基本不等式 講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

基本不等式講義考點(diǎn)梳理1、兩個(gè)不等式重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）.常見(jiàn)變形公式：、基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.常見(jiàn)變形公式：；2、由基本公式引申出常用結(jié)論①（同號(hào)）；②（異號(hào)）；③或3、利用基本不等式求最值（1）在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正二定三取等.①一正：各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.（2）積定和最小，和定積最大①設(shè)x,y為正實(shí)數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值，且這個(gè)值為eq\f(s2,4).②設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當(dāng)x=y時(shí)，和x＋y有最小值,且這個(gè)值為2eq\r(p).經(jīng)典例題講解考點(diǎn)一：對(duì)基本不等式的理解例1.（2022秋·北京·高一豐臺(tái)第十二中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的最小值是C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤，故選：C變式練習(xí)：1.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列不等式中等號(hào)可以取到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故A不符合；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故B不符合；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C符合；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故D不符合.故選：C.2.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：．3.（2022秋·廣東江門·高一新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．若，則的最小值是C．當(dāng)時(shí)，D．的最小值是【答案】BC【解析】若，則，顯然不滿足，A錯(cuò)誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值是，B正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值是，C正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，顯然無(wú)解，故取不到最小值，D錯(cuò)誤.故選：BC.4.（2022秋·湖北十堰·高一鄖陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）下列推導(dǎo)過(guò)程，其中正確的是（）A．因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以B．因?yàn)?，所以C．因?yàn)?，所以D．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立【答案】ABD【解析】對(duì)于A，為正實(shí)數(shù)，有，且，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，滿足均值不等式的條件，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，且，顯然不存在大于3的正數(shù)a使成立，所以，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，不符合均值不等式成立的條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，且，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，滿足均值不等式的條件，D正確.故選：ABD考點(diǎn)二：由基本不等式證明不等式例1.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）若a>0,b>0，則下列不等式中不成立的是（

）A．a(chǎn)2+bC．a(chǎn)2+b【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式化簡(jiǎn)判斷即可.【詳解】因?yàn)閍?b2≥0，顯然有而a>0,b>0，所以a+b≥2ab又a2+b不妨令a=2,b=1,則1a故選：D.變式練習(xí)：1.（2022秋·湖南張家界·高一張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，因此，故選：D2.（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）若，則（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】對(duì)A、B：∵，則，∴，即，，A、B正確；對(duì)C∵，例如，則，顯然不滿足，C錯(cuò)誤；對(duì)D：∵，則，∴，D正確.故選：ABD.3.（2022秋·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，故A一定成立由做差比較法,，可知成立故B一定成立．因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以不一定成立，故C不成立．因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D一定成立.故選：ABD4.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（多選）設(shè)，是正實(shí)數(shù)，則下列各式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A：，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A成立；對(duì)于B：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B成立；對(duì)于C：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C成立；對(duì)于D：，，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．考點(diǎn)三：利用基本不等式秋最值例1.（直接應(yīng)用基本不等式）（2023春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】由題意得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：B例2.（配湊法）（2022秋?龍崗區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵x＞0，∴x+1＞1，，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，故選：D．例3.（拆分法）（2023春·廣東·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（）A．6B．7C．11D．12【答案】C【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：C例4.（活用單位“1”）（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的最小值為（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.例5.（構(gòu)成解不等式法）已知，，且；則下列結(jié)論正確的是（

