z變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析

石家莊學(xué)院教案本石家莊學(xué)院教案本PAGE９４PAGE９５章節(jié)第八章ｚ變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析1—３節(jié)日期教學(xué)目的理解z變換及其收斂域，掌握典型序列z變換教學(xué)重點典型序列z變換；ｚ變換的收斂域教學(xué)難點z變換的收斂域教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容第八章ｚ變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析8．１引言變換方法的原理可以追溯到1８世紀。棣莫弗(DeMoiｖrｅ）、拉普拉斯(P.Ｓ．Lapａlce）相繼作出過杰出的貢獻。在離散信號與系統(tǒng)的理論中,變換成為一種重要的數(shù)學(xué)工具。它把離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—-差分方程轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)方程，使其求解過程得以簡化。因此，其地位類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換.下面借助抽樣信號的拉氏變換引出其定義。若連續(xù)因果信號經(jīng)均勻沖激抽樣,則抽樣信號為：取拉氏變換：令：或?qū)懽鳎乙话懔顒t:（8－１)上式即為單邊變換.記為:(８-２)８。2z變換定義、典型序列ｚ變換與拉氏變換類似，變換也有單邊和雙邊之分，對于一切只都有定義的序列,定義雙邊變換為:顯然,如果為因果序列，則雙邊和單邊是等同的。上面兩式表明，序列的變換是復(fù)變量的冪級數(shù)(亦稱洛朗級數(shù)）,其系數(shù)是序列值。有些文獻當中也把稱為序列的生成函數(shù)。由于離散時間系統(tǒng)非因果序列也有一定的應(yīng)用范圍，因此在著重介紹單邊變換的同時兼顧雙邊變換分析.下面介紹一些典型序列的變換。圖8-1單位樣值函數(shù)(一）單位樣值函數(shù)圖8-1單位樣值函數(shù)定義為:如圖8－1所示。取變換，得到：圖8-2單位階越序列可見，與連續(xù)系統(tǒng)單位沖激函數(shù)的拉氏變換類似，單位樣值函數(shù)的變換等于1。圖8-2單位階越序列（二)單位階越序列定義為：如圖8－2所示.取變換，得到：若，該幾何級數(shù)收斂，它等于（三)斜變序列圖8-3斜變序列斜變序列為:圖8-3斜變序列如圖8－3所示。取變換,得到：該變換可以用下面的方法間接求得。已知,當時有：將上式兩邊分別對求導(dǎo),得到:兩邊各乘，就可得到斜變序列的變換：同樣，若對上式再對求導(dǎo),可以得到:(四)指數(shù)序列圖8-4單邊指數(shù)序列單邊指數(shù)序列：圖8-4單邊指數(shù)序列如圖8-4。取變換,得到:若滿足：,則可收斂為:若令，當時,則：同樣，對單邊指數(shù)序列變換式兩邊對求導(dǎo),可以求得:(五）正余弦序列單邊余弦序列如圖8－5所示。因為：圖8-5單邊余弦序列圖8-5單邊余弦序列令，則當時，得：同樣,令，則得：將上兩式相加，得：由變換的定義可知:兩序列之和的變換等于各序列變換的和。根據(jù)歐拉公式,從上式可以直接得到余弦序列的變換:同理可得正弦序列變換:以上兩式得收斂域都為：。在指數(shù)序列的變換式中,令，則有:同理:借助歐拉公式,有上面兩式可以得到：上面兩式就是單邊指數(shù)衰減及增幅的余弦、正弦的變換。收斂域為:.一些典型的單邊變換列于附錄五。8。3ｚ變換的收斂域只有當級數(shù)收斂時，變換才有意義.對于任意給定的有界序列,使變換定義式級數(shù)收斂之所有值的集合，稱為變換的收斂域（rｅgioｎｏｆcｏnｖeｒgencｅ，簡寫為RＯC)。對于單邊變換,序列與變換式一一對應(yīng),同時也有唯一的收斂域。而在雙邊變換時，不同的序列在不同的收斂域條件下可能映射為同一個變換式。也即：兩個不同的序列由于收斂域不同,可能對應(yīng)于相同的變換.因此,為了單值的確定變換所對應(yīng)的序列，不僅要給出序列的變換式，而且必須同時說明它的收斂域。在收斂域內(nèi),變換及它的導(dǎo)數(shù)是的連續(xù)函數(shù)，即變換函數(shù)是收斂域內(nèi)每一點上的解析函數(shù)。雙邊變換的表達式滿足收斂的充分條件是絕對可積：上式左邊構(gòu)成正項級數(shù),有兩種方法判定收斂性:比值判定法和根值判定法。若一個正項級數(shù)為,判定其收斂的方法為：比值判定:;根植判定:當時級數(shù)收斂，當時級數(shù)發(fā)散，當時無法判定。利用上述判定方法討論幾類序列的收斂域.