yè)，共56頁(yè)。直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作圖過程第三十六頁(yè)36第三十七頁(yè)，共56頁(yè)。3.3.2兩平面垂直幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB第三十七頁(yè)37第三十八頁(yè)，共56頁(yè)。反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB第三十八頁(yè)38第三十九頁(yè)，共56頁(yè)。g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例12平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作已知平面的垂面第三十九頁(yè)39第四十頁(yè)，共56頁(yè)。g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d結(jié)論：兩平面不平行。XO例13試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。第四十頁(yè)40第四十一頁(yè)，共56頁(yè)。3.4綜合問題分析及解法3.4.1空間幾何元素定位問題3.4.2空間幾何元素度量問題第四十一頁(yè)41第四十二頁(yè)，共56頁(yè)。平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個(gè)單個(gè)問題的投影特性、作圖原理與方法。而實(shí)際問題是綜合性的，涉及多項(xiàng)內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。求解綜合問題主要包括：空間幾何元素的定位問題（交點(diǎn)、交線）和空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意2.明確所求結(jié)果，找出解題方法3.擬定解題步驟第四十二頁(yè)42第四十三頁(yè)，共56頁(yè)。例14已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與CD平行，并且與EF、GH均相交。c

g

h

e

f

d

cefghdXO3.4.1空間幾何元素定位問題第四十三頁(yè)43第四十四頁(yè)，共56頁(yè)。分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF第四十四頁(yè)44第四十五頁(yè)，共56頁(yè)。作圖過程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

第四十五頁(yè)45第四十六頁(yè)，共56頁(yè)。例15試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。a

efaf

e

XO第四十六頁(yè)46第四十七頁(yè)，共56頁(yè)。分析EQFAK過已知點(diǎn)A作平面與已知直線EF交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。第四十七頁(yè)47第四十八頁(yè)，共56頁(yè)。作圖過程2

1a

efaf

e

1

22

PVa

efaf

e

1

k

k21第四十八頁(yè)48第四十九頁(yè)，共56頁(yè)。例16求點(diǎn)C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO第四十九頁(yè)49第五十頁(yè)，共56頁(yè)。分析PABCK過C點(diǎn)作直線AB的垂線CK一定在過C點(diǎn)并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點(diǎn)作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點(diǎn)K，最后求出垂線CK的實(shí)長(zhǎng)即為所求。第五十頁(yè)50第五十一頁(yè)，共56頁(yè)。作圖過程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離第五十一頁(yè)51第五十二頁(yè)，共56頁(yè)。例17求交叉直線AB和CD的公垂線。cc

a

b

abXOdd

3.4.1空間幾何元素度量問題第五十二頁(yè)