2023-2024學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)鄭和外國語學(xué)校九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)鄭和外國語學(xué)校九年級第一學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（共6小題，每小題2分，共12分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．2．數(shù)據(jù)2，5，4，﹣3，﹣1的極差是（）A．6 B．7 C．8 D．93．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正確的是（）A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝34．已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜05．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AE與BG交于點P，則∠APG的度數(shù)為（）A．108° B．112.5° C．120° D．135°6．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，BC＝3．將沿著BC折疊后恰好經(jīng)過點O，則AB的長為（）A．2 B．2 C．4 D．5二、填空題（共10小題，每小題2分，共20分）7．方程x2＝2的解是．8．若x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一個解，則m的值是．9．若一個正方形的外接圓的半徑是3，則這個正方形的邊長是．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其內(nèi)切圓分別與AC、AB、BC相切于點D、E、F，若AE＝4，BE＝6，則CD的長為．11．小王前三次打靶的成績?nèi)鐖D所示，他第四次打靶的成績是a環(huán)，且這四次成績的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，則a＝．12．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝5cm，則該圓錐的母線長l＝12cm，扇形的圓心角θ＝°．13．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D＝度．14．在平面直角坐標系中，一個圓經(jīng)過O（0，0），A（3，9），B（6，0）三點，則該圓的圓心的坐標是．15．如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線，與OA的延長線交于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為．16．如圖，E是⊙O的直徑AB上一點，AB＝10，BE＝2，過點E作弦CD⊥AB，P是上一動點，連接DP，過點A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為．三、解答題17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．解方程：（x+1）2＝5x+5．19．（1）若關(guān)于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，求p的取值范圍；（2）關(guān)于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根B．兩個負根C．一個正根，一個負根D．無實數(shù)根20．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？21．A，B兩家餐飲店規(guī)模相當，國慶假期1～8日的日盈利情況如圖所示．（1）分別求這兩家餐飲店國慶假期的日平均盈利；（2）若A，B兩家餐飲店國慶假期的日盈利的方差分別是s2A和s2B，則s2As2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．22．某市有A、B兩個公園，甲、乙、丙三位同學(xué)隨機選擇其中一個公園游玩．（1）甲去A公園游玩的概率是；（2）求三位同學(xué)恰好在同一個公園游玩的概率．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點A在以BC為直徑的半圓外，請用無刻度的直尺畫出半圓的圓心O（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．24．閱讀下面解方程的途徑．（1）按照圖1途徑，填寫圖2的空格．（2）已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均為常數(shù)），求關(guān)于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m為常數(shù)，k≠0）的解（用含k、m的代數(shù)式表示）．25．如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P．（1）求證∠C＝2∠A；（2）若PC＝2OP，AP＝，則⊙O的半徑長為．26．某企業(yè)今年1月份生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的口罩共70萬個，其中甲種口罩的產(chǎn)量是乙種口罩的2倍，乙種口罩比丙種口罩多10萬個．為了應(yīng)對“新冠”疫情，該企業(yè)決定迅速擴大產(chǎn)能，在接下來的兩個月中，乙種口罩產(chǎn)量的月平均增長率比甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長率小1，丙種口罩產(chǎn)量的月平均增長率是甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長率的2倍．3月份該企業(yè)口罩總產(chǎn)量是690萬個．（1）1月份該企業(yè)分別生產(chǎn)甲、乙、丙三種口罩萬個、萬個、萬個；（2）求甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長率．27．半圓O的直徑AB＝8，C為半圓上一點．（1）若AC＝6，則BC的長是；（2）①如圖①，若D是的中點，且AD＝2，求BC的長；②如圖②，若D、E是的三等分點，且AD＝2，直接寫出BC的長．

