第三節(jié)-格林公式及其應(yīng)用1課件

區(qū)域連通性的分類:設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD區(qū)域連通性的分類:設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲1邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊2區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)定理1.

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或一、格林公式區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(3證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是Y-4即同理可證①②①、②兩式相加得:即同理可證①②①、②兩式相加得:52)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖3)若D為復(fù)連通區(qū)域，這時(shí)可用光滑曲線將D分成若干個(gè)單連通區(qū)域從而變成(2)的情形.見P203—圖11--112)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個(gè)6GDFCEAB由(2)知GDFCEAB由(2)知7推論:

正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積例1.

圓所圍面積二、簡(jiǎn)單應(yīng)用:類例見P204—例11.計(jì)算平面面積:推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積例1.圓所圍面82.簡(jiǎn)化曲線積分:2.簡(jiǎn)化曲線積分:9xyoLAB

xyoLAB10例4.

計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:

令,則由格林公式,有3.簡(jiǎn)化二重積分:例4.計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),11解法一:方向是順時(shí)針方向。例5.計(jì)算其中L是圓周0yx解法一:方向是順時(shí)針方向。例5.計(jì)算其中L是圓周0yx12解法二:

利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算解法二:利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算13解法三：利用格林公式計(jì)算解法三：利用格林公式計(jì)算14例6.

計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知例6.計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.15在D內(nèi)作圓周取逆時(shí)針方向,,對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記L和lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)榱止?得在D內(nèi)作圓周取逆時(shí)針方向,,對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記L和lˉ161.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