2022-2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若隨機(jī)事件，互斥，且，，則（

）A．0 B．0.18 C．0.6 D．0.9【答案】D【分析】由互斥事件概率加法公式計(jì)算.【詳解】隨機(jī)事件，互斥，且，，所以，故選：D.2．下列幾何元素可以確定唯一平面的是（

）A．三個(gè)點(diǎn) B．圓心和圓上兩點(diǎn)C．梯形的兩條邊 D．一個(gè)點(diǎn)和一條直線【答案】C【分析】根據(jù)平面的確定方法求解.【詳解】對(duì)A，三個(gè)不共線的點(diǎn)才能確定唯一平面，A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)圓上的兩點(diǎn)和圓心共線時(shí)，三個(gè)點(diǎn)不能確定唯一平面，B錯(cuò)誤；對(duì)C，梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定的平面唯一，C正確；對(duì)D，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，這個(gè)點(diǎn)和直線不能確定唯一平面，D錯(cuò)誤，故選:C.3．若一水平放置的正方形的邊長為2，則其用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖的面積是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】由求解.【詳解】解：因?yàn)橐凰椒胖玫恼叫蔚倪呴L為2，且，所以其直觀圖的面積是，故選：A4．某汽車生產(chǎn)廠家用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從，，三個(gè)城市中抽取若干汽車進(jìn)行調(diào)查，各城市的汽車銷售總數(shù)和抽取數(shù)量如右表所示，則樣本容量為（

）城市銷售總數(shù)抽取數(shù)量42028020700A．60 B．80 C．100 D．120【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的方法求解.【詳解】由題可得，，，三個(gè)城市的銷售總數(shù)比為，所以，所以所以樣本容量為100.故選:C.5．在正四面體中，，分別是，中點(diǎn)，則與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)四面體棱長為2，取取中點(diǎn)，連結(jié)，，利用三角形中位線性質(zhì)作出異面直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】

取中點(diǎn)，連結(jié)，，，，設(shè)正四面體的棱長為2，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角是與所成角.又，是中點(diǎn)，在中，，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，又，在中，由余弦定理可知，又，所以.與所成角.故選：B6．甲、乙、丙三人破譯一份密碼，若三人各自獨(dú)立破譯出密碼的概率為，，，且他們是否破譯出密碼互不影響，則這份密碼被破譯出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【詳解】設(shè)這份密碼被破譯出為事件，所以,所以,故選:D.7．如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為5、圓心角為的扇形，過上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，相應(yīng)圓柱的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圓錐的半徑和高，然后設(shè)出圓柱的底面半徑和高，利用圓錐軸截面結(jié)合圓柱側(cè)面積公式求得側(cè)面積，利用二次函數(shù)求得最值時(shí)圓柱的底面半徑和高，代入圓柱體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半徑為5、圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長為，即，則，作出圓錐的軸截面如圖所示：

設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由題意可知，可得，則圓柱的側(cè)面積，所以當(dāng)時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值，此時(shí)圓柱的體積為.故選：C8．如圖，一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，拋擲這個(gè)正八面體兩次，記它與地面接觸的面上的數(shù)字分別為，，則的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別求得基本事件的總數(shù)與滿足要求的基本事件個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，基本事件的總數(shù)為，則事件“”包含的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，所以事件的概率.故選：D二、多選題9．已知，為空間中兩條不同的直線，，，為空間中三個(gè)不同的平面，則（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，，則或，故A不正確；對(duì)于B，若，，，則（線面平行的性質(zhì)定理），故B正確；對(duì)于C，若，，所以，又且，是空間兩個(gè)不同的平面，則，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，如下圖，

若分別為面、面、面，且為，顯然面，則，故D正確；故選：BCD.10．某學(xué)校對(duì)高一學(xué)生選科情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（