(1）有限長序列這類序列只在有限區(qū)間（）內(nèi)有非零的有限值,此時變換為:時,若，則時,若，則;時,若,則.當都大于0時,收斂域包括;當都小于0時，收斂域包括０。當時,收斂域為且，即：;當時，收斂域為，即:；當時，收斂域為，即:。（２）右邊序列這類序列是有始無終的序列，即當時，，此時變換為：由根植判定法，該級數(shù)收斂應(yīng)滿足即：其中，是級數(shù)的收斂半徑?？梢?右邊序列的收斂域是半徑為的圓外部分。若，則收斂域包括，即;若,則收斂域不包括，即。顯然，當時,右邊序列變成因果序列，也就是說，因果序列是右邊序列的一種特殊情況。(3）左邊序列這類序列是無始有終的序列,即當時，,此時變換為：進行變量代換可得：由根植判定法，該級數(shù)收斂應(yīng)滿足即：其中，是級數(shù)的收斂半徑.可見，右邊序列的收斂域是半徑為的圓內(nèi)部分。若,則收斂域不包括，即；若,則收斂域包括，即.（4)雙邊序列一般寫作:該式可以看作是右邊序列（第一項)和左邊序列（第二項）的疊加。收斂域為兩部分收斂域的重疊部分：其中。所以,雙邊序列的收斂域通常是環(huán)形。若，則該序列不收斂。以上可以看到，收斂域取決于序列的形式.P52表8—１列出了幾類雙邊變換的收斂域。[例8-1]求序列的變換,并確定它的收斂域(其中)。解：這是一個雙邊序列。先求單邊變換:如果，則該級數(shù)收斂，可得到：其零點位于，極點位于，收斂域為。再求雙邊變換：若且,則該級數(shù)收斂，可得到：其零點位于及,極點位于及,收斂域為.注：變換在收斂域內(nèi)是解析的，因此收斂域內(nèi)不應(yīng)該包含任何極點。通常,收斂域以極點為邊界。對于多個極點的情況，右邊序列的收斂域是從最外面（最大值)有限極點向外延伸至(可能包括）;左邊序列的收斂域是從最里面(最小值）非零極點向內(nèi)延伸至(可能包括）.備注章節(jié)第八章z變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析4-5節(jié)日期教學(xué)目的掌握ｚ變換基本性質(zhì)以及逆變換的求法教學(xué)重點z變換基本性質(zhì)以及逆變換的求法教學(xué)難點逆變換的求法教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容8.4逆z變換若，則的逆變換記作，它由以下圍線積分給出：是包圍所有極點之逆時針閉合積分路線,通常選擇平面收斂域內(nèi)以原點為中心的圓。證明略。求逆變換的計算方法有三種。（一）留數(shù)法(圍線積分法)借助于復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理，可以把逆變換的積分表示為圍線內(nèi)所包含的各極點留數(shù)之和。即:或簡寫為：式中,Ｒｅｓ表示極點的留數(shù)，為的極點。若為一階極點，則若為階極點，則[例8－２］已知，求。解：因為（１）當時，圍線內(nèi)只有這個極點。所以（２)當時,均為圍線內(nèi)的極點。所以本題中圍線內(nèi)有兩個極點，圍線外有一個極點。根據(jù)留數(shù)的性質(zhì)：因此可以求得：綜合（1）(2)可以得到:這道題說明，在應(yīng)用留數(shù)法求逆變換時,應(yīng)當注意收斂域內(nèi)圍線所包圍的極點情況，特別應(yīng)關(guān)注對不同的值，在處的極點可能具有不同的階次.另外，收斂域的不同也會得到不同的結(jié)果,如書上P56，例８—２。(二)長除法（冪級數(shù)展開法）因為的變換定義為的冪級數(shù)所以,只要在給定的收斂域內(nèi)把展開成冪級數(shù)，級數(shù)的系數(shù)就是序列。一般情況下,是有理數(shù),令分子、分母多項式分別為。若收斂域為,則按的降冪(或的升冪）次序排列，進行長除法；若收斂域為，則按的升冪(或的降冪)次序排列，進行長除法.［例8—3]求的逆變換。解：根據(jù)收斂域可將展開成按的降冪排列的形式：進行長除法可得:所以：［例8—4］求收斂域分別為兩種情況下，的逆變換.解：對于，相應(yīng)的序列是因果序列（右邊序列)，這時寫成按的降冪排列:進行長除法可得：得到：對于，相應(yīng)的序列是左邊序列,這時寫成按的升冪排列:進行長除法可得:得到：(三)部分分式展開法這里,部分分式展開法類似于拉氏變換中的部分分式展開法,不再細述，需要說明的是，變換的基本形式是,所以在使用變換部分分式展開法時,通常是將用部分分式法展開,然后每個分式乘以，這樣對于一階極點，便可以展開成的形式.[例8－５］已知，求。解:式中:因此由于收斂域,所以是因果序列（右邊序列）,因此［例8—6］已知,求。解:所以容易求得:部分逆變換列于表8—2，３，4（Ｐ60）.8．5ｚ變換的基本性質(zhì)(一）線性表現(xiàn)在疊加性與均勻性，若：,,則:,其中,,。