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文檔簡(jiǎn)介
2021年北京市房山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題(共io小題).
1.已知全集U={1,2,3,4},集合A=[xez](x-1)(x-3)WO},B={2,3},則Cu
(4UB)=()
A.{3}B.{4}C.{3,4}D.{1,3,4}
2.若復(fù)數(shù)z=(N+X-2)+(x-1)i(i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為()
A.1B.2C.-2D.1或-2
TT
3.在△ABC中,BC=6,A=—,sinB=2sinC,則△ABC的面積為()
3
A.6MB.6C.9yD.4&
4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是()
俯視圖
A.6B.10+273C.10+2旄D.16+2娓
5.某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(萬元)與機(jī)
器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間年數(shù),reN*)的關(guān)系為s=-祥+23L64.要使年平均利潤(rùn)最大.則每臺(tái)機(jī)
器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)/為()
A.5B.6C.7D.8
6.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),把角a的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)TT勺得到角B的終
邊,則tanp等于()
A.工B.—C.mD.—
3344
2
7.設(shè)Q,B是雙曲線C:&--產(chǎn)=1的兩個(gè)焦點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,
且|OP|=|OFi|,則△PF1F2的面積為()
53
A.—B.2C.—D.1
22
8.20世紀(jì)30年代,里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用地震儀衡量地
震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大,這就是我們常說
的里氏震級(jí)”,其計(jì)算公式為例=/gA-/gAo,其中A是被測(cè)地震的最大振幅,4是標(biāo)準(zhǔn)
地震的振幅.2008年5月12S,我國四川汶川發(fā)生了地震,速報(bào)震級(jí)為里氏7.8級(jí),修訂
后的震級(jí)為里氏80級(jí),則修訂后的震級(jí)與速報(bào)震級(jí)的最大振幅之比為()
A.1002B.10°2C.Ig—D.—
3939
lnx,x>0
9.“a<0”是“函數(shù)/(x)=〈,有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的()
-2x+a,x<0
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
10.為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年,某校舉行了以“重溫時(shí)代經(jīng)典,唱響回聲噴亮”為
主題的“紅歌”歌詠比賽.該校高三年級(jí)有1,2,3,4四個(gè)班參加了比賽,其中有兩個(gè)
班獲獎(jiǎng).比賽結(jié)果揭曉之前,甲同學(xué)說:“兩個(gè)獲獎(jiǎng)班級(jí)在2班、3班、4班中”,乙同
學(xué)說:“2班沒有獲獎(jiǎng),3班獲獎(jiǎng)了",丙同學(xué)說:“1班,4班中有且只有一個(gè)班獲獎(jiǎng)”,
丁同學(xué)說:“乙說得對(duì)”.已知這四人中有且只有兩人的說法是正確的,則這兩人是()
A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.
11.函數(shù)y=sin2xcos2x的最小正周期是.
12.若三個(gè)點(diǎn)M(3,2加),M(2,2?),Q(3,-2五)中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線/
=2px上,則該拋物線的方程為.
13.已知(l+2x)"的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則各項(xiàng)系數(shù)之和為.
14.已知單位向量Z,E的夾角為60。,之-火石與石垂直,則憶=.
15.設(shè)過定點(diǎn)M的直線/i:x+my-3"?-1=0與過定點(diǎn)N的直線/2:-y-3"?+1
=0相交于點(diǎn)P,線段AB是圓C:(x+1)2+(y+1)2=4的一條動(dòng)弦.且|AB|=2&.給
出下列四個(gè)結(jié)論:
①一定垂直,2;
②IPM+IPNI的最大值為4;
③點(diǎn)P的軌跡方程為(X-2)2+(y-2)2=1;
④I市+而I的最小值為4&.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.
三、解答題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
16.如圖,在四棱錐中,底面A8CQ是矩形,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),PA_L平面ABCD,
AB=2,AD=2&,PA=2.
(I)求證:CD±PD;
(II)求異面直線8C與AE所成角的大小.