）

A．該校高一學(xué)生總數(shù)為B．該校高一學(xué)生中選考物化政組合的人數(shù)為C．該校高一學(xué)生中選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多D．用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從該校高一學(xué)生抽取人，則生史地組合抽取人【答案】AC【分析】根據(jù)政史地人數(shù)和占比可確定A正確；計(jì)算出物化生的人數(shù)后即可確定B錯(cuò)誤；分別計(jì)算選考?xì)v史和物理的人數(shù)，則知C正確；確定生史地組合人數(shù)占比后，根據(jù)分層抽樣原則可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，選科為政史地的人數(shù)為人，占比為，該校高一學(xué)生共有人，A正確；對(duì)于B，選科為物化生的人數(shù)為人，選科為物化政的人數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，選考?xì)v史的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)有人，選考物理的人數(shù)比選考?xì)v史的人數(shù)多，C正確；對(duì)于D，選科為生史地的學(xué)生人數(shù)占比為，采用分層抽樣抽取人，生史地組合應(yīng)抽取人，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為、、、的個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒有其他差異．從袋中隨機(jī)摸球兩次，每次摸出個(gè)球，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）A．若摸球方式為有放回摸球，則與互斥B．若摸球方式為有放回摸球，則與相互獨(dú)立C．若摸球方式為不放回摸球，則與互斥D．若摸球方式為不放回摸球，則與相互獨(dú)立【答案】ACD【分析】以、分別表示第次、第次摸球的編號(hào)，以為一個(gè)基本事件，列舉出所有的基本事件，以及事件、、所包含的基本事件，利用互斥事件以及獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】以、分別表示第次、第次摸球的編號(hào)，以為一個(gè)基本事件.對(duì)于AB選項(xiàng)，若摸球方式為有放回摸球，則所有的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，則事件包含的基本事件有：、、、，則，即與不互斥，A錯(cuò)，，，即與相互獨(dú)立，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，若摸球方式為不放回摸球，則所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，即與不互斥，C錯(cuò)，，，即與不相互獨(dú)立，D錯(cuò).故選：ACD.12．在枝長為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，，，，分別是線段，，，上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，，使得B．三棱錐的體積為定值C．的最小值為D．直線與所成角的余弦值的取值范圍為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線平行的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A；利用等體積法判斷B；利用空間中兩點(diǎn)距離公式表示距離，然后利用三點(diǎn)共線最小求解判斷C；利用異面直線夾角的向量坐標(biāo)公式求出余弦值函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解范圍判斷D.【詳解】如圖：

如圖以為原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，設(shè)，則，設(shè)，則，對(duì)于選項(xiàng)A，，，若，則，所以，矛盾，故不存在點(diǎn)，，使得，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)M到平面的距離為正方體的棱長1，又，所以為定值，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，，所以記，，因?yàn)楸硎军c(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，由平面幾何知識(shí)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)距離和最小，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，所以的最小值為，正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)直線與所成的角為，又，，所以，令，則，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以，所以，所以，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍為，正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題：①幾何法：根據(jù)圖形特征，尋找兩點(diǎn)之間的距離的范圍；②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求范圍.三、填空題13．某學(xué)校高一男生、女生的人數(shù)之比為，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取90人，若樣本中男生的平均身高為171，女生的平均身高為160.2，則該校高一學(xué)生平均身高的估計(jì)值為（單位：）．【答案】165【分析】利用平均數(shù)的求法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)樣本中高一男生人數(shù)為，則樣本中高一女生的人數(shù)為，故，解得，則樣本中高一男生人數(shù)為，高一女生的人數(shù)為，所以樣本中高一學(xué)生平均身高為，故而該校高一學(xué)生平均身高的估計(jì)值為.故答案為：165.14．已知正四棱臺(tái)上、下底面邊長分別為2和4，側(cè)棱長為3，則此棱臺(tái)的體積為．【答案】/【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可知此棱臺(tái)的上、下底面對(duì)角線長、，

所以棱臺(tái)的高，所以棱臺(tái)的體積，故答案為：15．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有1個(gè)陽爻的概率是．

【答案】【分析】根據(jù)古典概率模型求解.【詳解】由題可知，共有個(gè)不同的重卦，恰有1個(gè)陽爻的有個(gè)，則該重卦恰有1個(gè)陽爻的概率是，故答案為:.四、雙空題16．邊長為2的正三角形中，，分別為，中點(diǎn)，將沿折起，使得，則四棱錐的體積為，其外接球的表面積為．【答案】【分析】作出四棱錐的高，計(jì)算出高和底面積，可得體積.根據(jù)球的性質(zhì)找到球心，求出半徑可得表面積.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，因?yàn)闉檫呴L為的正三角形，，分別為，中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作，垂足為，則在的延長線上，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)?，所以，，，，所?因?yàn)?，所以為四邊形外接圓圓心，設(shè)正三角形外接圓圓心為，四棱錐的外接球球心為，則平面，平面，所以，，則是四邊形的外接圓直徑，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，所以，即四棱錐的外接球半徑為，所以四棱錐的外接球表面積為.

