21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系R·九年級上冊新課導入導入課題

如果一個方程的兩根之和為1，兩根之積為-2，你能說出這個方程嗎？

今天我們進一步學習一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.推進新課知識點1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系思考：從因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2,將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？

把方程(x-x1)(x-x2)=0的左邊展開，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.這個方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)p=-(x1+x2)，常數(shù)項q=x1x2.

于是x1+x2=-p,x1x2=q.思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次項系數(shù)a未必是1，它的兩根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當b2-4ac≥0時，兩根分別為x1=

，x2=

。x1+x2=

，x1x2=

.因此，方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：

例根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩根x1，x2的和與積.(1)x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2

解：(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15不解方程，求下列方程兩根的和與積.x2-3x=15；5x2-1=4x2+x解：x1+x2=3x1x2=-15解：化簡得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別為x1，x2，則有Δ≥0且x1x2＞0Δ≥0且x1x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0兩根同為正數(shù)兩根同為負數(shù)兩根異號且正根的絕對值大兩根異號且負根的絕對值大隨堂演練基礎鞏固關(guān)于x的方程x2+px+q=0的根為x1=1+，x2=1-，則p=

，q=

.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，則另一根是

，

k＝

.-2-1-73.求下列方程的兩根x1，x2的和與積：

（1）x2－3x+2=0；

（2）x2+x=5x+6解：x1+x2=3x1x2=2解：化簡得x2-4x-6=0x1+x2=4x1x2=-64.已知兩個數(shù)的和為8，積為9.75，求這兩個數(shù).解：設其中一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為(8-x).

根據(jù)題意，得x(8-x)=9.75，整理，

得x2-8x+9.75=0.

解得x1=6.5,x2=1.5.

當x=6.5時，8-x=1.5；當x=1.5時，8-x=6.5.

∴這兩個數(shù)是6.5和1.5.5.x1，x2是方程x2－5x－7=0的兩根，不解方程求下列各式的值：

（1）

；（2）.解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的兩根.

則x1+x2=5，x1x2=-7.6.已知關(guān)于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根之和等于

兩根之積，求m的值.解：設方程x2-(2m+3)x+m2=0的兩根為x1，x2.

∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.

根據(jù)題意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=-1.

當m=3時，原方程為x2-9x+9=0，b2-4ac=45>0.方程有實數(shù)根.

當m=-1時，原方程為x2-x+1=0，b2-4ac=-3<0.方程無實數(shù)根，此m值舍去.

∴m的值為3.1.解下列方程：

（1）x2-3x=15；

（2）3x2+

2

=1-4x；

（3）5x2-1=

4x2+x；

（4）2x2-x+2

=3x+1

；練習【教材P16練習】解：設方程的兩根分別為x1,x2.方程可化為x2-3x–15=0.x1+x2=-(-3)=3,x1x2=-15.設方程的兩根分別為x1,x2.方程可化為3x2+

4x+1=0.x1+x2=-,x1x2=.設方程的兩根分別為x1,x2.方程可化為x2-x–1=0.x1+x2=-(-1)=1,x1x2=-1.設方程的兩根分別為x1,x2.方程可化為2x2-4x+1=0.x1+x2=2,x1x2=