17.已知數(shù)列{斯}是一個(gè)公比為夕S>0,產(chǎn)1)的等比數(shù)列,G=1,,是數(shù)列{”“}的前〃
項(xiàng)和,再從條件①、②、③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,解答下列問題:
(I)求數(shù)列{斯}的通項(xiàng)公式;
(n)令d=210g2%-7,求數(shù)列{仇)的前n項(xiàng)和G的最小值.
條件①:4G,3B,2〃4成等差數(shù)列;
條件②:Sn—2an-1;
條件③:53=7.
18.為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì),某地區(qū)開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活動(dòng).活動(dòng)結(jié)束后,
利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,抽取了部分學(xué)生的成績(jī),按照不同年齡段分組記錄如表:
組別男生女生
合格不合格合格不合格
第一組90108020
第二組88127228
第三組60405842
第四組80206238
第五組82187822
合計(jì)400100350150
假設(shè)每個(gè)中小學(xué)生跳繩成績(jī)是否合格相互獨(dú)立.
(1)從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人,求該同學(xué)跳繩成績(jī)合格的概率;
(II)從該地區(qū)眾多小學(xué)的男生、女生中各隨機(jī)抽取1人,記這2人中恰有X人跳繩成
績(jī)合格,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(III)假設(shè)該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績(jī)合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績(jī)合格
的頻率相等,用“&=1”表示第左組同學(xué)跳繩成績(jī)合格,"*=0”表示第左組同學(xué)跳繩
成績(jī)不合格(%=1,2,3,4,5),試確定方差。日,仇2,。奉,仇4,中哪個(gè)最大?
哪個(gè)最???(只需寫出結(jié)論)
19.已知函數(shù)=e'cosx,g(x)=ax.
(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;
jrjr
(II)設(shè)尸(x)—g(x)-f(x),當(dāng)a^O時(shí),求函數(shù)F(無)在區(qū)間[——,——J上的最
42
大值和最小值;
JTJT
(III)當(dāng)x曰今,時(shí),試寫出一個(gè)實(shí)數(shù)。的值,使得y=/(x)的圖象在y=g(x)
42
的圖象下方.(不需要說明理由)
20.已知橢圓C:三,1=1(a>h>0)的離心率為《,。為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的右
a,b?2
焦點(diǎn),A為橢圓C上一點(diǎn),且Adx軸,
(I)求橢圓C的方程;
xnxyny
(II)過橢圓C上一點(diǎn)P(xo,yo)(yoWO)的直線/:多--^=1與直線AF相交
|MF
于點(diǎn)M,與直線x=4相交于點(diǎn)N.證明:為定值.
INF
21.已知數(shù)集A={ai,az,。3,…,an}(1WaiVa2Va3V…V斯,nGN*).如果對(duì)
任意的i,j(1WiW/W〃且i,j,z?GN*),的勾與一?兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A,則稱數(shù)集
%
A具有性質(zhì)P.
(I)分別判斷數(shù)集{2,3,6},{1,3,4,12}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(II)設(shè)數(shù)集A={ai,az,。3,…,an](1WaiVa2Va3V…V?!?心2,neN*)具有性
質(zhì)p.
①若“N*(&=1,2,3,…),證明:對(duì)任意(i,"6N*)都有防是斯的因數(shù);
22
②證明:a^—a^^ar'ai-...an.
參考答案
一、選擇題共10小題,每小題4分,共4()分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題
目要求的一項(xiàng)。
1.已知全集U=n,2,3,4),集合A={xeZ|(X-1)(X-3)WO},B={2,3},則Cu
(4UB)=()
A.{3}B.{4}C.{3,4}D.{1,3,4}
解:*/U={1,2,3,4},A={X€Z|1WXW3}={1,2,3},B={2,3},
2,3},Cu(AUB)={4}.
故選:B.
2.若復(fù)數(shù)z=(x2+x-2)+(x-1)/(/為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為()
A.1B.2C.-2D.1或-2
解:因?yàn)閦=(x2+x-2)+(x-1)i(i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),
f
所以卜9+x-2=0,
,x-17^0
解得x=-2.
故選:C.