故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用球的性質(zhì)找到球心，求出球的半徑是解題關(guān)鍵.五、解答題17．某農(nóng)場(chǎng)在兩塊面積相同的水稻試驗(yàn)田中分別種植甲、乙兩種水稻，已知連續(xù)6季的產(chǎn)量如下：品種第1季第2季第3季第4季第5季第6季甲/550580570570550600乙/540590560580590560現(xiàn)在該農(nóng)場(chǎng)決定選擇其中一種水稻進(jìn)行推廣種植，若你是農(nóng)場(chǎng)經(jīng)營者，你會(huì)如何選擇？請(qǐng)使用統(tǒng)計(jì)學(xué)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行說明．【答案】答案見解析【分析】分別求出兩種水稻的平均數(shù)與方差，再根據(jù)平均數(shù)與方差即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)甲種水稻產(chǎn)量的平均值和方差分別為，，乙種水稻產(chǎn)量的平均值和方差分別為，，由題中數(shù)據(jù)可得，，，，，因?yàn)椋?，所以兩種水稻產(chǎn)量的總體水平相同，但甲種水稻的產(chǎn)量較穩(wěn)定，所以應(yīng)推廣甲種水稻種植．18．如圖，在三棱錐中，底面，．

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面垂直平面的判定定理即可證明；（2）要求直線與平面所成角的正弦值，先作出直線與平面所成角，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以．又因?yàn)?，，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于，連接．

又平面平面，平面平面，平面，所以平面．所以即為直線與平面所成的角．因?yàn)?，不妨設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，，又因?yàn)?，所以，故，即直線與平面所成角的正弦值為．19．某商場(chǎng)隨機(jī)抽取了100名員工的月銷售額（單位：千元），將的所有取值分成，，，，五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．

(1)求，的值；(2)設(shè)這100名員工月銷售額的第75百分位數(shù)為．為調(diào)動(dòng)員工的積極性，該商場(chǎng)基于每位員工的月銷售額制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)某員工的月銷售額不足5千元時(shí)，不予獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)時(shí)，其月獎(jiǎng)勵(lì)金額為0.3千元；當(dāng)時(shí)，其月獎(jiǎng)勵(lì)金額為0.8千元；當(dāng)不低于時(shí)，其月獎(jiǎng)勵(lì)金額為1.1千元．根據(jù)頻率分布直方圖，用樣本頻率近似概率，估計(jì)上述獎(jiǎng)勵(lì)方案下該商場(chǎng)一名員工的月獎(jiǎng)勵(lì)金額的平均值．【答案】(1)，(2)0.699（千元）．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各小長方形面積和為1并結(jié)合即可求解；（2）先求第75百分位數(shù)，然后確定獎(jiǎng)勵(lì)方案，進(jìn)而估算出月獎(jiǎng)勵(lì)金額的平均值.【詳解】（1）由已知得，所以，又因?yàn)?，所以，．?）由于，所以員工月銷售額的第75百分位數(shù)為20，所以，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)金額為0.3千元；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)金額為0.8千元；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)金額為1.1千元，所以，該商場(chǎng)一位員工的月獎(jiǎng)勵(lì)金額的平均值為：（千元）．20．如圖，在正三棱柱中，是中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可得結(jié)論；（2）利用體積橋可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面.（2）設(shè)，到平面的距離為，，，，又為中點(diǎn)，，又為等邊三角形，，解得：，，，，解得：，即到平面的距離為.21．如圖，在圓錐中，為頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，，為底面圓周上的兩個(gè)相異動(dòng)點(diǎn)，且，．

(1)求面積的最大值；(2)已知為圓的內(nèi)接正三角形，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若二面角的余弦值為，試確定點(diǎn)的位置．【答案】(1)(2)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，由三角形面積公式及均值不等式求最值即可；（2）先證明即為二面角的平面角，由三角形面積公式及余弦定理求解，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．

設(shè)，，又，，所以在和中，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以面積的最大值為．（2）因?yàn)闉閳A的內(nèi)接正三角形，由正弦定理得：．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，所以．所以即為二面角的平面角．連接，設(shè)，，則，．在中，，所以．在中，由余弦定理得：，將，代入上式，解得．所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)．22．已知甲、乙兩個(gè)袋子中各裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：從甲、乙兩個(gè)袋子中各隨機(jī)取出1個(gè)球，觀察兩球的顏色，若兩球顏色不同，則將兩球交換后放回袋子中，并繼續(xù)上述摸球過程；若兩球顏色相同，則停止取球，試驗(yàn)結(jié)束．(1)求第1次