參考答案一、選擇題（共6小題，每小題2分，共12分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x﹣2＝0 B．2x2﹣x＝0 C．x2+y＝0 D．【分析】只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，根據(jù)定義判斷即可．解：2x﹣2＝0是一元一次方程，故A不符合題意；2x2﹣2x＝0是一元二次方程，故B符合題意；x2+y＝0是二元二次方程，故C不符合題意；＝2是分式方程，故D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．數(shù)據(jù)2，5，4，﹣3，﹣1的極差是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據(jù)極差的定義即可求得．解：極差為：5﹣（﹣3）＝8．故選：C．【點評】本題考查了極差的知識，極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正確的是（）A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確使用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．解：∵x2﹣2x﹣4＝0∴x2﹣2x＝4∴x2﹣2x+1＝4+1∴（x﹣1）2＝5故選：C．【點評】此題主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．4．已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【分析】A、根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，結(jié)論A正確；B、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝a，結(jié)合a的值不確定，可得出B結(jié)論不一定正確；C、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2＝﹣2，結(jié)論C錯誤；D、由x1?x2＝﹣2，可得出x1、x2異號，結(jié)論D錯誤．綜上即可得出結(jié)論．解：A∵Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，∴x1≠x2，結(jié)論A正確；B、∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，∴x1+x2＝a，∵a的值不確定，∴B結(jié)論不一定正確；C、∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的兩根，∴x1?x2＝﹣2，結(jié)論C錯誤；D、∵x1?x2＝﹣2，∴x1、x2異號，結(jié)論D錯誤．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AE與BG交于點P，則∠APG的度數(shù)為（）A．108° B．112.5° C．120° D．135°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理及正多邊形的性質(zhì)可求解∠PAH，∠HGP，∠AHG，再利用四邊形的內(nèi)角和為360°可計算求解．解：在正八邊形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF，∴∠BAH＝∠AHG＝∠HGF＝∴∠PAH＝∠BAH＝67.5°，∠BGF＝90°，∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°，∵四邊形APGH的內(nèi)角和為360°，∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°﹣135°＝112.5°，故選：B．【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，正多邊形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，BC＝3．將沿著BC折疊后恰好經(jīng)過點O，則AB的長為（）A．2 B．2 C．4 D．5【分析】過點O作OH⊥BC于H．將沿著BC折疊后恰好經(jīng)過點O，推出OH＝OB，推出∠OBH＝30°，再結(jié)合勾股定理求解即可．解：過點O作OH⊥BC于H．∵將沿著BC折疊后恰好經(jīng)過點O，∴OH＝OB，∴∠OBH＝30°，∵OH⊥BC，∴BH＝BC＝，在Rt△OBH中，OH2+BH2＝OB2，∴OB2+＝OB2，∴OB＝（負根已經(jīng)舍棄），∴AB＝2OB＝2，故選：B．【點評】本題考查翻折變換，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．二、填空題（共10小題，每小題2分，共20分）7．方程x2＝2的解是x1＝﹣，x2＝．【分析】利用直接開平方法求解即可．解：x2＝2，x＝±，x1＝﹣，x2＝．故答案為：x1＝﹣，x2＝．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，注意：（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．8．若x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一個解，則m的值是6．【分析】先把x＝2代入方程，可得關(guān)于m的一元一次方程，解即可．解：把x＝2代入方程，得4﹣2m+8＝0，解得m＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是代入．9．若一個正方形的外接圓的半徑是3，則這個正方形的邊長是3．【分析】由正四邊形的中心角為90°，根據(jù)勾股定理可求得正方形的邊長．解：∵正方形ABCD的半徑是3，∴OB＝OC＝3，∠BOC＝＝90°，∴BC＝＝＝3，故答案為：3．【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，勾股定理，熟記正多邊形的邊數(shù)和中心角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其內(nèi)切圓分別與AC、AB、BC相切于點D、E、F，若AE＝4，BE＝6，則CD的長為2．【分析】根據(jù)切線長定理得：AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，再利用勾股定理列方程可得CD的長．解：∵Rt△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、AB、BC相切于點D、E、F，∴AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（4+CD）2+（CD+6）2＝（4+6）2，解得：CD＝﹣12（舍）或2，故答案為：2．【點評】本題考查三角形的內(nèi)切圓，切線長定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．11．小王前三次打靶的成績?nèi)鐖D所示，他第四次打靶的成績是a環(huán)，且這四次成績的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，則a＝8．【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)和題意，由中位數(shù)和眾數(shù)的定義可以得到a的值，本題得以解決．解：由統(tǒng)計圖可知，前三次的中位數(shù)是8，∵第四次打靶的成績是a環(huán)，這四次成績的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，∴a＝8，故答案為：8．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝5cm，則該圓錐的母線長l＝12cm，扇形的圓心角θ＝150°．【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到＝2π?5，然后解關(guān)于θ的方程即可．