TT
3.在△ABC中,BC=6,A=—,sinB=2sinC,則△ABC的面積為()
3
A.673B.6C.9yD.4&
TT
解:VsinB=2sinC,A=,
3
.?.sin8=sin(-C)=sin(-+C)=^^cosC+工inC=2sinC,
3322
解得:tanC=1,故C=3,
36
JT
又BC=6,.*.AB=2A/3,
.?.S"8C="1?AB?BC=6“,
故選:A.
4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是()
俯視圖
A.6B.I0+2A/3C.10+2旄D.16+2娓
解:該幾何體是一個(gè)直四棱柱,底面為直角梯形,斜腰長(zhǎng)為{(2-])2+22二遙,底面周
長(zhǎng)為2+2+1+后=5+\后,
該直四棱柱的側(cè)面積為2X(5+75)=10+275-底面積為(2+&X2=3,
因此,該幾何體的表面積為10+2&+2X3=16+2泥.
故選:D.
5.某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)s(萬元)與機(jī)
器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間,(年數(shù),/€N*)的關(guān)系為s=-P+23/-64.要使年平均利潤(rùn)最大.則每臺(tái)機(jī)
器運(yùn)轉(zhuǎn)的年數(shù)£為()
A.5B.6C.7D.8
2
解:由已知可得年平均利潤(rùn)為z=.=-t+32t-64一旭(z>0),
tt弋t3
所以Z=-(f+等)+23<聞?dòng)囂?hào)+23=-16+23=7,
當(dāng)且僅當(dāng)呼=t,即r=8時(shí)取等號(hào),
此時(shí)年平均利潤(rùn)的最大值為7,
故選:D.
6.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),把角a的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)萬得到角0的終
邊,則tan(3等于()
解:因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),
,4
則tana=1,
ir兀
把角a的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)下得到角p的終邊,則p=a+—,
JCO
所以tanp=tan(a+-^-)=-cota=-
故選:C.
2
7.設(shè)Q,B是雙曲線C產(chǎn)=1的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,
3
且QP|=QFi|,則△PFiB的面積為()
53
A.—B.2C.—D.1
22
解:由題意可得b=i,c=2,
???歷尸2l=2c=4,
?:\OP\=\OFI\,
:.\OP\=^\FIF2\,
.?.△P自尸2為直角三角形,
PF}±PF1,
...|PFi|2+|P尸2|2=4Q=16,
?.?||PF||-m\=2a=2y/3'
.?.|P尸IF+|PB|2-2|尸尸1|?|尸局=12,
...|PFI|?|PB|=2,
:.△PF1F2的面積為S3吶?%|=1,
故選:D.
8.20世紀(jì)30年代,里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用地震儀衡量地
震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大,這就是我們常說
的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為M=lgA-lgA0,其中A是被測(cè)地震的最大振幅,4。是標(biāo)準(zhǔn)
地震的振幅.2008年5月120,我國四川汶川發(fā)生了地震,速報(bào)震級(jí)為里氏7.8級(jí),修訂
后的震級(jí)為里氏8.0級(jí),則修訂后的震級(jí)與速報(bào)震級(jí)的最大振幅之比為()
A.10aB.IO02C.lg—D.—
3939
AA
解:由-/gAo可得知=/夕+,即丁=10%A=Ao?lO".
A0A0
當(dāng)M=8時(shí),地震的最大振幅為4=AO?1()8,
當(dāng)M=7.8時(shí),地震的最大振幅為A2=AO?1O7$,
A.An-108
所以,兩次地震的最大振幅之比是==108-7.8=]00.2.
A78
2AO-1O-
故選:B.
lnx,x>0
9.“aWO”是“函數(shù)/(x)=4,有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的()
-2x+a,x<0
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解:當(dāng)x>0時(shí),令=0,貝IJ阮t=0,.,.x=l,
.?.當(dāng)x>0時(shí),/(x)有一個(gè)零點(diǎn)為1,
?.?函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),
??.當(dāng)xWO時(shí),/(x)=-2*+。無零點(diǎn),即或。<2*,
:當(dāng)xWO時(shí);2^6(0,1],.,.”>1或aWO,
.,.“W0是函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件,
故選:A.