相加后序列收斂域一般為兩個收斂域的重疊部分，然而,如果在這些線性組合中某些零點與極點相抵消，則收斂域可能擴大。［例8-7］求序列的Ｚ變換.解：設(shè),已知：而：所以：收斂域變大，擴展到整個平面。［例8—８]求序列和的Z變換。解:已知因此:（二）位移性位移性表示序列位移后的Z變化與原序列Ｚ變換的關(guān)系。實際中可能遇到序列的左移（超前)或右移(延遲)兩種情況，所取的變換形式又可能有單邊與雙邊變換，他們的位移性基本相同,又各具特點,分以下情況討論。(1)雙邊Ｚ變換設(shè)序列的雙邊Ｚ變換為,則證明：根據(jù)定義同理可得到：由以上特性可以看出，序列位移只會使Z變換在或處的零極點發(fā)生變化。如果為雙邊序列，則收斂域為環(huán)形區(qū)域，在這種情況下序列位移并不會使Ｚ變換收斂域發(fā)生變化。（2)單邊Ｚ變換若是雙邊序列,其單邊Z變換為。則證明：根據(jù)單邊Z變換的定義,可得同樣可以證明右移序列:對于因果序列,由于為零,于是對于右移序列有而左移序列的Z變換不變。[例8—９]已知,邊界條件，用Z變換法求系統(tǒng)響應(yīng).解:對方程式兩端分別取Z變換,注意使用到位移定理。為求逆變換，令容易求得：（三)時間反轉(zhuǎn)特性若，則證明：（四）序列線性加權(quán)（z域微分)若已知,則：證明：對Ｚ變換式兩邊求導(dǎo)因此有：利用上式可以得到:同樣道理可以得到：符號共求導(dǎo)次.［例８－10]求斜變序列的Z變換.解：（五）序列指數(shù)加權(quán)（z域尺度變換）若已知，為非零實數(shù)，則：證明：同樣可以得到：（六）初值定理若是因果序列，已知，則：證明：因為當,上式中除了第一項外，都趨于零.所以結(jié)論得證.（七)終值定理若是因果序列，已知，則：證明：因為取極限得到：所以可以看出,終值定理只有當時收斂才可應(yīng)用.也就是說,要求的極點必須處在單位圓內(nèi)（在單位圓上只能位于點且是一階極點）。例如，則，而不存在，因為有極點。以上兩個定理的應(yīng)用類似于拉氏變換，如果已知序列的Z變換，在不求逆變換的情況下，可以利用這兩個定理方便的求出序列的初值和終值。(八)時域卷積定理已知兩序列，其變換為則：或?qū)懽?一般情況下，其收斂域是兩收斂域的重疊部分，即.若位于某一變換的極點被另一變換的零點抵消,則收斂域?qū)U大。證明：可見兩序列在時域中的卷積等效于在域中兩序列變換的乘積。［例8—１1］求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積：.解：因為顯然,其收斂域為兩收斂域的重疊部分。用部分分式法求逆變換［例８-12]求下列兩序列的卷積：。解:已知顯然,零極點相消了,若,則收斂域比兩收斂域重疊部分要大。（九）序列相乘(z域卷積定理)已知兩序列，其變換為則：或?qū)懽鳎菏街?，分別為或收斂域重疊部分內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的圍線。這里對收斂域和積分圍線的選取限制較嚴，從而限制了它的應(yīng)用。這里不再細講。變換一些主要性質(zhì)列于表8—5(Ｐ73）。備注章節(jié)第八章ｚ變換、離散時間系統(tǒng)的z域分析6－8節(jié)日期教學(xué)目的使用z變換分析系統(tǒng)教學(xué)重點z變換解差分方程；離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)教學(xué)難點ｚ變換解差分方程教學(xué)方法講授教學(xué)內(nèi)容８.6ｚ變換與拉普拉斯變換的關(guān)系三種變換域方法之間有著密切的聯(lián)系,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。第四章討論過拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系,現(xiàn)在研究變換與拉氏變換的關(guān)系。(一）ｚ平面與s平面的映射關(guān)系變換定義的時候有與的關(guān)系:或式中，是序列的時間間隔。為了說明的映射關(guān)系，將表示成直角坐標形式，而把表示成極坐標的形式,即：因此有：于是得到：上式表明平面上任一點映射為平面上一點.特殊情況下，平面有如下應(yīng)設(shè)關(guān)系：(1)平面上的虛軸（）映射到平面是單位圓，其右半平面（)映射到平面是單位圓的圓外，而左半平面()是單位圓的圓內(nèi).（２)平面上的實軸（）映射到平面是正實軸，平行于實軸的直線（為常數(shù)）映射到平面是始于原點的輻射線，通過而平行于實軸的直線映射到平面是負實軸。平面映射關(guān)系如表８-6(P75）。（3)由于是以為周期的周期函數(shù),因此在平面上沿虛軸移動對應(yīng)于平面上沿單位圓周期性旋轉(zhuǎn)，每平移,則沿單位圓轉(zhuǎn)一圈。所以映射并不是單值的。P7６圖８—11說明了上述映射關(guān)系.