）A．xy的最小值是1 B．的最小值是2C．的最小值是8 D．的最大值是【答案】B【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，又，，故，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故xy的最大值是1，A錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，又，，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值是2，B正確；由，，，可得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)等號(hào)成立，故，C錯(cuò)誤；同上，，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)等號(hào)成立，故，D錯(cuò)誤；變式練習(xí)：1.（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎猘>0,b>0，若2a+b=4，則ab的最大值為．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)閍,b>0，所以2a+b=4≥22a?b，解得ab≤2當(dāng)且僅當(dāng)2a=b即a=1，b=2時(shí)，等號(hào)成立．所以ab的最大值為2.故答案為：22.（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谥校┮阎獂>1，則x+4x?1的最小值是【答案】5【分析】由配湊法結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】∵x>1,∴x?1>0,∴x+4當(dāng)且僅當(dāng)x?1=4x?1，即x=3(?1舍去）時(shí)取等號(hào)，x+4故答案為：5.3．（2023春·廣東廣州·高一?？计谥校┤鬭>0，b>0，ab=4a+b+12，則ab的取值范圍是.【答案】ab≥36【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于ab的不等式，即可解得ab的取值范圍.【詳解】因?yàn)閍>0，b>0，由基本不等式可得ab=4a+b+12≥24ab即ab?4ab?12≥0，解得ab≥6當(dāng)且僅當(dāng)b=4aab=36時(shí)，即當(dāng)a=3故ab的取值范圍是ab≥36.故答案為：ab≥36.4．（2023·新疆喀什·高一校聯(lián)考期末）若x>0,y>0，且x+2y=5，則9x+2【答案】5【分析】根據(jù)題意可得x5【詳解】因?yàn)閤>0,y>0，且x+2y=5，則x5可得9x當(dāng)且僅當(dāng)18y5x=2x所以9x故答案為：5.5．（多選）（江西省贛州市2023年期末考試數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)a,b∈R+，且2a+b=1，則下列結(jié)論正確的是（A．a(chǎn)b的最小值為18 B．a(chǎn)2C．1a+1b的最小值為6【答案】BD【分析】利用基本不等式求最值可判斷A；配方法求最值可判斷B；應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值可判斷C；常量分類再利用a的范圍可判斷D.【詳解】對(duì)于A：a,b∈R+，由2a+b=1≥22ab，則ab≤對(duì)于B：因?yàn)閍,b∈R+，2a+b=1，所以由a2+b2=a2對(duì)于C：由1a當(dāng)且僅當(dāng)ba=2ab即對(duì)于D：由b?1a?1=?2aa?1=?2??2<1a?1<?1故選：BD.6．（多選）（2023春·河北承德·高二統(tǒng)考期末）已知a>0,b>0，且2a+b=2，則（

）A．a(chǎn)b的最小值是12B．1C．1a2+4b2【答案】BC【分析】利用基本不等式根據(jù)2a+b=2可得22ab≤2，即可求解選項(xiàng)A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解選項(xiàng)B；利用基本不等式可得1a【詳解】因?yàn)閍>0,b>0，且2a+b=2，所以22ab所以ab≤12，當(dāng)且僅當(dāng)由題意可得1a當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=1時(shí)，等號(hào)成立，則B正確；因?yàn)閍b≤12，所以1a由題意可得2a+1b+1ab=因?yàn)?a+b=2，所以不存在a,b，使得2ab=3,2a+b=2,故選:BC.7．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎猘>0,b>0，若2a+b=4，則ab的最大值為．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)閍,b>0，所以2a+b=4≥22a?b，解得ab≤2當(dāng)且僅當(dāng)2a=b即a=1，b=2時(shí)，等號(hào)成立．所以ab的最大值為2.故答案為：2鞏固訓(xùn)練1.（2021秋·河南南陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（）A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項(xiàng)均為正數(shù)，所以不等式成立的前提條件為，即.故選：B.2.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）①

②的最小值為16

③的最小值為9

④的最小值為3A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】①由判斷；②利用基本不等式求解判斷；為，③結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式求解判斷；④轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求解判斷.【詳解】①因?yàn)椋遥?，則，故正確；②因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；③因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；④因?yàn)椋?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；故選：D3.已知正數(shù)a，b滿足，則最小值為（

）A．25 B． C．26 D．19【答案】A【分析】先進(jìn)行化簡(jiǎn)得，再利用乘“1”法即可得到答案.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，聯(lián)立，即時(shí)等號(hào)成立，故選：A.4.已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用“1”的代換求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故選：C5.已知，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后展開(kāi)利用基本不等式求解．【詳解】，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9．故選：A．6.（2023秋·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知，則使得取得最小值時(shí)x的值為（）A．1B．2C．±1D．±2【答案】C【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：C.7.（2023春·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．的最小值為4B．的最大值為C．的最小值為2D．的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：ABD．8.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若對(duì)，，有恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：D．9.（2022秋·云南曲靖·高一會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的最大值為.【答案】9【解析】?jī)蓚€(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為9.故答案為：910.（2022秋·江蘇徐州·高一徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若對(duì)任意，，不等式恒成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】，，不等式恒成立，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，即故答案為：11.（多選）（2022秋·河北保定·高一?？计谥校┰O(shè)a>0，b>0，給出下列不等式恒成立的是（

）A．a(chǎn)2+1>a C．(a+b)1a+【答案】ACD【分析】由基本不等式及不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】a>0，b>0，則a2a=1,b=2時(shí)，a+b=3，2ab=4，a+b<2ab，B不恒成立，(a+b)(1a+1b(a+1a)(b+故選：ACD．12.（多選）（2022秋·河北石家莊·高一石家莊市第十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）A．若a,b∈R，則ba+abC．x2+1x2【答案】CD【分析】根據(jù)基本不等式判斷各選項(xiàng).【詳解】A