10.為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年,某校舉行了以“重溫時(shí)代經(jīng)典,唱響回聲噴亮”為
主題的“紅歌”歌詠比賽.該校高三年級(jí)有1,2,3,4四個(gè)班參加了比賽,其中有兩個(gè)
班獲獎(jiǎng).比賽結(jié)果揭曉之前,甲同學(xué)說:“兩個(gè)獲獎(jiǎng)班級(jí)在2班、3班、4班中”,乙同
學(xué)說:“2班沒有獲獎(jiǎng),3班獲獎(jiǎng)了",丙同學(xué)說:“1班,4班中有且只有一個(gè)班獲獎(jiǎng)”,
丁同學(xué)說:“乙說得對(duì)”.已知這四人中有且只有兩人的說法是正確的,則這兩人是()
A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙
解:假設(shè)乙的說法是正確的,則丁也是正確的,那么甲,丙的說法都是錯(cuò)誤的,
由丙的說法錯(cuò)誤可知,1班,4班都獲獎(jiǎng)或1班,4班都沒有獲獎(jiǎng),與乙的說法正確矛盾,
所以乙的說法是錯(cuò)誤的,則丁也是錯(cuò)誤的,所以2班獲獎(jiǎng),3班沒獲獎(jiǎng),
進(jìn)而推斷出I班,4班中有且只有一個(gè)班獲獎(jiǎng),所以丙的說法正確,
要使甲的說法也正確,則獲獎(jiǎng)的班級(jí)為2班,4班,
故選:B.
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.
JT
11.函數(shù)y=sin2xcos2x的最小正周期是——
解:函數(shù)y=sin2xcos2x=/sin4x,
9JT兀
A?^ky=sin2xcos2x的最小正周期是-=丁.
42
7T
故答案為:—
12.若三個(gè)點(diǎn)M(3,2加),M(2,2小§),Q(3,-2娓)中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線/
=2px上,則該拋物線的方程為丫2=8》.
解:因?yàn)閽佄锞€C:尸=23關(guān)于x軸對(duì)稱,
M(3,2、后),M(2,2、行),Q(3,-2灰)兩點(diǎn)在C上,只能是M、。兩點(diǎn),
代入坐標(biāo)易得p=4,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.
故答案為:y2—8x.
13.已知(l+2x)"的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則各項(xiàng)系數(shù)之和為243.
解:;(l+2x)"的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=32,...“=5,
再令x=l,可得各項(xiàng)系數(shù)之和為3"=35=243,
故答案為:243.
14.已知單位向量諭夾角為6。。,/砧讒直’則I1?
解:?.?兩個(gè)單位向量二E的夾角為6。°,之-女衛(wèi)與芯垂直,
??(a-kb)*b=a珞?
=1x1xcos600-k義1=0,
解得k=±.
故答案為:
15.設(shè)次ER,過定點(diǎn)M的直線/i:-31=0與過定點(diǎn)N的直線/2:iwc-y-3/n+l
=0相交于點(diǎn)尸,線段AB是圓C:(x+1)2+(>1)2=4的一條動(dòng)弦.且|AB|=2頁.給
出下列四個(gè)結(jié)論:
①4一定垂直,2;
②IPM+IPNI的最大值為4;
③點(diǎn)P的軌跡方程為(X-2)2+(y-2)2=1;
④I蘇+麗I的最小值為4&.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②.
解:直線/i:x+〃?y-3〃?-1=0與,2:-y-3,*+1=0垂直,滿足1?,*+/??(-1)=0,
所以①正確;
/2過定點(diǎn)/(3,1),/i過定點(diǎn)N(1,3),
在中,設(shè)NPMN=6,
JT
貝U|PM|+|PN|=2點(diǎn)cos8+2亞sin8=4sin(8+~“)<4,所以②正確;
I±1PM-PN=O>可得點(diǎn)尸軌跡方程為(x-2)2+(y-2)2=2(x=3).所以③不正確;
作貝UCD=&,
.,.點(diǎn)。軌跡方程為(x+1)2+(>+1)2=2.
v|PA+PBl=2|PDI-|而|的最小值為加,
,1m+而I的最小值為2丁5,所以④不正確.
故答案為:①②.