掌握上述映射關(guān)系，容易利用域中零極點分布與系統(tǒng)性能的類似方法研究離散時間系統(tǒng)函數(shù)平面特性與系統(tǒng)時域特性、頻響特性以及穩(wěn)定性的關(guān)系。(二）ｚ變換與拉氏變換表達式之對應(yīng)此部分內(nèi)容討論能否借助寫出。以下分析中，必須注意對于連續(xù)時間信號的突變點函數(shù)值與對應(yīng)序列樣值的區(qū)別。若連續(xù)時間信號由項指數(shù)信號相加組合而成,即：其拉氏變換為:若序列是對的抽樣信號，由指數(shù)序列相加組合而成,即:其變換為：的樣值等于在各點之抽樣值。然而在點違反了這一規(guī)律，原因是在此點波形發(fā)生跳變。具體講，對于任意值有:可以看出，按抽樣規(guī)律建立二者聯(lián)系時必須在0點補足，即:［例８—13]已知，，求抽樣序列的變換.解：只有一個一階極點，因此[例８-1４]已知,,求抽樣序列的變換。解：顯然，極點位于,可展成部分分式這種對應(yīng)規(guī)律在借助模擬濾波器原理設(shè)計數(shù)字濾波器是會很有用。P79表8－７列出了常用連續(xù)信號的拉氏變換與抽樣序列變換的對應(yīng)關(guān)系.8.７利用ｚ變換解差分方程這種方法的原理是基于變換的線性和位移性，把差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,從而使求解過程簡化.線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程一般形式是將等式兩邊取單邊變換，并利用變換的位移公式可以得到:若系統(tǒng)為零輸入響應(yīng)，則于是,對應(yīng)的響應(yīng)序列是上式的逆變換，即:顯然這是零輸入響應(yīng),該響應(yīng)由系統(tǒng)的起始狀態(tài)而產(chǎn)生的。若系統(tǒng)為零起始狀態(tài)，即,則：若激勵信號為因果序列,上式可變成:于是，這里,稱為系統(tǒng)函數(shù)，是由系統(tǒng)的特性所決定的。此時對應(yīng)的序列為：這里得到的是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，它完全是由激勵產(chǎn)生的.綜合以上兩種情況可以看出,離散系統(tǒng)的總響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的和。［例8-1５］離散系統(tǒng)為，若激勵。（1）起始值,求響應(yīng).（2）起始值，求響應(yīng)。解:（１)對差分方程兩邊取單邊變換：由于，所以已知,于是由于該系統(tǒng)處于零狀態(tài)，所以系統(tǒng)的完全響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)。（2）此時于是8.８離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（一)單位樣值響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)上節(jié)已給出系統(tǒng)函數(shù)的形式為它表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵的變換的比值.將上式分子與分母多項式經(jīng)因式分解可寫為：其中是的零極點，它們由差分方程的系數(shù)決定.利用系統(tǒng)函數(shù)可以求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)（除了使用卷積方法外).系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以用激勵與單位樣值響應(yīng)的卷積表示:由時域卷積定理則其中[例８-16]求下列差分方程描述系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位樣值響應(yīng):解：將差分方程兩邊取變換：如果系統(tǒng)處于零狀態(tài)，即，則:（二）系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布對系統(tǒng)特性的影響（1）由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定單位樣值響應(yīng)與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用類似，在離散系統(tǒng)中,變換函數(shù)的形式反映了時間函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)。由上節(jié)求得：