解：根據(jù)題意得＝2π?5，解得θ＝150．故答案為150．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．13．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D＝100度．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，再根據(jù)∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6分別計算出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，進而可得∠D的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠D＝∠A+∠C＝180°，∵∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，∴∠A＝180°×＝60°，∠C＝180°×＝120°，∠B＝180°×＝80°，∴∠D＝180°﹣80°＝100°，故答案為：100．【點評】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補．14．在平面直角坐標系中，一個圓經(jīng)過O（0，0），A（3，9），B（6，0）三點，則該圓的圓心的坐標是（3，4）．【分析】由題意圓心在線段OB的垂直平分線上，設(shè)圓心O′（3，m），根據(jù)半徑相等構(gòu)建方程求解即可．解：由題意圓心在線段OB的垂直平分線上，設(shè)圓心O′（3，m），則有32+m2＝（9﹣m）2，解得m＝4，∴圓心O′（3，4），故答案為：（3，4）．【點評】本題考查圓周角定理，坐標與圖形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，問題，屬于中考?？碱}型．15．如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線，與OA的延長線交于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為2．【分析】連接OB，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA＝AB，求得∠AOB＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠DBO＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．解：連接OB，∵四邊形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切線，∴∠DBO＝90°，∵OB＝2，∴BD＝OB＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，E是⊙O的直徑AB上一點，AB＝10，BE＝2，過點E作弦CD⊥AB，P是上一動點，連接DP，過點A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為．【分析】先根據(jù)圓周角定理判斷點Q在以AD為直徑的圓上，連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，連接MO并延長交⊙M于Q′，則當Q點運動到Q′時，OQ的值最小，連接OD，再利用勾股定理計算出DE、AD、OM，然后計算OQ′即可．解：∵AQ⊥PD，垂足為Q，∴∠AQD＝90°，∴點Q在以AD為直徑的圓上，連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，連接MO并延長交⊙M于Q′，當Q點運動到Q′時，OQ的值最小，連接OD，在Rt△ODE中，∵OD＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝4，∴MA＝MQ′＝2，在Rt△AOM中，OM＝＝，∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，∴OQ的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理和勾股定理．三、解答題17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本題中，把常數(shù)項2移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣2的一半的平方．解：移項，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，開方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．【點評】本題考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項，把常數(shù)項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．18．解方程：（x+1）2＝5x+5．【分析】利用因式分解法求解可得．解：∵（x+1）2＝5（x+1），∴（x+1）2﹣5（x+1）＝0，則（x+1）（x﹣4）＝0，∴x+1＝0或x﹣4＝0，∴x1＝4，x2＝﹣1．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．19．（1）若關(guān)于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，求p的取值范圍；（2）關(guān)于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個正根B．兩個負根C．一個正根，一個負根D．無實數(shù)根【分析】（1）先把方程（x﹣1）（x﹣2）﹣p＝0化為x2﹣3x+2﹣p＝0，再根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根可得Δ＝9﹣8+4p＞0，解不等式求出p的取值范圍；（2）先把方程（x﹣3）（x+2）＝p2化為x2﹣x﹣6﹣p2＝0，再根據(jù)Δ＝25+4p2＞0可得方程有兩個不相等的實數(shù)根，由﹣6﹣p2＜0即可得出結(jié)論．解：（1）方程（x﹣3）（x﹣2）＝p可化為x2﹣5x+6﹣p＝0，這里a＝1，b＝﹣5，c＝6﹣p，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p）＝25﹣24+4p＞0，∴p＞﹣，即滿足條件的p的取值范圍為p＞﹣；（2）方程（x﹣3）（x+2）＝p2可化為x2﹣x﹣6﹣p2＝0，∴b2﹣4ac＝25+4p2＞0，∴方程有兩不相等的實數(shù)根，設(shè)方程兩根為x1、x2，∵x1?x2＝﹣6﹣p2＜0，∴方程有一個正根，一個負根，故選C．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．20．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？【分析】設(shè)襯衫的單價降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價后的銷量×每件的利潤＝1250，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．解：設(shè)襯衫的單價降了x元．