三、解答題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
16.如圖,在四棱錐尸-48CO中,底面A8C。是矩形,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),PAL平面ABCD,
AB=2,AD=2近,PA=2.
(I)求證:CDLPD;
(II)求異面直線8c與AE所成角的大小.
解:(I)證明:;在四棱錐P-ABC。中,底面A8CZ)是矩形,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),
PA_L平面ABC。,
:.CD±AD,CD1PA,
?:PAP\AD=A,PA,AQu平面PA。,
,CDJ_平面PAD,
?.?POu平面PAO,:.CDLPD;
(II)以4為原點(diǎn),AB為x軸,4。為),軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(2,0,0),C(2,2近,0),A(0,0,0),P(0,0,2),E(1,料,1),
BC=(。,2&,0),AE=(1,版,1),
設(shè)異面直線BC與AE所成角為0,
辰?瓦|_4_如
則COS0
|BC!?|AEI2&2
TT
...異面直線BC與AE所成角為一1.
4
17.已知數(shù)列{%}是一個(gè)公比為q(q>0,qWl)的等比數(shù)列,671=1.S”是數(shù)列{分}的前"
項(xiàng)和,再從條件①、②、③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,解答下列問題:
(I)求數(shù)列{斯}的通項(xiàng)公式;
(II)令瓦=21og2。"-7,求數(shù)列{d}的前n項(xiàng)和T"的最小值.
條件①:4a2,3a3,2a4成等差數(shù)列;
條件②:S.=2斯-1;
條件③:53=7.
解:(I)選條件①,設(shè)數(shù)列的公比為q,由于4a2,3a3,2a4成等差數(shù)列;
a1=l
所以4,整理得6爐=4q+2g3,
6a3=4a2+2a4
解得q=2或1(舍去),
所以an=aiqnT=2n1
選條件②:Sn=2an-10;
當(dāng)〃=1時(shí),?1=1,
當(dāng)”22時(shí),5“一1=2?!耙?-1②
所以①-②得:a?-2an-\,
故數(shù)列{%}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
所以an=aiqnT=2nT,(首項(xiàng)符合通項(xiàng)),
所以an=2kl
選條件③:5.3=7.
al=1
a1=1
所以4,整理得1ai(1-q3)
S=7
3S=7
l-q
解得4=2,
所以an=2kl
(II)令bn—2log2On-7=2(?-1)-7=2〃-9,
n(-7+2n~~9)2
所以Tn=bi+b2+...+b?=-n(n-8)=(〃-4)-16,
2
當(dāng)〃=4時(shí),最小值為-16.
18.為了提高中小學(xué)生的身體素質(zhì),某地區(qū)開展了中小學(xué)生跳繩比賽系列活動(dòng).活動(dòng)結(jié)束后,
利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,抽取了部分學(xué)生的成績(jī),按照不同年齡段分組記錄如表:
組別男生女生
合格不合格合格不合格
第一組90108020
第二組88127228
第三組60405842
第四組80206238
第五組82187822
合計(jì)400100350150
假設(shè)每個(gè)中小學(xué)生跳繩成績(jī)是否合格相互獨(dú)立.
(I)從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人,求該同學(xué)跳繩成績(jī)合格的概率;
(II)從該地區(qū)眾多小學(xué)的男生、女生中各隨機(jī)抽取1人,記這2人中恰有X人跳繩成
績(jī)合格,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(III)假設(shè)該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績(jī)合格的概率與表格中該地區(qū)中小學(xué)生跳繩成績(jī)合格
的頻率相等,用“&=1”表示第火組同學(xué)跳繩成績(jī)合格,"&=0”表示第后組同學(xué)跳繩
成績(jī)不合格(k=l,2,3,4,5),試確定方差。日,比2,a3,中哪個(gè)最大?
