非線性規(guī)劃-優(yōu)化模型

基于M/M/S排隊論的病床安排模型（獲2009年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽全國二等獎）數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院雷蕾信息科學(xué)與計算學(xué)院黃纓寧信息科學(xué)與計算學(xué)院丁煒杰指導(dǎo)老師：王其如教授摘要就醫(yī)排隊是一種我們非常熟悉的現(xiàn)象。在眼科醫(yī)院的病床安排中，主要從醫(yī)院高效工作和患者滿意度兩方面來考慮安排方法。本文通過確定兩方面的權(quán)重，確立評價標(biāo)準。針對問題二，本文確定了從醫(yī)院和患者兩方面綜合考慮的目標(biāo)函數(shù)，醫(yī)院各種診療規(guī)則的限制下進行線性規(guī)劃，使得目標(biāo)函數(shù)值（背離度）最小，得到問題二的解決方案。用問題一的標(biāo)準評價，確實優(yōu)于醫(yī)院的 FCFS模型。問題三中對每一類病人術(shù)后恢復(fù)時間做統(tǒng)計，由計算機按照概率給出術(shù)后恢復(fù)的時間，運用第二問模型的選擇方式，對近一段時間內(nèi)的出入院人數(shù)作出合理預(yù)測，并根據(jù)M的排序確定患者入院的時間區(qū)間。對于問題四，先確立白內(nèi)障雙眼手術(shù)的方案（調(diào)查支持可以任意不同兩天手術(shù)），按照問題二的算法，先算出周二四做白內(nèi)障手術(shù)的最小 M值及入院前等待時間和術(shù)前等待時間。用計算機模擬出在手術(shù)時間可調(diào)整情況下 M可能的最小值，得到周三五為最佳手術(shù)時間。尤其術(shù)前人均等待時間的優(yōu)化減少使醫(yī)院病床的有效使用率增加。模型改進率達到18.11%。問題五要求確定病床固定分配使人均等待時間最短。病床的分配使整個排隊系統(tǒng)變成了五個M/M/N模型，N為各類病床的數(shù)量。根據(jù)排隊論中M/M/1模型的條件演化得到服務(wù)強度小于1及病床數(shù)固定不變。采取整數(shù)規(guī)劃，在此限制條件下使得平均等待時間最小。從而算出各類病床的分配比例。關(guān)鍵詞：M/M/S模型泊松（Poisson）分布非線性規(guī)劃優(yōu)化模型病人滿意度病床有效利用率問題的重述有某醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部有病床79張。眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。白內(nèi)障手術(shù)較簡單且沒有急癥。目前只在周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準備時間只需1、2天。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，第二天便會安排手術(shù)。其他眼科疾病情況不同，住院后2-3天就可接受手術(shù)，但術(shù)后觀察時間較長。這類疾病手術(shù)時間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。醫(yī)院眼科手術(shù)條件較充分，可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到醫(yī)生的安排問題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS規(guī)則安排住院，但等待病人越來越多。故要優(yōu)化其模型問題一：試分析確定合理的評價指標(biāo)體系，用以評價該問題的病床安排模型的優(yōu)劣。問題二：試就該住院部當(dāng)前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據(jù)已知的第二天擬出院病人數(shù)來確定第二天應(yīng)該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標(biāo)體系做出評價。問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己何時能住院。能否根據(jù)當(dāng)時住院病人及等待住院病人的統(tǒng)計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區(qū)間。問題四：若該住院部周六、周日不安排手術(shù)，請你們重新回答問題二，醫(yī)院的手術(shù)時間安排是否應(yīng)做出相應(yīng)調(diào)整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫(yī)院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。模型條件的假設(shè)假設(shè)如有空床位，優(yōu)先安排外傷病人；設(shè)有一患者當(dāng)天出院，則立即可以安排另外的人入院；設(shè)定做白內(nèi)障手術(shù)的兩天不做其他手術(shù)；假設(shè)除了外傷無其他急癥；白內(nèi)障病人手術(shù)準備時間是1-2天的任意值，不是因人而異，青光眼和視網(wǎng)膜疾病手術(shù)準備時間是2-3天的任意值。三．符號的定義及說明B:各類患者從入院到手術(shù)所花費的平均時間（手術(shù)準備時間）；9i9293：分別為MM2M3的權(quán)值；KiiK2i:分別表示第i個病人在第一階段的等待時間和該病人在術(shù)前住院時間；S:某一天出院的病人數(shù)；

W等待病床的總?cè)藬?shù)；WWWW:分別等待病床的人中白雙、白單、青光眼和視網(wǎng)膜疾病、外傷的人數(shù)；P(i,j):第i類第j號的人；M(i,j):第i類第j號人的MPk：泊松分布中k個病人到達的概率；入i入2入3X4入5入6：分別表示白雙、白單、青光眼、視網(wǎng)膜疾病，外傷以及出院人數(shù)的平均到達率；Pn(t):時間t內(nèi)有n個患者在排隊的概率；pi:各類病床系統(tǒng)的服務(wù)強度；卩i:各類患者的平均服務(wù)率；n1n2n3n4n5:五類病人各應(yīng)該分配的病床數(shù)；D1,D2:選擇兩天做白內(nèi)障手術(shù)的星期數(shù)；x1x2x3x4x5x6a1a2a3a4a5a6: 各種病情的等待人數(shù)及其系數(shù)四.模型的分析及求解問題一：1.確定評價指標(biāo)：從病人和醫(yī)院兩方面對模型進行分析，病人方面以花費時間，住院費用和公平性作為滿意程度的指標(biāo)，醫(yī)院方面以病床利用率和病床有效利用率為作為評價指標(biāo)。同時還有一些客觀條件有可能影響到評價指標(biāo)，如所有病者是否一致對待還是有優(yōu)先考慮?；ㄙM時間是指從門診到出院的時間，費用則根據(jù)入院到出院的時間計算，公平性是根據(jù)是否先門診先入院來進行評判，床位利用率是指住有病人的床位與所有床位的比，有效的床位利用是指床位上所住病人屬于必須住院日期與所住的所有日期的比，如白內(nèi)障術(shù)前準備時間2-3天，術(shù)后恢復(fù)時間3-4天，超過此時間則屬于床位的無效利用，需要避免。將患者就醫(yī)分為三個過程：門診到入院為第一階段，入院到進行手術(shù)為第二階段，手術(shù)完畢到出院為第三階段。得出如下評價指標(biāo)可能的構(gòu)成因素：1.第一階段等待時間花費時間3.患者(滿意度2.1.第一階段等待時