根據(jù)題意，得（20+2x）（40﹣x）＝1250，解得：x1＝x2＝15，答：襯衫的單價降了15元．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．21．A，B兩家餐飲店規(guī)模相當，國慶假期1～8日的日盈利情況如圖所示．（1）分別求這兩家餐飲店國慶假期的日平均盈利；（2）若A，B兩家餐飲店國慶假期的日盈利的方差分別是s2A和s2B，則s2A＜s2B（填“＞”、“＝”、“＜”）．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式進行計算即可得出答案；（2）根據(jù)方差的意義即可得出答案．解：（1）A餐飲店的平均盈利是：＝6.5（萬元），B餐飲店的平均盈利是：＝6.4（萬元）；（2）根據(jù)折線統(tǒng)計圖的波動情況可以看出，s2A＜s2B；故答案為：＜．【點評】本題考查方差的定義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．22．某市有A、B兩個公園，甲、乙、丙三位同學(xué)隨機選擇其中一個公園游玩．（1）甲去A公園游玩的概率是；（2）求三位同學(xué)恰好在同一個公園游玩的概率．【分析】（1）兩個不同的公園，選擇一個恰好為A的概率為；（2）利用列舉方法找出所有的可能情況，再找三位同學(xué)恰好在同一個公園游玩的情況個數(shù)，即可求出所求的概率．解：（1）甲去A公園游玩的概率＝，故答案為：；（2）共有8種可能的結(jié)果：（A，A，A）、（A，A，B）、（A，B，A）、（A，B，B）、（B，A，A）、（B，A，B）、（B，B，A）、（B，B，B）．它們是等可能的，記“三位同學(xué)恰好在同一個公園游玩”為事件A，事件A發(fā)生的可能有2種，∴P（A）＝．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及概率公式，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點A在以BC為直徑的半圓外，請用無刻度的直尺畫出半圓的圓心O（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．【分析】設(shè)AB交⊙O于E，AC交⊙O于F，連接EC，BF，EC交BF于點J，作直線AJ交BC于點O，點O即為所求．解：如圖，點O即為所求．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．24．閱讀下面解方程的途徑．（1）按照圖1途徑，填寫圖2的空格．（2）已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝2（a、b、c均為常數(shù)），求關(guān)于x的方程a（kx+m）2+b（kx+m）+c＝0（k、m為常數(shù)，k≠0）的解（用含k、m的代數(shù)式表示）．【分析】（1）①利用因式分解法求得方程的解；②把x﹣1看作①的x，即可得到x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；③解一元一次方程即可求得方程的解；（2）按照圖1途徑得到kx+m＝1或kx+m＝2，然后解關(guān)于x的一元一次方程即可．解：（1）①x1＝0，x2＝﹣1；②x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1；③x1＝1，x2＝0；（2）由題意得：kx+m＝1或kx+m＝2，解得：x1＝，x2＝．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因式分解法求一元二次方程，根據(jù)題意得出新方程中一元一次方程是解題的關(guān)鍵．25．如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P．（1）求證∠C＝2∠A；（2）若PC＝2OP，AP＝，則⊙O的半徑長為．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBC＝90°，則∠1+∠2＝90°，再利用等量代換證明∠2＝∠4，利用三角形的內(nèi)角和得到∠C+∠2+∠4＝180°，把∠2＝∠4＝∠3＝90°﹣∠A代入得到∠C＝2∠A；（2）先證明CB＝CP，設(shè)OP＝x，則CB＝CP＝2x，利用勾股定理表示出OB＝x，則OA＝x，在Rt△AOP中，利用勾股定理得到（x）2+x2＝（）2，然后解方程求出x，最后計算x即可．【解答】（1）證明：如圖，∵BC為切線，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，即∠1+∠2＝90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠3＝90°，∵OA＝OB，∴∠1＝∠A，又∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∵∠C+∠2+∠4＝180°，即∠C+2∠3＝180°，∴∠C+2（90°﹣∠A）＝180°，∴∠C＝2∠A；（2）解：∵∠2＝∠4，∴CB＝CP，設(shè)OP＝x，則CB＝CP＝2x，在Rt△OBC中，OB＝＝x，∴OA＝x，在Rt△AOP中，（x）2+x2＝（）2，解得x＝，∴OA＝x＝，即⊙O的半徑長為．故答案為．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理．26．某企業(yè)今年1月份生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的口罩共70萬個，其中甲種口罩的產(chǎn)量是乙種口罩的2倍，乙種口罩比丙種口罩多10萬個．為了應(yīng)對“新冠”疫情，該企業(yè)決定迅速擴大產(chǎn)能，在接下來的兩個月中，乙種口罩產(chǎn)量的月平均增長率比甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長率小1，丙種口罩產(chǎn)量的月平均增長率是甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長率的2倍．3月份該企業(yè)口罩總產(chǎn)量是690萬個．（1）1月份該企業(yè)分別生產(chǎn)甲、乙、丙三種口罩40萬個、20萬個、10萬個；（2）求甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長率．【分析】（1）設(shè)1月份該企業(yè)生產(chǎn)丙種口罩x萬個，則生產(chǎn)乙種口罩（x+10）萬個，生產(chǎn)甲種口罩2（x+10）萬個，根據(jù)該企業(yè)今年1月份生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的口罩共70萬個，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲種口罩產(chǎn)量的月平均增長率為m，則乙種口罩產(chǎn)量的月平均增長率為（m﹣1），丙種口罩產(chǎn)量的月平均增長率為2m，根據(jù)該企業(yè)1月份及3月份生產(chǎn)口罩的總數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)1月份該企業(yè)生產(chǎn)丙種口罩x萬個，則生產(chǎn)乙種口罩（x+10）萬個，生產(chǎn)甲種口罩2（x+10）萬個，依題意，得：2（x+10）+（x+10）+x＝70，解得：x＝10，