哪個(gè)最?。?只需寫出結(jié)論)
解:(I)設(shè)事件A為“從樣本中的中小學(xué)生隨機(jī)抽取1人,該同學(xué)跳繩成績(jī)合格”,
樣本中男生跳繩成績(jī)合格的有:90+88+60+80+82=400人,
樣本中女生跳繩成績(jī)合格的有:80+72+58+62+78=350人,
樣本中男、女跳繩成績(jī)合格的共有:400+350=750人,
樣本中的男生總?cè)藬?shù)為:400+100=500人,
樣本中男、女生總?cè)藬?shù)為:500+500=1000,
所以P(A)_400+350_3
―500+50。—W
(II)設(shè)事件B為“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的男生中隨機(jī)抽取1人,該生跳繩成績(jī)合格”,
則P⑷=黑=4,
5005
設(shè)事件C為“從該地區(qū)眾多中小學(xué)的女生中隨機(jī)抽取1人,該生跳繩成績(jī)合格”,P(C)
_350二7
―500=10'
由題意可知,X的可能取值為0,1,2,
則p(x=0)=P(BC)=P(B)P(C)=(1-4)X(l--^-)=X
D1UDU
P(X=1)=P(BCUBC)=P(B)P(C)UP(B)P(C)=(1^)X-^--4X(『《)=
D1UDiU
19
而‘
P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)^4-X-7*-=-1^4,
oluZb
所以x的分布列為:
X012
p31914
505025
所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0XA+1X-^+2X-^=-1:
5050252
(in)詼最小,。章最大.
19.已知函數(shù)/(x)=evcosx,g(x)=ax.
(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(O))處的切線方程;
TTTT
(II)設(shè)F(x)=g(x)-f(x),當(dāng)時(shí),求函數(shù)F(X)在區(qū)間[——,二?。萆系淖?/p>
42
大值和最小值;
K兀
(III)當(dāng)x日丁,-?。輹r(shí),試寫出一個(gè)實(shí)數(shù)。的值,使得y=/(x)的圖象在y=g(x)
42
的圖象下方.(不需要說明理由)
解:(I)(x)=ev(cosx-sinx),k=f(0)=1,
又???/(())=1,
???切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
?,?曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為:y=x+l.
(II)F(x)=ax-e'cosx,
:.F(x)=a-^cosx+e'sinx=(sinx-cosx)
、i/尸「TTTT_兀廠「八TT_nr-xf兀、、八
當(dāng)工€[丁",范一時(shí)'x——€[0,瓦-}此時(shí)如esin(x--j-)
又???心0,:?F又)20,
ITTT
:.F(x)在區(qū)間[勺,上單調(diào)遞增,
42
JT
_萬/兀、_兀az\_□,兀、一兀a、萬~~r~
??F(X)max-F(——)---——,F(xiàn)(X)min—F(一-~)------.、乙4.
22442
JTJT
(III)a=2V2T+1.(寫出。>馬反丁的任意一個(gè)實(shí)數(shù)即可).
兀e兀e
221
20.已知橢圓C:今亮=1(4>b>0)的離心率為《,。為坐標(biāo)原點(diǎn),尸是橢圓C的右
a'b,2
Q
焦點(diǎn),A為橢圓C上一點(diǎn),且AFJ_x軸,
(I)求橢圓C的方程;
xxyy
(II)過橢圓C上一點(diǎn)尸(xo,W)(yo#O)的直線/:浸n-1^n-=1與直線AF相交
|MF
于點(diǎn)M,與直線x=4相交于點(diǎn)N.證明:為定值.
INF
解:(I)設(shè)F(c,0),A(c,yo)>則—+215—=1,
a2b2
又因?yàn)榻?所以|y0|孝b,
因?yàn)閨AF|V,
所以回|=■,解得b=V^,
(2八2工2
…+。卜天
由,—=—,解得b=A^3>
a2
b=V3lc=1
22
所以橢圓方程為“上=1;
43
(II)證明:由(I)知直線/的方程為誓/^1=1(丫0盧°),即
12-3XQX
7-4yo(y0卉0),
因?yàn)橹本€4尸的方程為x=l,
.12-3Xn
所以直線/與AF的交點(diǎn)為M(l,------
4yo
.3-3x0
直線/與直線x=4的交點(diǎn)為N(4,------),
y。
12-3Xn
29
(------9
IMF124yo'(4-Xn)
則」=-------y-----=------------------①
222
|NF|.J』。)216y0+16(l-x0)
y0
22Q2
又尸(xo,yo)是C上一點(diǎn),則x。十y。X
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